La constante del catalán

Número, aproximadamente 0,916

En matemáticas , la constante de Catalan G , es la suma alternada de los recíprocos de los números cuadrados impares , siendo definida por:

${\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots ,}$

donde β es la función beta de Dirichlet . Su valor numérico ^[1] es aproximadamente (secuencia A006752 en la OEIS )

G =0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

La constante de Catalan debe su nombre a Eugène Charles Catalan , quien encontró series de convergencia rápida para su cálculo y publicó una memoria sobre ella en 1865. ^{[2] [3]}

Usos

En topología de baja dimensión , la constante de Catalan es 1/4 del volumen de un octaedro hiperbólico ideal , y por lo tanto 1/4 del volumen hiperbólico del complemento del enlace de Whitehead . ^[4] Es 1/8 del volumen del complemento de los anillos borromeos . ^[5]

En combinatoria y mecánica estadística , surge en conexión con el conteo de mosaicos de dominó , ^[6] árboles de expansión , ^[7] y ciclos hamiltonianos de gráficos de cuadrícula . ^[8]

En teoría de números , la constante de Catalan aparece en una fórmula conjeturada para el número asintótico de primos de la forma según la conjetura F de Hardy y Littlewood . Sin embargo, es un problema no resuelto (uno de los problemas de Landau ) si hay incluso infinitos primos de esta forma. ^[9] ${\displaystyle n^{2}+1}$

La constante de Catalan también aparece en el cálculo de la distribución de masa de las galaxias espirales . ^{[10] [11]}

Propiedades

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Es irracional la constante del catalán? Y si es así, ¿es trascendental?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

No se sabe si G es irracional , y mucho menos trascendental . ^[12] Se ha dicho que G es "posiblemente la constante más básica cuya irracionalidad y trascendencia (aunque se sospecha fuertemente) siguen sin demostrarse". ^[13]

Sin embargo, existen resultados parciales. Se sabe que una cantidad infinita de números β (2 n ) son irracionales, donde β(s) es la función beta de Dirichlet. ^[14] En particular, al menos uno de β (2), β (4), β (6), β (8), β (10) y β (12) debe ser irracional, donde β (2) es la constante de Catalan. ^[15] Estos resultados de Wadim Zudilin y Tanguy Rivoal están relacionados con otros similares dados para las constantes zeta impares ζ(2 n+1 ).

Se sabe que la constante de Catalan es un periodo algebraico , lo que se deduce de algunas de las integrales dobles que se dan a continuación.

Representaciones en serie

La constante de Catalan aparece en la evaluación de varias series racionales, entre ellas: ^[16] Las dos fórmulas siguientes implican series que convergen rápidamente y, por lo tanto, son apropiadas para el cálculo numérico: y $${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}+{\frac {G}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+1)^{2}}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}-{\frac {G}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+3)^{2}}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}G&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)\\&\qquad -2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\log \left(2+{\sqrt {3}}\right)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}$$

Los fundamentos teóricos para tales series están dados por Broadhurst, para la primera fórmula, ^[17] y Ramanujan, para la segunda fórmula. ^[18] Los algoritmos para la evaluación rápida de la constante de Catalan fueron construidos por E. Karatsuba. ^{[19] [20]} Usando estas series, calcular la constante de Catalan es ahora casi tan rápido como calcular la constante de Apéry , . ^[21] ${\displaystyle \zeta (3)}$

Otras series de convergencia rápida, debidas a Guillera y Pilehrood y empleadas por el software y-cruncher , incluyen: ^[21]

${\displaystyle G={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-8)^{k}(3k+2)}{(2k+1)^{3}{\binom {2k}{k}}^{3}}}}$

${\displaystyle G={\frac {1}{64}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {256^{k}(580k^{2}-184k+15)}{k^{3}(2k-1){\binom {6k}{3k}}{\binom {6k}{4k}}{\binom {4k}{2k}}}}}$

${\displaystyle G=-{\frac {1}{1024}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-4096)^{k}(45136k^{4}-57184k^{3}+21240k^{2}-3160k+165)}{k^{3}(2k-1)^{3}}}\left({\frac {(2k)!^{6}(3k)!^{3}}{k!^{3}(6k)!^{3}}}\right)}$

Todas estas series tienen complejidad temporal . ^[21] ${\displaystyle O(n\log(n)^{3})}$

