Teorema de Gelfond-Schneider

Sobre la trascendencia de una gran clase de números

En matemáticas , el teorema de Gelfond-Schneider establece la trascendencia de una gran clase de números.

Historia

Fue probado originalmente de forma independiente en 1934 por Aleksandr Gelfond ^[1] y Theodor Schneider .

Declaración

Si a y b son números algebraicos complejos , donde a y b no son racionales , entonces cualquier valor de a ^b es un número trascendental . ${\displaystyle \not \in \{0,1\}}$

Comentarios

• Los valores de a y b no están restringidos a números reales ; Se permiten números complejos (aquí los números complejos no se consideran racionales cuando tienen una parte imaginaria distinta de 0, incluso si tanto la parte real como la imaginaria son racionales).
• En general, a ^b = exp( b ln a ) es multivaluado , donde ln representa el logaritmo natural . Esto explica la frase "cualquier valor de" en el enunciado del teorema.
• Una formulación equivalente del teorema es la siguiente: si α y γ son números algebraicos distintos de cero, y tomamos cualquier logaritmo distinto de cero de α , entonces (log γ )/(log α ) es racional o trascendental. Esto puede expresarse diciendo que si log α , log γ son linealmente independientes respecto de los racionales, entonces son linealmente independientes respecto de los números algebraicos. La generalización de esta afirmación a formas lineales más generales en logaritmos de varios números algebraicos está en el dominio de la teoría de números trascendental .
• Si se elimina la restricción de que a y b sean algebraicos, el enunciado no sigue siendo verdadero en general. Por ejemplo,

${\displaystyle {\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.}$

Aquí, a es √ 2 ^{√ 2} , lo cual (como lo demuestra el propio teorema) es trascendental en lugar de algebraico. De manera similar, si a = 3 y b = (log 2)/(log 3) , que es trascendental, entonces a ^b = 2 es algebraico. Se desconoce una caracterización de los valores de a y b que dan como resultado un a ^{b trascendental.}

• Kurt Mahler demostró el análogo p -ádico del teorema: si a y b están en C _p , se completa la clausura algebraica de Q _p , y son algebraicos sobre Q , y si y entonces es racional o trascendental, donde log _p es la función logaritmo p -ádica . ${\displaystyle |a-1|_{p}<1}$ ${\displaystyle |b-1|_{p}<1,}$ ${\displaystyle (\log _{p}a)/(\log _{p}b)}$

Corolarios

La trascendencia de los siguientes números se desprende inmediatamente del teorema:

• Constante de Gelfond-Schneider y su raíz cuadrada ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}.}$
• constante de gelfond ${\displaystyle e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots }$
• ${\displaystyle i^{i}=\left(e^{\frac {i\pi }{2}}\right)^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0.207879576\ldots }$

Aplicaciones

El teorema de Gelfond-Schneider responde afirmativamente al séptimo problema de Hilbert .

Ver también

• Teorema de Lindemann-Weierstrass
• teorema de Baker ; una extensión del resultado
• la conjetura de Schanuel ; si se demuestra, implicaría tanto el teorema de Gelfond-Schneider como el teorema de Lindemann-Weierstrass

Referencias

1. Aleksandr Gelfond (1934). "Sur le septième Problème de Hilbert". Boletín de la Academia de Ciencias de la URSS. Classe des sciences mathématiques et na . VII (4): 623–634.

Otras lecturas

• Baker, Alan (1975), Teoría de números trascendental , Cambridge University Press , p. 10, ISBN 978-0-521-20461-3, Zbl  0297.10013
• Feldman, NI; Nesterenko, Yu. V. (1998), Números trascendentales , Enciclopedia de ciencias matemáticas, vol. 44, Springer-Verlag , ISBN 3-540-61467-2, señor  1603604
• Gel'fond, AO (1960) [1952], Números trascendentales y algebraicos, ediciones Dover Phoenix, Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49526-2, señor  0057921
• LeVeque, William J. (2002) [1956]. Temas de teoría de números, volúmenes I y II . Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-42539-9.
• Niven, Iván (1956). Numeros irracionales . Asociación Matemática de América. ISBN 0-88385-011-7.
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Gelfond-Schneider". MundoMatemático .

enlaces externos

• Una prueba del teorema de Gelfond-Schneider