Constante de Gelfond-Schneider

La constante de Gelfond-Schneider o número de Hilbert ^[1] es dos elevado a la raíz cuadrada de dos :

2 ^{√ 2} ≈2.665 144 142 690 225 188 650 297 249 8731 ...

que Rodion Kuzmin demostró que era un número trascendental en 1930. ^[2] En 1934, Aleksandr Gelfond y Theodor Schneider demostraron de forma independiente el teorema más general de Gelfond-Schneider , ^[3] que resolvió la parte del séptimo problema de Hilbert que se describe a continuación.

Propiedades

La raíz cuadrada de la constante de Gelfond-Schneider es el número trascendental

${\displaystyle {\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\approx }$ 1.632 526 919 438 152 844 77 ....

Esta misma constante puede utilizarse para demostrar que "un irracional elevado a potencia irracional puede ser racional", incluso sin probar primero su trascendencia. La demostración procede de la siguiente manera: o es racional lo que demuestra el teorema, o es irracional (como resulta ser) y luego ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2}$

es una potencia irracional a una potencia irracional que es racional lo que prueba el teorema. ^{[4] [5]} La prueba no es constructiva , ya que no dice cuál de los dos casos es verdadero, pero es mucho más simple que la prueba de Kuzmin .

El séptimo problema de Hilbert

Parte del séptimo de los veintitrés problemas planteados por Hilbert en 1900 consistía en probar, o encontrar un contraejemplo, la afirmación de que a ^b es siempre trascendental para a algebraica ≠ 0, 1 y b  algebraica irracional . En el discurso dio dos ejemplos explícitos, uno de ellos es la constante de Gelfond-Schneider 2 ^{√ 2} .

En 1919, dio una conferencia sobre teoría de números y habló de tres conjeturas: la hipótesis de Riemann , el último teorema de Fermat y la trascendencia de 2 ^{√ 2} . Mencionó a la audiencia que no esperaba que nadie en la sala viviera lo suficiente para ver una prueba de este resultado. ^[6] Pero la prueba de la trascendencia de este número fue publicada por Kuzmin en 1930, ^[2] en vida de Hilbert . Es decir, Kuzmin demostró el caso en el que el exponente b es un irracional cuadrático real , que luego fue extendido a un irracional algebraico arbitrario b por Gelfond y Schneider.

Ver también

• constante de gelfond

Referencias

1. Courant, R .; Robbins, H. (1996), ¿Qué son las matemáticas?: Un enfoque elemental de ideas y métodos , Oxford University Press, pág. 107
2. RO Kuzmin (1930). "Sobre una nueva clase de números trascendentales". Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem . 7 : 585–597.
3. Aleksandr Gelfond (1934). "Sur le septième Problème de Hilbert". Boletín de la Academia de Ciencias de la URSS. Classe des sciences mathématiques et na . VII (4): 623–634.
4. Jarden, D. (1953), "Curiosa: una prueba simple de que una potencia de un número irracional a un exponente irracional puede ser racional", Scripta Mathematica , 19 : 229.
5. Jones, JP; Toporowski, S. (1973), "Números irracionales", American Mathematical Monthly , 80 (4): 423–424, doi :10.2307/2319091, JSTOR  2319091, MR  0314775,
6. David Hilbert, Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919-1920 .

Otras lecturas

• Ribenboim, Paulo (2000). Mis números, mis amigos: conferencias populares sobre teoría de números . Texto universitario. Springer-Verlag . ISBN 0-387-98911-0. Zbl  0947.11001.
• Tijdeman, Robert (1976). "Sobre el método Gel'fond-Baker y sus aplicaciones". En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos derivados de problemas de Hilbert . Actas de simposios de matemática pura . vol. XXVIII.1. Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 241–268. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl  0341.10026.