La conjetura de Schanuel

Conjetura sobre el grado de trascendencia de las extensiones de campo de los números racionales

En matemáticas , específicamente en la teoría de números trascendentales , la conjetura de Schanuel es una conjetura formulada por Stephen Schanuel en la década de 1960 sobre el grado de trascendencia de ciertas extensiones de campo de los números racionales .

Declaración

La conjetura es la siguiente:

Dados n números complejos z ₁ , ..., z _n que sean linealmente independientes sobre los números racionales , la extensión del campo ( z ₁ , ..., z _n , e ^{z ₁} , ..., e ^{z _n} ) tiene grado de trascendencia al menos n sobre . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

La conjetura se puede encontrar en Lang (1966). ^[1]

Consecuencias

La conjetura, si se demuestra, generalizaría la mayoría de los resultados conocidos en la teoría de números trascendentales . El caso especial en el que los números z ₁ ,..., z _n son todos algebraicos es el teorema de Lindemann-Weierstrass . Si, por otro lado, los números se eligen de modo que exp( z ₁ ),...,exp( z _n ) sean todos algebraicos, entonces se demostraría que los logaritmos linealmente independientes de números algebraicos son algebraicamente independientes, lo que refuerza el teorema de Baker .

El teorema de Gelfond-Schneider se desprende de esta versión reforzada del teorema de Baker, al igual que la conjetura de las cuatro exponenciales, actualmente no demostrada .

La conjetura de Schanuel, si se demuestra, también determinaría si números como e  +  π y e ^e son algebraicos o trascendentales, y probaría que e y π son algebraicamente independientes simplemente estableciendo z ₁  = 1 y z ₂  =  π i , y usando la identidad de Euler .

La identidad de Euler establece que e ^{π i}  + 1 = 0. Si la conjetura de Schanuel es verdadera, entonces ésta es, en algún sentido preciso que involucra anillos exponenciales , la única relación entre e , π e i sobre los números complejos. ^[2]

Aunque aparentemente es un problema de teoría de números, la conjetura también tiene implicaciones en la teoría de modelos . Angus Macintyre y Alex Wilkie , por ejemplo, demostraron que la teoría del campo real con exponenciación, _exp , es decidible siempre que la conjetura de Schanuel sea verdadera. ^[3] De hecho, solo necesitaban la versión real de la conjetura, definida a continuación, para demostrar este resultado, que sería una solución positiva al problema de la función exponencial de Tarski . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Conjeturas y resultados relacionados

La conjetura inversa de Schanuel ^[4] es la siguiente afirmación:

Supóngase que F es un cuerpo numerable con característica 0, y e  : F → F es un homomorfismo del grupo aditivo ( F ,+) al grupo multiplicativo ( F ,·) cuyo núcleo es cíclico . Supóngase además que para cualesquiera n elementos x ₁ ,..., x _n de F que sean linealmente independientes sobre , el cuerpo de extensión ( x ₁ ,..., x _n , e ( x ₁ ),..., e ( x _n )) tiene grado de trascendencia al menos n sobre . Entonces existe un homomorfismo de cuerpo h  : F → tal que h ( e ( x )) = exp( h ( x )) para todo x en F . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Una versión de la conjetura de Schanuel para series de potencias formales , también de Schanuel, fue demostrada por James Ax en 1971. ^[5] Afirma:

Dadas n series de potencias formales f ₁ ,..., f _n en t [[ t ]] que sean linealmente independientes en , entonces la extensión de campo ( t , f ₁ ,..., f _n ,exp( f ₁ ),...,exp( f _n )) tiene grado de trascendencia al menos n en ( t ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Como se indicó anteriormente, la decidibilidad de _exp se desprende de la versión real de la conjetura de Schanuel, que es la siguiente: ^[6] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Supongamos que x ₁ ,..., x _n son números reales y el grado de trascendencia del campo ( x ₁ ,..., x _n , exp ( x ₁ ),...,exp( x _n )) es estrictamente menor que n , entonces hay enteros m ₁ ,..., m _n , no todos cero, tales que m ₁ x ₁  +...+  m _n x _n  = 0. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Una conjetura relacionada, llamada conjetura de Schanuel de los reales uniformes, dice esencialmente lo mismo pero pone un límite a los números enteros m _i . La versión real uniforme de la conjetura es equivalente a la versión real estándar. ^[6] Macintyre y Wilkie demostraron que una consecuencia de la conjetura de Schanuel, a la que llamaron conjetura de Schanuel débil, era equivalente a la decidibilidad de _exp . Esta conjetura establece que existe un límite superior computable para la norma de soluciones no singulares de sistemas de polinomios exponenciales ; esto es, de manera no obvia, una consecuencia de la conjetura de Schanuel para los números reales. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

