El séptimo problema de Hilbert

Sobre la trascendencia de ciertos números

El séptimo problema de Hilbert es uno de la lista de problemas matemáticos abiertos de David Hilbert planteado en 1900. Se refiere a la irracionalidad y la trascendencia de ciertos números ( Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen ).

Planteamiento del problema

Se formulan dos preguntas específicas equivalentes ^{[1] :}

1. En un triángulo isósceles , si la razón entre el ángulo de la base y el ángulo en el vértice es algebraica pero no racional , ¿la razón entre la base y el lado es siempre trascendental ?
2. ¿Es siempre trascendental , para algebraico e irracional algebraico ? ${\displaystyle a^{b}}$ ${\displaystyle a\not \in \{0,1\}}$ ${\displaystyle b}$

Solución

La pregunta (en la segunda forma) fue respondida afirmativamente por Aleksandr Gelfond en 1934 y refinada por Theodor Schneider en 1935. Este resultado se conoce como teorema de Gelfond o teorema de Gelfond-Schneider . (La restricción al irracional b es importante, ya que es fácil ver que es algebraico para a algebraico y b racional ). ${\displaystyle a^{b}}$

Desde el punto de vista de las generalizaciones, este es el caso.

${\displaystyle b\ln {\alpha }+\ln {\beta }=0}$

de la forma lineal general en logaritmos, que fue estudiada por Gelfond y luego resuelta por Alan Baker . Se llama conjetura de Gelfond o teorema de Baker . Baker recibió una medalla Fields en 1970 por este logro.

Ver también

• Número de Hilbert o constante de Gelfond-Schneider

Referencias

1. Feldman, NI ; Nesterenko, Yu. V. (1998). Parshin, AN; Shafarevich, IR (eds.). Números trascendentales . Teoría de números IV. Springer-Verlag Berlín Heidelberg. págs. 146-147. ISBN 978-3-540-61467-8.

Bibliografía

• Tijdeman, Robert (1976). "Sobre el método Gel'fond-Baker y sus aplicaciones". En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos derivados de problemas de Hilbert . Actas de simposios de matemática pura . vol. XXVIII.1. Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 241–268. ISBN 978-0-8218-1428-4. Zbl  0341.10026.
• Manín, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría de números moderna . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. vol. 49 (Segunda ed.). pag. 61.ISBN​ 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Zbl  1079.11002.

enlaces externos

• Traducción al inglés de la dirección original de Hilbert