Operador Gauss-Kuzmin-Wirsing

En matemáticas , el operador Gauss-Kuzmin-Wirsing es el operador de transferencia del mapa de Gauss que lleva un número positivo a la parte fraccionaria de su recíproco. (Esto no es lo mismo que el mapa de Gauss en geometría diferencial ). Lleva el nombre de Carl Gauss , Rodion Kuzmin y Eduard Wirsing . Se da en el estudio de fracciones continuas ; también está relacionado con la función zeta de Riemann .

Relación con los mapas y fracciones continuas.

El mapa de Gauss

Archivo:Función Gauss

La función de Gauss (mapa) h es:

${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor .}$

donde denota la función suelo . ${\displaystyle \lfloor 1/x\rfloor }$

Tiene un número infinito de discontinuidades de salto en x = 1/ n , para enteros positivos  n . Es difícil aproximarlo mediante un único polinomio suave. ^[1]

Operador en los mapas.

El operador Gauss-Kuzmin-Wirsing actúa sobre funciones como ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle [Gf](x)=\int _{0}^{1}\delta (x-h(y))f(y)\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}}f\left({\frac {1}{x+n}}\right).}$

tiene el punto fijo , único hasta el escalado, que es la densidad de la medida invariante bajo el mapa de Gauss. ${\displaystyle \rho (x)={\frac {1}{\ln 2(1+x)}}}$

Valores propios del operador

La primera función propia de este operador es

${\displaystyle {\frac {1}{\ln 2}}\ {\frac {1}{1+x}}}$

que corresponde a un valor propio de λ ₁  = 1. Esta función propia da la probabilidad de que ocurra un número entero dado en una expansión de fracción continua, y se conoce como distribución de Gauss-Kuzmin . Esto se debe en parte a que el mapa de Gauss actúa como un operador de desplazamiento truncado para las fracciones continuas : si

${\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]}$

es la representación fraccionaria continua de un número 0 <  x  < 1, entonces

${\displaystyle h(x)=[0;a_{2},a_{3},\dots ].}$

Debido a que es conjugado a un desplazamiento de Bernoulli , el valor propio es simple, y dado que el operador deja invariante la medida de Gauss-Kuzmin, el operador es ergódico con respecto a la medida. Este hecho permite una breve prueba de la existencia de la constante de Khinchin . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$

Los valores propios adicionales se pueden calcular numéricamente; el siguiente valor propio es λ ₂ = −0,3036630029... (secuencia A038517 en la OEIS ) y su valor absoluto se conoce como constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing . Se desconocen las formas analíticas de funciones propias adicionales. No se sabe si los valores propios son irracionales .

Organicemos los valores propios del operador Gauss-Kuzmin-Wirsing según un valor absoluto:

${\displaystyle 1=|\lambda _{1}|>|\lambda _{2}|\geq |\lambda _{3}|\geq \cdots .}$

Philippe Flajolet y Brigitte Vallée conjeturaron en 1995 que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\lambda _{n}}{\lambda _{n+1}}}=-\varphi ^{2},{\text{ where }}\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

En 2018, Giedrius Alkauskas dio un argumento convincente de que esta conjetura puede refinarse hasta llegar a una afirmación mucho más sólida: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&(-1)^{n+1}\lambda _{n}=\varphi ^{-2n}+C\cdot {\frac {\varphi ^{-2n}}{\sqrt {n}}}+d(n)\cdot {\frac {\varphi ^{-2n}}{n}},\\[4pt]&{\text{where }}C={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}\cdot \zeta (3/2)}{2{\sqrt {\pi }}}}=1.1019785625880999_{+};\end{aligned}}}$

aquí la función está acotada y es la función zeta de Riemann . ${\displaystyle d(n)}$ ${\displaystyle \zeta (\star )}$

Espectro continuo

Los valores propios forman un espectro discreto, cuando el operador se limita a actuar sobre funciones en el intervalo unitario de la recta numérica real. En términos más generales, dado que el mapa de Gauss es el operador de desplazamiento en el espacio de Baire , el operador GKW también puede verse como un operador en el espacio funcional (considerado como un espacio de Banach , donde las funciones base se consideran funciones indicadoras en los cilindros del topología del producto ). En el último caso, tiene un espectro continuo, con valores propios en el disco unitario del plano complejo. Es decir, dado el cilindro , el operador G lo desplaza hacia la izquierda: . Tomando como función del indicador que es 1 en el cilindro (cuando ), y cero en caso contrario, se tiene eso . Las series ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\omega }}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\omega }\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |\lambda |<1}$ ${\displaystyle C_{n}[b]=\{(a_{1},a_{2},\cdots )\in \mathbb {N} ^{\omega }:a_{n}=b\}}$ ${\displaystyle GC_{n}[b]=C_{n-1}[b]}$ ${\displaystyle r_{n,b}(x)}$ ${\displaystyle x\in C_{n}[b]}$ ${\displaystyle Gr_{n,b}=r_{n-1,b}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda ^{n-1}r_{n,b}(x)}$

