Número de Dottie

Constante matemática relacionada con la función coseno

El número de Dottie es el único punto fijo real de la función coseno .

En matemáticas , el número Dottie es una constante que es la única raíz real de la ecuación.

${\displaystyle \cos x=x}$,

donde el argumento de está en radianes . ${\displaystyle \cos }$

La expansión decimal del número Dottie es . ^[1] ${\displaystyle 0.739085133215160641655312087673873404...}$

Como es decreciente y su derivada no es cero en , solo cruza cero en un punto. Esto implica que la ecuación tiene solo una solución real. Es el único punto fijo de valor real de la función coseno y es un ejemplo no trivial de un punto fijo universal que atrae. También es un número trascendental debido al teorema de Lindemann-Weierstrass . ^[2] El caso generalizado para una variable compleja tiene infinitas raíces, pero a diferencia del número de Dottie, no son puntos fijos que atraen. ${\displaystyle \cos(x)-x}$ ${\displaystyle \cos(x)-x=0}$ ${\displaystyle \cos(x)=x}$ ${\displaystyle \cos z=z}$ ${\displaystyle z}$

La solución de la cuadrisección de un círculo en cuatro partes de la misma área con cuerdas que salen del mismo punto se puede expresar mediante el número de Dottie.

Utilizando la serie de Taylor de la inversa de at (o equivalentemente, el teorema de inversión de Lagrange ), el número de Dottie se puede expresar como la serie infinita donde cada es un número racional definido para n impar como ^{[3] [4] [5] [nb 1]} ${\displaystyle f(x)=\cos(x)-x}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}+\sum _{n\,\mathrm {odd} }a_{n}\pi ^{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{m\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial m^{n-1}}}{\left({\frac {\cos m}{m-\pi /2}}-1\right)^{-n}}\\&=-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac {43}{165150720}},\ldots \end{aligned}}}$

El nombre de la constante proviene de una profesora de francés llamada Dottie que observaba el número presionando repetidamente el botón coseno en su calculadora. ^[3]

Si una calculadora está configurada para tomar ángulos en grados , la secuencia de números convergerá a , ^[6] la raíz de . ${\displaystyle 0.999847...}$ ${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{180}}x\right)=x}$

El número de Dottie, para el cual se puede obtener una expansión en serie exacta utilizando la fórmula de Faà di Bruno, tiene conexiones interesantes con los problemas del círculo de Kepler y Bertrand. ^[7]

Formularios cerrados

El número de Dottie se puede expresar como: ^[8]

${\displaystyle D_{0}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\ln \left({\frac {4\left(x+\sinh x\right)^{2}+\pi ^{2}}{4(x-\sinh x)^{2}+\pi ^{2}}}\right)\mathrm {d} x}$

O además:

${\displaystyle D={\sqrt {1-\left(2I_{\frac {1}{2}}^{-1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}\right)-1\right)^{2}}},}$

donde es la inversa de la función beta regularizada . Este valor se puede obtener utilizando la ecuación de Kepler , junto con otras formas cerradas equivalentes. ^[7] ${\displaystyle I^{-1}}$

En las hojas de cálculo de Microsoft Excel y LibreOffice Calc, el número Dottie se puede expresar en forma cerrada como . En el sistema de álgebra computacional de Mathematica , el número Dottie es .SQRT(1-(2*BETA.INV(1/2,1/2,3/2)-1)^2) Sqrt[1 - (2 InverseBetaRegularized[1/2, 1/2, 3/2] - 1)^2]

Otra representación en forma cerrada:

${\displaystyle D=-\tanh \left(2{\text{ arctanh}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\operatorname {InvT} \left({\frac {1}{4}},3\right)\right)\right)=-{\frac {2{\sqrt {3}}{\operatorname {InvT} \left({\frac {1}{4}},3\right)}}{\operatorname {InvT} ^{2}\left({\frac {1}{4}},3\right)+3}},}$

donde es la función de supervivencia inversa de la distribución t de Student . En Microsoft Excel y LibreOffice Calc, debido a las particularidades de la realización de la función `TINV`, esta se puede expresar como fórmulas y . ${\displaystyle \operatorname {InvT} }$2 *SQRT(3)* TINV(1/2, 3)/(TINV(1/2, 3)^2+3)TANH(2*ATANH(1/SQRT(3) * TINV(1/2,3)))

Representaciones integrales

El número Dottie se puede representar como

${\displaystyle D={\sqrt {1-\left(1-\left(\int _{0}^{\infty }{\frac {32(z-\sinh(z))^{2}+24\pi ^{2}}{\left(4(z-\sinh(z))^{2}+3\pi ^{2}\right)^{2}+16\pi ^{2}(z-\sinh(z))^{2}}}\,dz\right)^{-1}\right)^{2}}}}$. ^[9]

Notas

1. Kaplan no da una fórmula explícita para los términos de la serie, lo cual se deduce trivialmente del teorema de inversión de Lagrange .

Referencias

1. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A003957". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
2. Eric W. Weisstein . "Número Dottie".
3. Kaplan, Samuel R (febrero de 2007). "The Dottie Number" (PDF) . Revista de matemáticas . 80 : 73. doi :10.1080/0025570X.2007.11953455. S2CID  125871044. Consultado el 29 de noviembre de 2017 .
4. "OEIS A302977 Numeradores del factor racional de la serie de Kaplan para el número de Dottie". oeis.org . Consultado el 26 de mayo de 2019 .
5. "A306254 - OEIS". oeis.org . Consultado el 22 de julio de 2019 .
6. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A330119". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
7. Pain, Jean-Christophe (2023). "Una expansión de serie exacta para el número de Dottie". arXiv : 2303.17962 .
8. Michos, Alexander (3 de marzo de 2023), Una breve investigación de una representación integral del número de Dottie, doi :10.31219/osf.io/3rzj5 , consultado el 24 de septiembre de 2024
9. "Representación integral del número Dottie". Mathematics Stack Exchange .

Enlaces externos

• Miller, TH (febrero de 1890). "Sobre los valores numéricos de las raíces de la ecuación cosx = x". Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 9 : 80–83. doi : 10.1017/S0013091500030868 .
• Salov, Valerii (2012). "Número de Dottie inevitable. Iterales de coseno y seno". arXiv : 1212.1027 .
• Azarian, Mohammad K. (2008). "SOBRE LOS PUNTOS FIJOS DE UNA FUNCIÓN Y LOS PUNTOS FIJOS DE SUS FUNCIONES COMPUESTAS" (PDF) . Revista Internacional de Matemáticas Pura y Aplicada .