Función zeta de Barnes

En matemáticas , una función zeta de Barnes es una generalización de la función zeta de Riemann introducida por EW Barnes  (1901). Se generaliza aún más mediante la función zeta de Shintani .

Definición

La función zeta de Barnes se define por

${\displaystyle \zeta _{N}(s,w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\sum _{n_{1},\dots ,n_{N}\geq 0}{\frac {1}{(w+n_{1}a_{1}+\cdots +n_{N}a_{N})^{s}}}}$

donde w y a _j tienen parte real positiva y s tiene parte real mayor que  N .

Tiene una continuación meromórfica para todos los complejos s , cuyas únicas singularidades son polos simples en s = 1, 2, ..., N . Para N  =  w  =  a ₁  = 1 es la función zeta de Riemann.

Referencias

• Barnes, EW (1899), "La teoría de la función gamma doble. [Resumen]", Actas de la Royal Society de Londres , 66 , The Royal Society: 265–268, doi :10.1098/rspl.1899.0101, ISSN  0370-1662, JSTOR  116064, S2CID  186213903
• Barnes, EW (1901), "La teoría de la función gamma doble", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático o físico , 196 (274–286), The Royal Society: 265–387, Bibcode :1901RSPTA.196..265B, doi : 10.1098/rsta.1901.0006 , ISSN  0264-3952, JSTOR  90809
• Barnes, EW (1904), "Sobre la teoría de la función gamma múltiple", Trans. Camb. Philos. Soc. , 19 : 374–425
• Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon (2004), "Funciones Shintani-Barnes zeta y gamma", Avances en Matemáticas , 187 (2): 362–395, doi : 10.1016/j.aim.2003.07.020 , ISSN  0001-8708, SEÑOR  2078341
• Ruijsenaars, SNM (2000), "Sobre las múltiples funciones zeta y gamma de Barnes", Avances en Matemáticas , 156 (1): 107–132, doi : 10.1006/aima.2000.1946 , ISSN  0001-8708, SEÑOR  1800255