entonces es una función propia con valor propio . Es decir, se tiene siempre que la sumatoria converge: es decir, cuando . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle [Gf](x)=\lambda f(x)}$ ${\displaystyle |\lambda |<1}$

Surge un caso especial cuando se desea considerar la medida de Haar del operador de turno, es decir, una función que es invariante bajo turnos. Esto viene dado por la medida de Minkowski . O sea, uno tiene eso . ^[3] ${\displaystyle ?^{\prime }}$ ${\displaystyle G?^{\prime }=?^{\prime }}$

Ergodicidad

De hecho, el mapa de Gauss es mucho más que ergódico: se mezcla exponencialmente, ^{[4] [5]} pero la demostración no es elemental.

entropía

El mapa de Gauss, sobre la medida de Gauss, tiene entropía . Esto se puede demostrar mediante la fórmula de Rokhlin para la entropía. Luego usando el teorema de Shannon-McMillan-Breiman , con su propiedad de equipartición, obtenemos el teorema de Lochs . ^[6] ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}}$

Preliminares de la teoría de la medida

Una familia de cobertura es un conjunto de conjuntos medibles, de modo que cualquier conjunto abierto es una unión disjunta de conjuntos que lo componen. Compare esto con base in topology , que es menos restrictivo ya que permite uniones no disjuntas. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

El lema de Knopp. es mensurable. Es una familia que cubre. . Entonces ${\displaystyle B\subset [0,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \exists \gamma >0,\forall A\in {\mathcal {C}},\mu (A\cap B)\geq \gamma \mu (A)}$ ${\displaystyle \mu (B)=1}$

Prueba. Dado que cualquier conjunto abierto es una unión disjunta de conjuntos en , tenemos para cualquier conjunto abierto , no cualquier conjunto en . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mu (A\cap B)\geq \gamma \mu (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Toma el complemento . Dado que la medida de Lebesgue es regular externa , podemos tomar un conjunto abierto cercano a , lo que significa que la diferencia simétrica tiene una medida arbitrariamente pequeña . ${\displaystyle B^{c}}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle B^{c}}$ ${\displaystyle \mu (B'\Delta B^{c})<\epsilon }$

En el límite, se convierte en tener . ${\displaystyle \mu (B'\cap B)\geq \gamma \mu (B')}$ ${\displaystyle 0\geq \gamma \mu (B^{c})}$

El mapa de Gauss es ergódico.

Fijar una secuencia de números enteros positivos. Dejar . Sea el intervalo el intervalo abierto con puntos finales . ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {q_{n}}{p_{n}}}=[0;a_{1},\dots ,a_{n}]}$ ${\displaystyle \Delta _{n}}$ ${\displaystyle [0;a_{1},\dots ,a_{n}],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+1]}$

Lema. Para cualquier intervalo abierto , tenemos ${\displaystyle (a,b)\subset (0,1)}$

$${\displaystyle \mu (T^{-n}(a,b)\cap \Delta _{n})=\mu ((a,b))\mu (\Delta _{n})\underbrace {\left({\frac {q_{n}(q_{n}+q_{n-1})}{(q_{n}+q_{n-1}b)(q_{n}+q_{n-1}a)}}\right)} _{\geq 1/2}}$$

Prueba.teoría estándar de fracciones continuas ${\displaystyle t\in (0,1)}$ ${\displaystyle [0;a_{1},\dots ,a_{n}+t]={\frac {q_{n}+q_{n-1}t}{p_{n}+p_{n-1}t}}}$ ${\displaystyle T^{-n}(a,b)\cap \Delta _{n}}$ ${\displaystyle [0;a_{1},\dots ,a_{n}+a],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+b]}$ ${\displaystyle \geq 1/2}$ ${\displaystyle q_{n}\geq q_{n-1}}$

Teorema. El mapa de Gauss es ergódico.

