Se define como la relación, para cualquier parábola , entre la longitud del arco del segmento parabólico formado por el latus recto y el parámetro focal. El parámetro focal es el doble de la distancia focal . La relación se denota P . [1] [2] [3]
En el diagrama, el lado recto se muestra en azul, el segmento parabólico que forma en rojo y el parámetro focal en verde. (El foco de la parábola es el punto F y la directriz es la recta L. )
El valor de P es [4]
(secuencia A103710 en la OEIS ). El círculo y la parábola son únicos entre las secciones cónicas porque tienen una constante universal. Las proporciones análogas para elipses e hipérbolas dependen de sus excentricidades . Esto significa que todos los círculos son similares y todas las parábolas son similares, mientras que las elipses y las hipérbolas no lo son.
Derivación
Tómese como ecuación de la parábola. El parámetro focal es y el recto semilato es .
Prueba . Supongamos que P es algebraico . Entonces también debe ser algebraico. Sin embargo, según el teorema de Lindemann-Weierstrass , sería trascendental, lo cual no es el caso. Por tanto, P es trascendental.
La distancia promedio desde un punto seleccionado al azar en el cuadrado unitario hasta su centro es [5]
Prueba .
También hay una razón geométrica interesante por la que esta constante aparece en cuadrados unitarios. La distancia promedio entre el centro de un cuadrado unitario y un punto en el límite del cuadrado es . Si tomamos muestras uniformemente de cada punto en el perímetro del cuadrado, tomamos segmentos de línea (trazados desde el centro) correspondientes a cada punto, los sumamos uniendo cada segmento de línea al lado del otro, reduciéndolos, la curva obtenida es una parábola. . [6]
Referencias y notas a pie de página
^ Sylvester Reese y Jonathan Sondow. "Constante parabólica universal". MundoMatemático ., un recurso de Wolfram Web.
^ Reese, Silvestre. "Videoconferencia del Coloquio Pohle: La constante parabólica universal" . Consultado el 2 de febrero de 2005 .
^ Sondow, Jonathan (2013). "Los parbelos, un análogo parabólico de los arbelos". América. Matemáticas. Mensual . 120 (10): 929–935. arXiv : 1210.2279 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.10.929. S2CID 33402874.Mensual Matemática Estadounidense , 120 (2013), 929-935.
^ Ver Parábola # Longitud del arco . Utilice , la longitud del recto semilato, así y . Calcule en términos de , luego divida por , que es el parámetro focal.