Función zeta de Witten

En matemáticas , la función zeta de Witten es una función asociada a un sistema raíz que codifica los grados de las representaciones irreducibles del grupo de Lie correspondiente . Estas funciones zeta fueron introducidas por Don Zagier, quien las nombró en honor al estudio de Edward Witten sobre sus valores especiales (entre otras cosas). ^{[1] [2]} Nótese que en, ^[2] las funciones zeta de Witten no aparecen como objetos explícitos por derecho propio.

Definición

Si es un grupo de Lie semisimple compacto, la función zeta de Witten asociada es (la continuación meromórfica de) la serie ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \zeta _{G}(s)=\sum _{\rho }{\frac {1}{(\dim \rho )^{s}}},}$

donde la suma es sobre clases de equivalencia de representaciones irreducibles de . ${\displaystyle G}$

En el caso donde es conexo y simplemente conexo, la correspondencia entre las representaciones de y de su álgebra de Lie, junto con la fórmula de dimensión de Weyl, implica que se puede escribir como ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \zeta _{G}(s)}$

${\displaystyle \sum _{m_{1},\dots ,m_{r}>0}\prod _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\frac {1}{\langle \alpha ^{\lor },m_{1}\lambda _{1}+\cdots +m_{r}\lambda _{r}\rangle ^{s}}},}$

donde denota el conjunto de raíces positivas, es un conjunto de raíces simples y es el rango. ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$ ${\displaystyle r}$

Ejemplos

• ${\displaystyle \zeta _{SU(2)}(s)=\zeta (s)}$, la función zeta de Riemann.
• ${\displaystyle \zeta _{SU(3)}(s)=\sum _{x=1}^{\infty }\sum _{y=1}^{\infty }{\frac {1}{(xy(x+y)/2)^{s}}}.}$

Abscisa de convergencia

Si es simple y simplemente conexa, la abscisa de convergencia de es , donde es el rango y . Este es un teorema debido a Alex Lubotzky y Michael Larsen. ^{[3] Jokke Häsä y Alexander Stasinski [4]} dan una nueva prueba que arroja un resultado más general, es decir, da un valor explícito (en términos de combinatoria simple) de la abscisa de convergencia de cualquier "función zeta de Mellin" de la forma ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \zeta _{G}(s)}$ ${\displaystyle r/\kappa }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \kappa =|\Phi ^{+}|}$

${\displaystyle \sum _{x_{1},\dots ,x_{r}=1}^{\infty }{\frac {1}{P(x_{1},\dots ,x_{r})^{s}}},}$

donde es un producto de polinomios lineales con coeficientes reales no negativos. ${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{r})}$

Singularidades y valores de la función zeta de Witten asociada a SU(3)

${\displaystyle \zeta _{SU(3)}}$es absolutamente convergente en , y puede extenderse meromórficamente en . Sus singularidades están en y todas esas singularidades son polos simples. ^[5] En particular, los valores de están bien definidos en todos los números enteros y han sido calculados por Kazuhiro Onodera. ^[6] ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} ,\Re (s)>2/3\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\Bigl \{}{\frac {2}{3}}{\Bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\frac {1}{2}}-k,k\in \mathbb {N} {\Bigr \}},}$ ${\displaystyle \zeta _{SU(3)}(s)}$

En , tenemos y ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle \zeta _{SU(3)}(0)={\frac {1}{3}},}$ ${\displaystyle \zeta _{SU(3)}'(0)=\log(2^{4/3}\pi ).}$

Sea un entero positivo. Tenemos ${\displaystyle a\in \mathbb {N} ^{*}}$

${\displaystyle \zeta _{SU(3)}(a)={\frac {2^{a+2}}{1+(-1)^{a}2}}\sum _{k=0}^{[a/2]}{2a-2k-1 \choose a-1}\zeta (2k)\zeta (3a-k).}$

Si a es impar, entonces tiene un cero simple en y ${\displaystyle \zeta _{SU(3)}}$ ${\displaystyle s=-a,}$

${\displaystyle \zeta _{SU(3)}'(-a)={\frac {2^{-a+1}(a!)^{2}}{(2a+1)!}}\zeta '(-3a-1)+2^{-a+2}\sum _{k=0}^{(a-1)/2}{a \choose 2k}\zeta (-a-2k)\zeta '(-2a+2k).}$

Si a es par, entonces tiene un cero de orden en y ${\displaystyle \zeta _{SU(3)}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle s=-a,}$

${\displaystyle \zeta _{SU(3)}''(-a)=2^{-a+2}\sum _{k=0}^{a/2}{a \choose 2k}\zeta '(-a-2k)\zeta '(-2a+2k).}$

Referencias

1. Zagier, Don (1994), "Valores de las funciones zeta y sus aplicaciones", Primer Congreso Europeo de Matemáticas, París, 6-10 de julio de 1992 , Birkhäuser Basel, pp. 497-512, doi :10.1007/978-3-0348-9112-7_23, ISBN 9783034899123
2. Witten, Edward (octubre de 1991). "Sobre las teorías de calibración cuántica en dos dimensiones". Communications in Mathematical Physics . 141 (1): 153–209. doi :10.1007/bf02100009. ISSN  0010-3616. S2CID  121994550.
3. Larsen, Michael; Lubotzky, Alexander (2008). "Crecimiento de la representación de grupos lineales". Revista de la Sociedad Matemática Europea . 10 (2): 351–390. arXiv : math/0607369 . doi :10.4171/JEMS/113. ISSN  1435-9855. S2CID  9322647.
4. Häsä, Jokke; Stasinski, Alexander (2019). "Crecimiento de la representación de grupos lineales compactos". Transacciones de la American Mathematical Society . 372 (2): 925–980. arXiv : 1710.09112 . doi : 10.1090/tran/7618 .
5. Romik, Dan (2017). "Sobre el número de representaciones n$ -dimensionales de $\operatorname{SU}(3)$, los números de Bernoulli y la función zeta de Witten". Acta Aritmética . 180 (2): 111-159. doi :10.4064/aa8455-3-2017. ISSN  0065-1036.
6. Onodera, Kazuhiro (2014). "Una relación funcional para las funciones dobles zeta de Tornheim". Acta Aritmética . 162 (4): 337–354. arXiv : 1211.1480 . doi :10.4064/aa162-4-2. ISSN  0065-1036. S2CID  119636956.