Prueba. Considere el conjunto de todos los intervalos abiertos en la forma . Recójalos en un solo conjunto . Esta es una familia de cobertura, porque cualquier intervalo abierto donde sean racionales es una unión disjunta de un número finito de conjuntos en . ${\displaystyle [0;a_{1},\dots ,a_{n}],[0;a_{1},\dots ,a_{n}+1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (a,b)\setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Supongamos que un conjunto es invariante y tiene medida positiva. Elija cualquiera . Dado que la medida de Lebesgue es regular externa, existe un conjunto abierto que difiere solo en . Como es invariante, también tenemos . Por lo tanto, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Delta _{n}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu (B_{0}\Delta B)<\epsilon }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu (T^{-n}B_{0}\Delta B)=\mu (B_{0}\Delta B)<\epsilon }$

$${\displaystyle \mu (T^{-n}B_{0}\cap \Delta _{n})\in \mu (B\cap \Delta _{n})\pm \epsilon }$$

$${\displaystyle \mu (T^{-n}B_{0}\cap \Delta _{n})\geq {\frac {1}{2}}\mu (B_{0})\mu (\Delta _{n})\in {\frac {1}{2}}(\mu (B)\pm \epsilon )\mu (\Delta _{n})}$$

${\displaystyle \epsilon \to 0}$ ${\displaystyle \mu (B\cap \Delta _{n})\geq {\frac {1}{2}}\mu (B)\mu (\Delta _{n})}$

Relación con la función zeta de Riemann

El operador GKW está relacionado con la función zeta de Riemann . Tenga en cuenta que la función zeta se puede escribir como

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-s\int _{0}^{1}h(x)x^{s-1}\;dx}$

lo que implica que

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\int _{0}^{1}x\left[Gx^{s-1}\right]\,dx}$

por cambio de variable.

Elementos de la matriz

Considere las expansiones de la serie de Taylor en x  = 1 para una función f ( x ) y . Es decir, deja ${\displaystyle g(x)=[Gf](x)}$

${\displaystyle f(1-x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-x)^{n}{\frac {f^{(n)}(1)}{n!}}}$

y escriba lo mismo para g ( x ). La expansión se hace alrededor de x  = 1 porque el operador GKW se comporta mal en x  = 0. La expansión se hace alrededor de 1 −  x para que podamos mantener x como un número positivo, 0 ≤  x  ≤ 1. Entonces el operador GKW actúa sobre los coeficientes de Taylor como

${\displaystyle (-1)^{m}{\frac {g^{(m)}(1)}{m!}}=\sum _{n=0}^{\infty }G_{mn}(-1)^{n}{\frac {f^{(n)}(1)}{n!}},}$

donde los elementos de la matriz del operador GKW están dados por

${\displaystyle G_{mn}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{k+m+1 \choose m}\left[\zeta (k+m+2)-1\right].}$

Este operador está extremadamente bien formado y, por tanto, es muy manejable numéricamente. La constante de Gauss-Kuzmin se calcula fácilmente con alta precisión diagonalizando numéricamente la parte superior izquierda n por n . No se conoce ninguna expresión de forma cerrada que diagonalice este operador; es decir, no se conocen expresiones de forma cerrada para los vectores propios.

riemann zeta

El zeta de Riemann se puede escribir como

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s-1 \choose n}t_{n}}$

donde están dados por los elementos de la matriz anteriores: ${\displaystyle t_{n}}$

${\displaystyle t_{n}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {G_{mn}}{(m+1)(m+2)}}.}$

Realizando las sumatorias se obtiene:

${\displaystyle t_{n}=1-\gamma +\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}\left[{\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (k+1)}{k+1}}\right]}$

¿ Dónde está la constante de Euler-Mascheroni ? Estos juegan el análogo de las constantes de Stieltjes , pero por la expansión factorial decreciente . Al escribir ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t_{n}}$

${\displaystyle a_{n}=t_{n}-{\frac {1}{2(n+1)}}}$

se obtiene: a ₀ = −0,0772156... y a ₁ = −0,00474863... y así sucesivamente. Los valores se vuelven pequeños rápidamente pero son oscilatorios. Se pueden realizar algunas sumas explícitas sobre estos valores. Se pueden relacionar explícitamente con las constantes de Stieltjes reexpresando el factorial descendente como un polinomio con coeficientes del número de Stirling y luego resolviendo. De manera más general, el zeta de Riemann puede reexpresarse como una expansión en términos de secuencias de polinomios de Sheffer .

