La constante de Gelfond

Constante e elevada a la potencia pi

En matemáticas , la constante de Gelfond , llamada así por Aleksandr Gelfond , es e ^π , es decir, e elevada a la potencia π . Al igual que e y π , esta constante es irracional y trascendental . Esto fue establecido por primera vez por Gelfond y puede considerarse una aplicación del teorema de Gelfond-Schneider , señalando que

$${\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i},}$$

donde i es la unidad imaginaria . Como − i es algebraica pero no racional, e ^π es trascendental. La constante se mencionó en el séptimo problema de Hilbert . ^[1] Una constante relacionada es 2 ^{√ 2} , conocida como la constante de Gelfond–Schneider . El valor relacionado π  +  e ^π también es irracional. ^[2]

Valor numérico

La expansión decimal de la constante de Gelfond comienza

${\displaystyle e^{\pi }=}$ 23.140 692 632 779 269 005 729 086 367 948 547 380 266 106 242 600 21 ... Número de identificación oficial : A039661

Construcción

Si se define k ₀ = ⁠1/√ 2⁠ y

$${\displaystyle k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}}$$

para n > 0 , entonces la secuencia ^[3]

$${\displaystyle (4/k_{n+1})^{2^{-n}}}$$

converge rápidamente a e ^π .

Expansión de fracciones continuas

$${\displaystyle e^{\pi }=23+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{591+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Esto se basa en los dígitos de la fracción continua simple :

$${\displaystyle e^{\pi }=[23;7,9,3,1,1,591,2,9,1,2,34,1,16,1,30,1,1,4,1,2,108,2,2,1,3,1,7,1,2,2,2,1,2,3,2,166,1,2,1,4,8,10,1,1,7,1,2,3,566,...]}$$

Como lo da la secuencia entera A058287.

Propiedad geométrica

El volumen de la bola n -dimensional (o n -ball ), está dado por

$${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}$$

donde R es su radio y Γ es la función gamma . Cualquier bola de dimensión par tiene volumen.

$${\displaystyle V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}R^{2n},}$$

y, sumando todos los volúmenes de bolas unitarias ( R = 1 ) de dimensión par, se obtiene ^[4]

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}(R=1)=e^{\pi }.}$$

Constantes similares o relacionadas

La constante de Ramanujan

$${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=({\text{Gelfond's constant}})^{\sqrt {163}}}$$

Esto se conoce como la constante de Ramanujan . Es una aplicación de los números de Heegner , donde 163 es el número de Heegner en cuestión.

Similar a e ^π - π , e ^{π √ 163} es muy cercano a un número entero:

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=}$ 262 537 412 640 768 743 .999 999 999 999 250 072 597 198 185 688 879 353 856 337 336 990 86 ... ${\displaystyle \approx 640\,320^{3}+744}$

Este número fue descubierto en 1859 por el matemático Charles Hermite . ^[5] En un artículo del Día de los Inocentes de 1975 en la revista Scientific American , ^[6] el columnista de "Mathematical Games" Martin Gardner hizo la falsa afirmación de que el número era de hecho un entero y que el genio matemático indio Srinivasa Ramanujan lo había predicho, de ahí su nombre.

La proximidad coincidente, dentro de 0,000 000 000 000 75 del número 640320 ³ + 744 se explica por la multiplicación compleja y la expansión q del invariante j , específicamente:

$${\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}}$$

y,

$${\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)}$$

donde O ( e ^{- π √ 163} ) es el término de error,

$${\displaystyle {\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}}$$

lo que explica por qué e ^{π √ 163} es 0,000 000 000 000 75 por debajo de 640320 ³ + 744 .

(Para más detalles sobre esta prueba, consulte el artículo sobre los números de Heegner .)

El numeroyπ − π​

La expansión decimal de e ^π − π está dada por A018938:

${\displaystyle e^{\pi }-\pi =}$ 19.999 099 979 189 475 767 266 442 984 669 044 496 068 936 843 225 106 172 470 101 817 216 525 944 404 243 784 888 937 725 432 1516 ...​

Esto es aproximadamente igual a:

19.999 10

La explicación de esta coincidencia aparentemente notable fue dada por A. Doman en septiembre de 2023, y es el resultado de una suma relacionada con las funciones theta de Jacobi de la siguiente manera: El primer término domina ya que la suma de los términos para el total Por lo tanto, la suma se puede truncar a donde resolviendo para da Reescribiendo la aproximación para y usando la aproximación para da Por lo tanto, reordenando los términos da Irónicamente, la aproximación cruda para produce un orden de magnitud adicional de precisión. ^[7] $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(8\pi k^{2}-2\right)e^{-\pi k^{2}}=1.}$$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle \sim 0.0003436.}$ ${\displaystyle \left(8\pi -2\right)e^{-\pi }\approx 1,}$ ${\displaystyle e^{\pi }}$ ${\displaystyle e^{\pi }\approx 8\pi -2.}$ ${\displaystyle e^{\pi }}$ ${\displaystyle 7\pi \approx 22}$ $${\displaystyle e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.}$$ ${\displaystyle e^{\pi }-\pi \approx 20.}$ ${\displaystyle 7\pi }$

