El factorial exponencial es un número entero positivo n elevado a la potencia de n − 1, que a su vez se eleva a la potencia de n − 2, y así sucesivamente agrupando por la derecha. Eso es,
El factorial exponencial también se puede definir con la relación de recurrencia
Los primeros factoriales exponenciales son 1 , 2 , 9 , 262144 , ... ( OEIS : A049384 u OEIS : A132859 ). Por ejemplo, 262144 es un factorial exponencial ya que
Usando la relación de recurrencia, los primeros factoriales exponenciales son:
Los factoriales exponenciales crecen mucho más rápidamente que los factoriales regulares o incluso los hiperfactoriales . El número de dígitos en el factorial exponencial de 6 es aproximadamente 5 × 10 183 230 .
La suma de los recíprocos de los factoriales exponenciales de 1 en adelante es el siguiente número trascendental :
Esta suma es trascendental porque es un número de Liouville .
Al igual que la tetración , actualmente no existe un método aceptado para extender la función factorial exponencial a valores reales y complejos de su argumento, a diferencia de la función factorial , para la cual dicha extensión la proporciona la función gamma . Pero es posible ampliarlo si se define en un ancho de franja de 1.
De manera similar, existe desacuerdo sobre el valor apropiado de 0; cualquier valor sería coherente con la definición recursiva. Una extensión suave a los reales satisfacería , lo que sugiere un valor estrictamente entre 0 y 1.
