El séptimo problema de Hilbert

Sobre la trascendencia de ciertos números

El séptimo problema de Hilbert es uno de la lista de problemas matemáticos abiertos de David Hilbert planteado en 1900. Se refiere a la irracionalidad y la trascendencia de ciertos números ( Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen ).

Planteamiento del problema

Se plantean dos preguntas específicas equivalentes ^{[1] :}

1. En un triángulo isósceles , si la relación entre el ángulo de la base y el ángulo del vértice es algebraica pero no racional , ¿la relación entre la base y el lado es siempre trascendental ?
2. ¿Es siempre trascendental , para el algebraico y para el algebraico irracional ? ${\displaystyle a^{b}}$ ${\displaystyle a\not \in \{0,1\}}$ ${\displaystyle b}$

Solución

La pregunta (en la segunda forma) fue respondida afirmativamente por Aleksandr Gelfond en 1934, y refinada por Theodor Schneider en 1935. Este resultado se conoce como teorema de Gelfond o teorema de Gelfond-Schneider . (La restricción a b irracional es importante, ya que es fácil ver que es algebraico para a algebraico y b racional ). ${\displaystyle a^{b}}$

Desde el punto de vista de las generalizaciones, este es el caso.

${\displaystyle b\ln {\alpha }+\ln {\beta }=0}$

de la forma lineal general en logaritmos, que fue estudiada por Gelfond y luego resuelta por Alan Baker . Se llama conjetura de Gelfond o teorema de Baker . Baker recibió la Medalla Fields en 1970 por este logro.

Véase también

• Número de Hilbert o constante de Gelfond-Schneider

Referencias

1. Feldman, NI ; Nesterenko, Yu. V. (1998). Parshin, AN; Shafarevich, IR (eds.). Números trascendentales . Teoría de números IV. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. págs. 146–147. ISBN 978-3-540-61467-8.

Bibliografía

• Tijdeman, Robert (1976). "Sobre el método Gel'fond–Baker y sus aplicaciones". En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos derivados de los problemas de Hilbert . Actas de simposios sobre matemáticas puras . Vol. XXVIII.1. Sociedad Matemática Americana . págs. 241–268. ISBN. 978-0-8218-1428-4.Zbl 0341.10026  .
• Manin, Yu. I. ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría de números moderna . Enciclopedia de ciencias matemáticas. Vol. 49 (segunda edición). pág. 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN  0938-0396. Zbl  1079.11002.

Enlaces externos

• Traducción al inglés del discurso original de Hilbert