Aunque casi todos los números satisfacen esta propiedad, no se ha demostrado para ningún número real que no esté específicamente construido para ese propósito. Entre los números cuyas expansiones de fracciones continuas aparentemente tienen esta propiedad (basada en evidencia numérica) se encuentran π , la constante de Euler-Mascheroni γ, la constante de Apéry ζ(3) y la propia constante de Khinchin. Sin embargo, esto no está probado.
Dado que el primer coeficiente a 0 de la fracción continua de x no juega ningún papel en el teorema de Khinchin y dado que los números racionales tienen medida de Lebesgue cero, nos vemos reducidos al estudio de los números irracionales en el intervalo unitario , es decir, aquellos en . Estos números están en biyección con infinitas fracciones continuas de la forma [0; a 1 , a 2 ,...], que simplemente escribimos [ a 1 , a 2 ,...], donde a 1 , a 2 ,... son números enteros positivos . Defina una transformación T : I → I por
Entonces μ es una medida de probabilidad en el σ -álgebra de los subconjuntos de Borel de I . La medida μ es equivalente a la medida de Lebesgue en I , pero tiene la propiedad adicional de que la transformación T conserva la medida μ . Además, se puede demostrar que T es una transformación ergódica del espacio medible I dotado de la medida de probabilidad μ (esta es la parte difícil de la prueba). El teorema ergódico dice entonces que para cualquier función μ - integrable f en I , el valor promedio de es el mismo para casi todos :
Aplicando esto a la función definida por f ([ a 1 , a 2 , ...]) = log( a 1 ), obtenemos que
para casi todos [ a 1 , a 2 , ...] en I como n → ∞.
Tomando la exponencial a ambos lados, obtenemos a la izquierda la media geométrica de los primeros n coeficientes de la fracción continua, y a la derecha la constante de Khinchin.
Expresiones en serie
La constante de Khinchin puede expresarse como una serie zeta racional en la forma [2]
o, eliminando términos de la serie,
donde N es un número entero, mantenido fijo, y ζ( s , n ) es la función zeta compleja de Hurwitz . Ambas series son fuertemente convergentes, ya que ζ( n ) − 1 se acerca a cero rápidamente para n grande . También se puede dar una expansión en términos del dilogaritmo :
Holder significa
La constante de Khinchin puede verse como la primera de una serie de medias de Hölder de los términos de fracciones continuas. Dada una serie arbitraria { a n }, la media de Hölder de orden p de la serie viene dada por
Cuando { a n } son los términos de una expansión fraccionaria continua, las constantes vienen dadas por
El límite parece tender a la constante de Khinchin.
Se cree que π , la constante de Euler-Mascheroni γ y la propia constante de Khinchin, basándose en evidencia numérica, [3] [4] se encuentran entre los números cuya media geométrica de los coeficientes a i en su expansión de fracción continua tiende a la constante de Khinchin. Sin embargo, ninguno de estos límites ha sido establecido rigurosamente.
^ Ryll-Nardzewski, Czesław (1951), "Sobre los teoremas ergódicos II (teoría ergódica de fracciones continuas)", Studia Mathematica , 12 : 74–79, doi :10.4064/sm-12-1-74-79
^ Bailey, Borwein & Crandall, 1997. En ese artículo, se utiliza una definición ligeramente no estándar para la función zeta de Hurwitz.
^ Weisstein, Eric W. "Fracción continua constante de Euler-Mascheroni". mathworld.wolfram.com . Consultado el 23 de marzo de 2020 .
^ Weisstein, Eric W. "Fracción continua Pi". mathworld.wolfram.com . Consultado el 23 de marzo de 2020 .
David H. Bailey; Jonathan M. Borwein; Richard E. Crandall (1995). «Sobre la constante de Khinchine» (PDF) . Matemáticas de la Computación . 66 (217): 417–432. doi : 10.1090/s0025-5718-97-00800-4 .
Jonathan M. Borwein; David M. Bradley; Richard E. Crandall (2000). "Estrategias computacionales para la función Riemann Zeta" (PDF) . J. Computación. Aplica. Matemáticas . 121 (1–2): 11. Bibcode : 2000JCoAM.121..247B. doi : 10.1016/s0377-0427(00)00336-8 .
Thomas Wieting (2007). "Una secuencia de Khinchin". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 136 (3): 815–824. doi : 10.1090/S0002-9939-07-09202-7 .
Aleksandr Ya. Khinchin (1997). Fracciones continuas . Nueva York: Publicaciones de Dover.
enlaces externos
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