El problema de Hermite

El problema de Hermite es un problema abierto en matemáticas planteado por Charles Hermite en 1848. Pidió una forma de expresar los números reales como secuencias de números naturales , de modo que la secuencia finalmente sea periódica precisamente cuando el número original es un irracional cúbico .

Motivación

Una forma estándar de escribir números reales es mediante su representación decimal , como por ejemplo:

${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots \ }$

donde a ₀ es un número entero , la parte entera de x , y a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... son números enteros entre 0 y 9. Dada esta representación el número x es igual a

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n}}}.}$

El número real x es un número racional sólo si su expansión decimal es eventualmente periódica, es decir si existen números naturales N y p tales que para todo n  ≥  N se da el caso de que a _{n + p}  =  a _n .

Otra forma de expresar números es escribirlos como fracciones continuas , como en:

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ],\ }$

donde un ₀ es un número entero y un ₁ , un ₂ , un ₃ ... son números naturales. De esta representación podemos recuperar x ya que

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ddots }}}}}}.}$

Si x es un número racional _, entonces la secuencia ( an ) termina después de un número finito de términos. Por otro lado, Euler demostró que los números irracionales requieren una secuencia infinita para expresarlos como fracciones continuas. ^{[1] Además} _, esta secuencia eventualmente es periódica (nuevamente, de modo que hay números naturales N y p tales que para cada n  ≥  N tenemos an _{+ p}  =  an ), si y solo si _x es un irracional cuadrático .

La pregunta de Hermite

Los números racionales son números algebraicos que satisfacen un polinomio de grado 1, mientras que los irracionales cuadráticos son números algebraicos que satisfacen un polinomio de grado 2. Para ambos conjuntos de números tenemos una manera de construir una secuencia de números naturales ( a _n ) con el propiedad de que cada secuencia da un número real único y tal que este número real pertenece al conjunto correspondiente si y sólo si la secuencia es eventualmente periódica.

En 1848, Charles Hermite escribió una carta a Carl Gustav Jacob Jacobi preguntándole si esta situación podría generalizarse, es decir, ¿se puede asignar una secuencia de números naturales a cada número real x de modo que la secuencia finalmente sea periódica precisamente cuando x es un irracional cúbico? , ¿ese es un número algebraico de grado 3? ^{[2] [3]} O, de manera más general, para cada número natural d, ¿hay alguna manera de asignar una secuencia de números naturales a cada número real x que pueda determinar cuándo x es algebraico de grado d ?

Enfoques

Las secuencias que intentan resolver el problema de Hermite suelen denominarse fracciones continuas multidimensionales . El propio Jacobi ideó un ejemplo temprano: encontró una secuencia correspondiente a cada par de números reales ( x ,  y ) que actuaba como un análogo de dimensiones superiores de las fracciones continuas. ^[4] Esperaba demostrar que la secuencia adjunta a ( x ,  y ) era eventualmente periódica si y solo si tanto x como y pertenecían a un campo numérico cúbico , pero no pudo hacerlo y si este es el caso permanece sin resolver.

En 2015, por primera vez, se proporcionó una representación periódica de cualquier irracional cúbico mediante fracciones continuas ternarias, es decir, se resolvió el problema de escribir irracionales cúbicos como una secuencia periódica de números racionales o enteros. Sin embargo, la representación periódica no se deriva de un algoritmo definido sobre todos los números reales y sólo se deriva del conocimiento del polinomio mínimo del irracional cúbico. ^[5]

En lugar de generalizar fracciones continuas, otro enfoque del problema es generalizar la función del signo de interrogación de Minkowski . Esta función ? : [0, 1] → [0, 1] también selecciona números irracionales cuadráticos ya que ?( x ) es racional si y solo si x es racional o un número irracional cuadrático, y además x es racional si y solo si ?( x ) es un racional diádico , por lo tanto x es un irracional cuadrático precisamente cuando ?( x ) es un número racional no diádico. Se han hecho varias generalizaciones de esta función al cuadrado unitario [0, 1] × [0, 1] o al simplex bidimensional , aunque ninguna ha resuelto aún el problema de Hermite. ^{[6] [7]}

Oleg Karpenkov propuso dos algoritmos sustractivos para encontrar un representante periódico de vectores cúbicos. ^[8] El primero ( algoritmo) funciona sólo para el caso totalmente real. La entrada para el algoritmo es un triple de vectores cúbicos. Un vector cúbico es cualquier vector que genera una extensión de grado 3 de . En este caso los vectores cúbicos son conjugados si y sólo si la salida del algoritmo es periódica. Se conjetura que el segundo ( algoritmo HAPD ) funciona en todos los casos (incluidos los vectores cúbicos complejos) y en todas las dimensiones . ${\displaystyle \sin ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle d\geq 3}$

Referencias

1. Euler, Leonhard (1748), Introductio in analysin infinitorum, vol. Yo, Lausana: Marcum-Michaelem Bousquet - vía The Euler Archive
2. Émile Picard, L'œuvre scientifique de Charles Hermite , Ann. Ciencia. Norma de la escuela. Sorber. 3 18 (1901), págs.9–34.
3. Extraits de lettres de M. Ch. Hermite à M. Jacobi sur différents objects de la théorie des nombres. (Continuación). , Journal für die reine und angewandte Mathematik 40 (1850), págs. 279–315, doi :10.1515/crll.1850.40.279
4. CGJ Jacobi, Allgemeine Theorie der kettenbruchänlichen Algorithmen , en welche jede Zahl aus drei vorhergehenden gebildet wird (inglés: Teoría general de algoritmos similares a fracciones continuas en los que cada número se forma a partir de tres anteriores ), Journal für die reine und angewandte Mathematik 69 (1868), págs.29–64.
5. Nadir Murru, Sobre la escritura periódica de irracionales cúbicos y una generalización de funciones Rédei , Int. J. Teoría de números 11 (2015), no. 3, págs. 779-799, doi: 10.1142/S1793042115500438
6. L. Kollros, Un Algorithme pour l'approximation simultanée de Deux Granduers , Disertación inaugural, Universität Zürich, 1905.
7. Castor, Olga R .; Garrity, Thomas (2004), "¿Una función bidimensional de Minkowski ? ( x ) ", Journal of Number Theory , 107 (1): 105–134, arXiv : math/0210480 , doi :10.1016/j.jnt.2004.01. 008, señor  2059953
8. Karpenkov, Oleg (2022), "Sobre el problema de Hermite, algoritmos de tipo Jacobi-Perron y grupos de Dirichlet", Acta Arithmetica , 203 (1): 27–48, arXiv : 2101.12707 , doi : 10.4064/aa210614-5-1, Señor  4415995; consulte también "Sobre un algoritmo periódico de tipo Jacobi-Perron" de Karpenkov, arXiv :2101.12627, fusionado en la versión publicada en revista de este artículo.