La constante de Mills

Constante matemática generadora de primos

En teoría de números , la constante de Mills se define como el número real positivo más pequeño A tal que la función base de la función exponencial doble

${\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor }$

es un número primo para todos los números naturales positivos n . Esta constante recibe su nombre de William Harold Mills, quien demostró en 1947 la existencia de A basándose en los resultados de Guido Hoheisel y Albert Ingham sobre los primos gaps . ^[1] Su valor no está demostrado, pero si la hipótesis de Riemann es verdadera, es aproximadamente 1,3063778838630806904686144926... (secuencia A051021 en la OEIS ).

Los molinos preparan

Los primos generados por la constante de Mills se conocen como primos de Mills; si la hipótesis de Riemann es verdadera, la secuencia comienza

${\displaystyle 2,11,1361,2521008887,16022236204009818131831320183,}$

${\displaystyle 4113101149215104800030529537915953170486139623539759933135949994882770404074832568499,\ldots }$(secuencia A051254 en la OEIS ).

Si a _i denota el i ^ésimo primo en esta secuencia, entonces a _i puede calcularse como el número primo más pequeño mayor que . Para asegurar que el redondeo , para n = 1, 2, 3, ..., produzca esta secuencia de primos, debe darse el caso de que . Los resultados de Hoheisel-Ingham garantizan que existe un primo entre dos números cúbicos cualesquiera suficientemente grandes , lo que es suficiente para demostrar esta desigualdad si comenzamos desde un primer primo suficientemente grande . La hipótesis de Riemann implica que existe un primo entre dos cubos consecutivos cualesquiera, lo que permite eliminar la condición de suficientemente grande y permitir que la secuencia de primos de Mills comience en a ₁ = 2. ${\displaystyle a_{i-1}^{3}}$ ${\displaystyle A^{3^{n}}}$ ${\displaystyle a_{i}<(a_{i-1}+1)^{3}}$ ${\displaystyle a_{1}}$

Para todo a > , hay al menos un primo entre y . ^[2] Este límite superior es demasiado grande para ser práctico, ya que no es factible comprobar cada número por debajo de esa cifra. Sin embargo, el valor de la constante de Mills se puede verificar calculando el primer primo en la secuencia que sea mayor que esa cifra. ${\displaystyle e^{e^{34}}}$ ${\displaystyle a^{3}}$ ${\displaystyle (a+1)^{3}}$

A partir de abril de 2017, el undécimo número de la secuencia es el mayor que se ha demostrado que es primo .

${\displaystyle \displaystyle (((((((((2^{3}+3)^{3}+30)^{3}+6)^{3}+80)^{3}+12)^{3}+450)^{3}+894)^{3}+3636)^{3}+70756)^{3}+97220}$

y tiene 20562 dígitos. ^[3]

A partir de 2024 ^[update], el mayor primo probable de Mills conocido (según la hipótesis de Riemann) es

${\displaystyle \displaystyle (((((((((((((2^{3}+3)^{3}+30)^{3}+6)^{3}+80)^{3}+12)^{3}+450)^{3}+894)^{3}+3636)^{3}+70756)^{3}+97220)^{3}+66768)^{3}+300840)^{3}+1623568)^{3}+8436308}$

(secuencia A108739 en la OEIS ), que tiene una longitud de 1.665.461 dígitos.

Cálculo numérico

Calculando la secuencia de primos de Mills, se puede aproximar la constante de Mills como

${\displaystyle A\approx a(n)^{1/3^{n}}.}$

Caldwell y Cheng utilizaron este método para calcular 6850 dígitos de base 10 de la constante de Mills bajo el supuesto de que la hipótesis de Riemann es verdadera. ^[4] No se conoce ninguna fórmula cerrada para la constante de Mills, y ni siquiera se sabe si este número es racional . ^[5]

Generalizaciones

No hay nada especial en el valor del exponente medio de 3. Es posible producir funciones generadoras de primos similares para diferentes valores de exponente medio. De hecho, para cualquier número real por encima de 2,106..., es posible encontrar una constante A diferente que funcione con este exponente medio para producir siempre primos. Además, si la conjetura de Legendre es verdadera, el exponente medio puede reemplazarse ^[6] con el valor 2 (secuencia A059784 en la OEIS ).

Matomäki demostró incondicionalmente (sin asumir la conjetura de Legendre) la existencia de una constante A (posiblemente grande) tal que es prima para todo n . ^[7] ${\displaystyle \lfloor A^{2^{n}}\rfloor }$

Además, Tóth demostró que la función de suelo en la fórmula podía reemplazarse por la función de techo , de modo que existe una constante tal que ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \lceil B^{r^{n}}\rceil }$

también es primo-representativo para . ^[8] En el caso , el valor de la constante comienza con 1.24055470525201424067... Los primeros primos generados son: ${\displaystyle r>2.106\ldots }$ ${\displaystyle r=3}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle 2,7,337,38272739,56062005704198360319209,176199995814327287356671209104585864397055039072110696028654438846269,\ldots }$

Sin asumir la hipótesis de Riemann, Elsholtz demostró que es primo para todos los enteros positivos n , donde , y que es primo para todos los enteros positivos n , donde . ^[9] ${\displaystyle \lfloor A^{10^{10n}}\rfloor }$ ${\displaystyle A\approx 1.00536773279814724017}$ ${\displaystyle \lfloor B^{3^{13n}}\rfloor }$ ${\displaystyle B\approx 3.8249998073439146171615551375}$

Véase también

• Fórmula para números primos

Referencias

1. Mills, WH (1947). "Una función que representa números primos" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 53 (6): 604. doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08849-2 .
2. Dudek, Adrian W. (2016). "Un resultado explícito para números primos entre cubos". Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici . 55 (2): 177–197. arXiv : 1401.4233 . doi :10.7169/facm/2016.55.2.3. SEÑOR  3584567. S2CID  119143089.
3. Caldwell, Chris (7 de julio de 2006). "The Prime Database". Primes . Consultado el 11 de mayo de 2017 .
4. Caldwell, Chris K.; Cheng, Yuanyou (2005). "Determinación de la constante de Mills y una nota sobre el problema de Honaker". Journal of Integer Sequences . 8 . p. 5.4.1. MR  2165330.
5. Finch, Steven R. (2003). "La constante de Mills". Constantes matemáticas . Cambridge University Press. págs. 130-133. ISBN 0-521-81805-2.
6. Warren Jr., Henry S. (2013). Hacker's Delight (2.ª edición). Addison-Wesley Professional. ISBN 9780321842688.
7. Matomäki, K. (2010). "Funciones que representan números primos" (PDF) . Acta Mathematica Hungarica . 128 (4): 307–314. doi : 10.1007/s10474-010-9191-x . S2CID  18960874.
8. Tóth, László (2017). "Una variación de las funciones de representación de primos de tipo Mills" (PDF) . Journal of Integer Sequences . 20 . p. 17.9.8. arXiv : 1801.08014 .
9. Elsholtz, Christian (2020). "Funciones incondicionales que representan primos, siguiendo a Mills". American Mathematical Monthly . 127 (7): 639–642. arXiv : 2004.01285 . doi :10.1080/00029890.2020.1751560. S2CID  214795216.

Lectura adicional

• Cheng, Yuanyou Furui 2010 (2010). "Estimación explícita de primos entre cubos consecutivos". The Rocky Mountain Journal of Mathematics . 40 (1): 117–153. arXiv : 0810.2113 . doi :10.1216/RMJ-2010-40-1-117. MR  2607111. S2CID  15502941.{{cite journal}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "La constante de Mills". MathWorld .
• ¿Quién recuerda el número de Mills?, E. Kowalski.
• Constante de número primo impresionante, Numberphile.