El numeroπ e

La expansión decimal de π ^e está dada por A059850:

${\displaystyle \pi ^{e}=}$ 22.459 157 718 361 045 473 427 152 204 543 735 027 589 315 133 996 692 249 203 002 554 066 926 040 399 117 912 318 519 727 143 0315 ...​

No se sabe si este número es trascendental o no. Nótese que, por el teorema de Gelfond-Schneider , solo podemos inferir definitivamente que a ^b es trascendental si a es algebraico y b no es racional ( a y b se consideran números complejos , también a ≠ 0 , a ≠ 1 ).

En el caso de e ^π , sólo podemos demostrar que este número es trascendental debido a las propiedades de las formas exponenciales complejas, donde π se considera el módulo del número complejo e ^π , y la equivalencia anterior se da para transformarlo en (-1) ^{- i} , lo que permite la aplicación del teorema de Gelfond-Schneider.

π ^e no tiene tal equivalencia y, por lo tanto, como tanto π como e son trascendentales, no podemos sacar ninguna conclusión sobre la trascendencia de π ^e .

El numeroy π − π y

Al igual que con π ^e , no se sabe si e ^π − π ^e es trascendental. Además, no existe ninguna prueba que demuestre si es o no irracional.

La expansión decimal para e ^π − π ^e está dada por A063504:

${\displaystyle e^{\pi }-\pi ^{e}=}$ 0,681 534 914 418 223 532 301 934 163 404 812 352 676 791 108 603 519 744 242 043 855 457 416 310 291 334 871 198 452 244 340 406 1881 ...

El numeroYo yo

Utilizando el valor principal del logaritmo complejo , $${\displaystyle i^{i}=(e^{i\pi /2})^{i}=e^{-\pi /2}=(e^{\pi })^{-1/2}}$$

La expansión decimal de está dada por A049006:

${\displaystyle i^{i}=}$ 0,207 879 576 350 761 908 546 955 619 834 978 770 033 877 841 631 769 608 075 135 883 055 419 877 285 482 139 788 600 277 865 426 0353 ...

Debido a la equivalencia, podemos utilizar el teorema de Gelfond-Schneider para demostrar que la raíz cuadrada recíproca de la constante de Gelfond también es trascendental:

i es a la vez algebraico (una solución del polinomio x ² + 1 = 0 ), y no racional, por lo tanto ⁱ es trascendental.

Véase también

• Número trascendental
• Teoría de números trascendentales , el estudio de cuestiones relacionadas con los números trascendentales.
• Identidad de Euler
• Constante de Gelfond-Schneider

Referencias

1. Tijdeman, Robert (1976). "Sobre el método Gel'fond–Baker y sus aplicaciones". En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos derivados de los problemas de Hilbert . Actas de simposios sobre matemáticas puras . Vol. XXVIII.1. Sociedad Matemática Americana . págs. 241–268. ISBN. 0-8218-1428-1.Zbl 0341.10026  .
2. Nesterenko, Y (1996). "Funciones modulares y problemas de trascendencia". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias, Serie I. 322 (10): 909–914. Zbl  0859.11047.
3. Borwein, J. ; Bailey, D. (2004). Matemáticas experimentales: razonamiento plausible en el siglo XXI . Wellesley, MA: AK Peters. pág. 137. ISBN 1-56881-211-6.Zbl1083.00001  .​
4. Connolly, Francis. Universidad de Notre Dame ^{[ cita completa requerida ]}
5. Barrow, John D (2002). Las constantes de la naturaleza . Londres: Jonathan Cape. pág. 72. ISBN. 0-224-06135-6.
6. Gardner, Martin (abril de 1975). "Juegos matemáticos". Scientific American . 232 (4). Scientific American, Inc: 127. Bibcode :1975SciAm.232e.102G. doi :10.1038/scientificamerican0575-102.
7. Eric Weisstein , "Casi entero" en MathWorld

Lectura adicional

• Alan Baker y Gisbert Wüstholz , Formas logarítmicas y geometría diofántica , New Mathematical Monographs 9 , Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88268-2 

Enlaces externos

• La constante de Gelfond en MathWorld
• Una nueva identidad compleja para la torre de energía de Gelfond
• Casi entero en MathWorld