También se sabe que la conjetura de Schanuel sería una consecuencia de los resultados conjeturales en la teoría de motivos . En este contexto, la conjetura del período de Grothendieck para una variedad abeliana A establece que el grado de trascendencia de su matriz de período es el mismo que la dimensión del grupo Mumford-Tate asociado , y lo que se sabe por el trabajo de Pierre Deligne es que la dimensión es un límite superior para el grado de trascendencia. Bertolin ha demostrado cómo una conjetura de período generalizada incluye la conjetura de Schanuel. ^[7]

Pseudo-exponenciación de Zilber

Aunque una prueba de la conjetura de Schanuel parece muy lejana, ^[8] las conexiones con la teoría de modelos han provocado un aumento de la investigación sobre la conjetura.

En 2004, Boris Zilber construyó sistemáticamente campos exponenciales K _exp que son algebraicamente cerrados y de característica cero, y tales que uno de estos campos existe para cada cardinalidad incontable . ^[9] Él axiomatizó estos campos y, utilizando la construcción de Hrushovski y técnicas inspiradas en el trabajo de Shelah sobre categoricidad en lógicas infinitarias , demostró que esta teoría de "pseudo-exponenciación" tiene un modelo único en cada cardinal incontable. La conjetura de Schanuel es parte de esta axiomatización, y por lo tanto la conjetura natural de que el modelo único del continuo de cardinalidad es en realidad isomorfo al campo exponencial complejo implica la conjetura de Schanuel. De hecho, Zilber demostró que esta conjetura es válida si y solo si tanto la conjetura de Schanuel como la conjetura de Cerramiento Exponencial-Algebraico son válidas. ^[10] Como esta construcción también puede dar modelos con contraejemplos de la conjetura de Schanuel, este método no puede probar la conjetura de Schanuel. ^[11]

Véase también

• Conjetura de la cerrazón existencial
• Conjetura de Zilber-Pink

Referencias

1. Lang, Serge (1966). Introducción a los números trascendentales . Addison–Wesley. págs. 30–31.
2. Terzo, Giuseppina (2008). "Algunas consecuencias de la conjetura de Schanuel en anillos exponenciales". Communications in Algebra . 36 (3): 1171–1189. doi :10.1080/00927870701410694. S2CID  122764821.
3. Macintyre, A. y Wilkie, AJ (1996). "Sobre la decidibilidad del campo exponencial real". En Odifreddi, Piergiorgio (ed.). Kreiseliana: Acerca de Georg Kreisel y sus alrededores . Wellesley: Peters. págs. 441–467. ISBN 978-1-56881-061-4.
4. Scott W. Williams, Problemas de millones de dólares
5. Ax, James (1971). "Sobre las conjeturas de Schanuel". Anales de Matemáticas . 93 (2): 252–268. doi :10.2307/1970774. JSTOR  1970774.
6. Kirby, Jonathan y Zilber, Boris (2006). "La conjetura uniforme de Schanuel sobre los números reales". Bull. London Math. Soc . 38 (4): 568–570. CiteSeerX 10.1.1.407.5667 . doi :10.1112/S0024609306018510. S2CID  122077474. 
7. Bertolín, Cristiana (2002). "Périodes de 1-motifs et trascendencia". Revista de teoría de números . 97 (2): 204–221. doi : 10.1016/S0022-314X(02)00002-1 . hdl : 2318/103562 .
8. Waldschmidt, Michel (2000). "Aproximación diofántica sobre grupos algebraicos lineales" . Berlín: Springer . ISBN 978-3-662-11569-5.
9. Zilber, Boris (2004). "Pseudo-exponenciación en cuerpos algebraicamente cerrados de característica cero". Anales de lógica pura y aplicada . 132 (1): 67–95. doi : 10.1016/j.apal.2004.07.001 .
10. Zilber, Boris (2002). "Ecuaciones de sumas exponenciales y la conjetura de Schanuel". J. London Math. Soc . 65 (2): 27–44. doi :10.1112/S0024610701002861. S2CID  123143365.
11. Bays, Martin; Kirby, Jonathan (2018). "Mapas pseudoexponenciales, variantes y cuasiminimalidad". Teoría de números algebraicos . 12 (3): 493–549. arXiv : 1512.04262 . doi :10.2140/ant.2018.12.493. S2CID  119602079.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Conjetura de Schanuel". MathWorld .