Esta expansión de Riemann zeta se investiga en las siguientes referencias. ^{[7] [8] [9] [10] [11]} Los coeficientes van disminuyendo a medida que

${\displaystyle \left({\frac {2n}{\pi }}\right)^{1/4}e^{-{\sqrt {4\pi n}}}\cos \left({\sqrt {4\pi n}}-{\frac {5\pi }{8}}\right)+{\mathcal {O}}\left({\frac {e^{-{\sqrt {4\pi n}}}}{n^{1/4}}}\right).}$

Referencias

1. Una introducción de posgrado a los métodos numéricos desde el punto de vista del análisis de errores hacia atrás por Corless, Robert, Fillion, Nicolas
2. Alkauskas, Giedrius (2018). "Operador de transferencia para el mapa de fracciones continuas de Gauss. I. Estructura de los valores propios y fórmulas de traza". arXiv : 1210.4083 [matemáticas.NT].
3. Vepstas, Linas (2008). "Sobre la medida Minkowski". arXiv : 0810.1265 [matemáticas.DS].
4. "Kuzmin, acoplamiento, conos y mezcla exponencial". 16 (3). 30 de marzo de 2004: 447–457. doi :10.1515/form.2004.021. ISSN  1435-5337. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
5. Pollicott, Mark (2019), Dani, SG; Ghosh, Anish (eds.), "Exponential Mixing: Lectures from Mumbai", Aspectos geométricos y ergódicos de las acciones grupales , Infosys Science Foundation Series, Singapur: Springer, págs. 135-167, doi :10.1007/978-981-15- 0683-3_4, ISBN 978-981-15-0683-3, recuperado el 13 de enero de 2024
6. El teorema de Shannon-McMillan-Breiman
7. Yeremin, A. Yu.; Kaporin, es decir; Kerimov, MK (1985). "El cálculo de la función zeta de Riemann en el dominio complejo". Computación de la URSS. Matemáticas. Y Matemáticas. Física . 25 (2): 111-119. doi :10.1016/0041-5553(85)90116-8.
8. Yeremin, A. Yu.; Kaporin, es decir; Kerimov, MK (1988). "Cálculo de las derivadas de la función zeta de Riemann en el dominio complejo". Computación de la URSS. Matemáticas. Y Matemáticas. Física . 28 (4): 115-124. doi :10.1016/0041-5553(88)90121-8.
9. Báez-Duarte, Luis (2003). "Una nueva condición necesaria y suficiente para la hipótesis de Riemann". arXiv : math.NT/0307215 .
10. Báez-Duarte, Luis (2005). "Un criterio secuencial similar al de Riesz para la hipótesis de Riemann". Revista Internacional de Matemáticas y Ciencias Matemáticas . 2005 (21): 3527–3537. doi : 10.1155/IJMMS.2005.3527 .
11. Flajolet, Philippe; Vepstas, Linas (2006). "Sobre las diferencias de los valores Zeta". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 220 (1–2): 58–73. arXiv : matemáticas/0611332 . Código Bib : 2008JCoAM.220...58F. doi :10.1016/j.cam.2007.07.040. S2CID  15022096.

Referencias generales

• A. Ya. Khinchin , Fracciones continuas , 1935, traducción al inglés University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8 (Ver sección 15). 
• KI Babenko, Sobre un problema de Gauss , Matemática soviética Doklady 19 : 136–140 (1978) MR 472746
• KI Babenko y SP Jur'ev, Sobre la discretización de un problema de Gauss , Soviet Mathematical Doklady 19 :731–735 (1978). Señor 499751
• A. Durner, Sobre un teorema de Gauss-Kuzmin-Lévy. Arco. Matemáticas. 58 , 251–256, (1992). Señor 1148200
• AJ MacLeod, Valores numéricos de alta precisión del problema de fracción continua de Gauss-Kuzmin. Computadoras Matemáticas. Aplica. 26 , 37–44, (1993).
• E. Wirsing, Sobre el teorema de Gauss-Kuzmin-Lévy y un teorema de tipo Frobenius para espacios funcionales. Acta Arith. 24 , 507–528, (1974). Señor 337868

Otras lecturas

• Keith Briggs, Un cálculo preciso de la constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing (2003) (Contiene una colección muy extensa de referencias).
• Phillipe Flajolet y Brigitte Vallée , Sobre la constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing (1995).
• Linas Vepstas El operador Bernoulli, el operador Gauss-Kuzmin-Wirsing y el Zeta de Riemann (2004) (PDF)

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing". MundoMatemático .
• Secuencia OEIS A038517 (Expansión decimal de la constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing)