Constante de Copeland-Erdős

La constante de Copeland-Erdős es la concatenación de "0". con las representaciones en base 10 de los números primos en orden. Su valor, usando la definición moderna de primo, ^[1] es aproximadamente

0.235711131719232931374143... (secuencia A033308 en el OEIS ).

La constante es irracional ; esto se puede demostrar con el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas o el postulado de Bertrand (Hardy y Wright, p. 113) o el teorema de Ramare de que todo número entero par es una suma de como máximo seis números primos. También se deriva directamente de su normalidad (ver más abajo).

Por un argumento similar, cualquier constante creada al concatenar "0". con todos los primos en una progresión aritmética dn  +  a , donde a es coprimo de d y de 10, será irracional; por ejemplo, primos de la forma 4 n  + 1 u 8 n  + 1. Según el teorema de Dirichlet, la progresión aritmética dn  · 10 ^m  +  a contiene primos para todo m , y esos primos también están en cd  +  a , por lo que los primos concatenados contienen secuencias arbitrariamente largas del dígito cero.

En base 10, la constante es un número normal , hecho comprobado por Arthur Herbert Copeland y Paul Erdős en 1946 (de ahí el nombre de la constante). ^[2]

La constante está dada por

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}10^{-\left(n+\sum _{k=1}^{n}\lfloor \log _{10}{p_{k}}\rfloor \right)}}$

donde p _n es el n ésimo número primo .

Su fracción continua es [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, ...] ( OEIS : A030168 ).

Constantes relacionadas

La prueba de Copeland y Erdős de que su constante es normal se basa únicamente en el hecho de que es estrictamente creciente y , donde es el n- ^ésimo número primo. De manera más general, si es una secuencia estrictamente creciente de números naturales tal que y es cualquier número natural mayor o igual a 2, entonces la constante se obtiene al concatenar "0". con las representaciones base de the 's es normal en base . Por ejemplo, la secuencia satisface estas condiciones, por lo que la constante 0.003712192634435363748597110122136... es normal en base 10, y 0.003101525354661104... ₇ es normal en base 7. ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle p_{n}=n^{1+o(1)}}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\displaystyle s_{n}=n^{1+o(1)}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \lfloor n(\log n)^{2}\rfloor }$

En cualquier base b dada, el número

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b^{-p_{n}},\,}$

que se puede escribir en base b como 0.0110101000101000101... _b donde el n ésimo dígito es 1 si y sólo si n es primo, es irracional. ^[3]

Ver también

• Números de Smarandache-Wellin : el valor truncado de esta constante multiplicado por la potencia apropiada de 10.
• Constante de Champernowne : concatena todos los números naturales, no sólo los primos.

Referencias

1. Copeland y Erdős consideraron 1 como primo y definieron la constante como 0,12357111317...
2. Copeland y Erdős 1946
3. Hardy y Wright 1979, pág. 112

Fuentes

• Copeland, AH ; Erdős, P. (1946), "Nota sobre los números normales", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 52 (10): 857–860, doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08657-7.
• Hardy, GH ; Wright, EM (1979) [1938], Introducción a la teoría de números (5ª ed.), Oxford University Press, ISBN 0-19-853171-0.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Constante de Copeland-Erdos". MundoMatemático .