Constante de Gompertz

En matemáticas , la constante de Gompertz o constante de Euler-Gompertz , denotada por , aparece en evaluaciones integrales y como valor de funciones especiales . Lleva el nombre de Benjamín Gompertz . ${\displaystyle \delta }$

Se puede definir por la fracción continua.

${\displaystyle \delta ={\frac {1}{2-{\frac {1}{4-{\frac {4}{6-{\frac {9}{{8-\qquad \qquad } \atop {\qquad }{}^{\ddots }{-{\frac {n^{2}}{2n+2-\dots }}}}}}}}}}},}$

o, alternativamente, por

${\displaystyle \delta =1-{\frac {1}{3-{\frac {2}{5-{\frac {6}{7-{\frac {12}{{9-\qquad \qquad } \atop {\qquad }{}^{\ddots }{-{\frac {n(n+1)}{2n+3-\dots }}}}}}}}}}}}$

o

${\displaystyle \delta ={\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {2}{1+{\frac {2}{1+{\frac {3}{1+{\frac {3}{1+{\frac {4}{1+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

La aparición más frecuente de es en las siguientes integrales: ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \delta =\int _{0}^{\infty }\ln(1+x)e^{-x}dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}dx=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-\ln(x)}}dx.}$

La primera integral define , y la segunda y tercera se derivan de una integración de partes y una sustitución de variables respectivamente. El valor numérico de es aproximadamente ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \delta =0.596347362323194074341078499369279376074\dots }$

Cuando Euler estudió series infinitas divergentes, encontró , por ejemplo, las representaciones integrales anteriores. Le Lionnais llamó a la constante de Gompertz debido a su papel en el análisis de supervivencia . ^[1] La suma de valores integrales negativos en la función gamma con signos negativos alternativos hasta el infinito produce la constante de Euler Gompertz. Γ(0) - Γ(-1) + Γ(-2) - Γ(-3) +...... = ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta =0.596347362323194074341078499369279376074\dots }$

En 2009, Alexander Aptekarev demostró que al menos una de las constantes de Euler-Mascheroni y de Euler-Gompertz es irracional . Este resultado fue mejorado en 2012 por Tanguy Rivoal donde demostró que al menos uno de ellos es trascendental . ^{[2] [3] [4]}

Identidades que involucran la constante de Gompertz

La constante se puede expresar mediante la integral exponencial como ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \delta =-e\operatorname {Ei} (-1).}$

Aplicando la expansión de Taylor tenemos la representación en serie. ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$

${\displaystyle \delta =-e\left(\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n\cdot n!}}\right).}$

La constante de Gompertz está relacionada con los coeficientes de Gregory mediante la fórmula de 2013 de I. Mező: ^[5]

${\displaystyle \delta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\ln(n+1)}{n!}}-\sum _{n=0}^{\infty }C_{n+1}\{e\cdot n!\}-{\frac {1}{2}}.}$

Suma de factoriales alternos

La constante de Gompertz también resulta ser el valor regularizado ^{[ dudoso ]} de la siguiente serie divergente :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=1-1+2-6+24-120+\ldots }$

Notas

1. Pinzón, Steven R. (2003). Constantes matemáticas . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 425–426.
2. Aptekarev, AI (28 de febrero de 2009). "Sobre formas lineales que contienen la constante de Euler". arXiv : 0902.1768 [matemáticas.NT].
3. Rivoal, Tanguy (2012). "Sobre la naturaleza aritmética de los valores de la función gamma, la constante de Euler y la constante de Gompertz". Revista de matemáticas de Michigan . 61 (2): 239–254. doi : 10.1307/mmj/1339011525 . ISSN  0026-2285.
4. Lagarias, Jeffrey C. (19 de julio de 2013). "La constante de Euler: el trabajo de Euler y los desarrollos modernos". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 50 (4): 527–628. arXiv : 1303.1856 . doi :10.1090/S0273-0979-2013-01423-X. ISSN  0273-0979. S2CID  119612431.
5. Mező, István (2013). «Constante de Gompertz, coeficientes de Gregory y una serie de la función logarítmica» (PDF) . Revista de análisis y teoría de números (7): 1–4.

enlaces externos

• Wolfram MathMundo
• entrada OEIS