Identidades integrales

Como escribe Seán Stewart, "Existe una fuente rica y aparentemente interminable de integrales definidas que pueden equipararse o expresarse en términos de la constante de Catalan". ^[22] Algunas de estas expresiones incluyen: $${\displaystyle {\begin{aligned}G&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \ln \tan x\ln \tan x\,dx\\[3pt]G&=\iint _{[0,1]^{2}}\!{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-x}{\frac {1}{1-x^{2}-y^{2}}}\,dy\,dx\\[3pt]G&=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {t}{\sin t}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \cot t\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \left(\sec t+\tan t\right)\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\arccos t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsinh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {arctan} t}{t{\sqrt {1+t^{2}}}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arctanh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {arccot} e^{t}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{4}}\int _{0}^{{\pi ^{2}}/{4}}\csc {\sqrt {t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{16}}\left(\pi ^{2}+4\int _{1}^{\infty }\operatorname {arccsc} ^{2}t\,dt\right)\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t}{\cosh t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {\pi }{2}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\left(t^{4}-6t^{2}+1\right)\ln \ln t}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\arcsin \left(\sin t\right)}{t}}\,dt\\[3pt]G&=1+\lim _{\alpha \to {1^{-}}}\!\left\{\int _{0}^{\alpha }\!{\frac {\left(1+6t^{2}+t^{4}\right)\arctan {t}}{t\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt+2\operatorname {artanh} {\alpha }-{\frac {\pi \alpha }{1-\alpha ^{2}}}\right\}\\[3pt]G&=1-{\frac {1}{8}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\!\!{\frac {x\sin \left(2xy/\pi \right)}{\,\left(x^{2}+\pi ^{2}\right)\cosh x\sinh y\,}}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt[{4}]{x}}\left({\sqrt {x}}{\sqrt {y}}-1\right)}{(x+1)^{2}{\sqrt[{4}]{y}}(y+1)^{2}\log(xy)}}dxdy\end{aligned}}}$$

donde las tres últimas fórmulas están relacionadas con las integrales de Malmsten . ^[23]

Si K( k ) es la integral elíptica completa de primer tipo , en función del módulo elíptico k , entonces $${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,dk}$$

Si E( k ) es la integral elíptica completa de segundo tipo , en función del módulo elíptico k , entonces $${\displaystyle G=-{\tfrac {1}{2}}+\int _{0}^{1}\mathrm {E} (k)\,dk}$$

Con la función gamma Γ( x + 1) = x ! $${\displaystyle {\begin{aligned}G&={\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{1}\Gamma \left(1+{\frac {x}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {x}{2}}\right)\,dx\\&={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\frac {1}{2}}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\,dy\end{aligned}}}$$

La integral es una función especial conocida, llamada integral tangente inversa , y fue ampliamente estudiada por Srinivasa Ramanujan . $${\displaystyle G=\operatorname {Ti} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt}$$

Relación con funciones especiales

G aparece en valores de la segunda función poligamma , también llamada función trigamma , en argumentos fraccionarios: ^[16]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\\\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&=\pi ^{2}-8G.\end{aligned}}}$$

Simon Plouffe da una colección infinita de identidades entre la función trigamma, π ² y la constante de Catalan; estas se pueden expresar como trayectorias en un gráfico.

La constante de Catalan aparece frecuentemente en relación con la función de Clausen , la integral de la tangente inversa , la integral del seno inversa, la función G de Barnes , así como en integrales y series sumables en términos de las funciones antes mencionadas.

Como ejemplo particular, al expresar primero la integral tangente inversa en su forma cerrada –en términos de funciones de Clausen– y luego expresar esas funciones de Clausen en términos de la función G de Barnes , se obtiene la siguiente expresión (ver función de Clausen para más información):

$${\displaystyle G=4\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {3}{8}}\right)G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)G\left({\frac {5}{8}}\right)}}\right)+4\pi \log \left({\frac {\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\log \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}\right).}$$

Si se define la función trascendente de Lerch Φ( z , s , α ) (relacionada con la función zeta de Lerch ) entonces $${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}},}$$ $${\displaystyle G={\tfrac {1}{4}}\Phi \left(-1,2,{\tfrac {1}{2}}\right).}$$

Fracción continua

G se puede expresar de la siguiente forma: ^[24]

${\displaystyle G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{4}}{8+{\cfrac {3^{4}}{16+{\cfrac {5^{4}}{24+{\cfrac {7^{4}}{32+{\cfrac {9^{4}}{40+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

La fracción continua simple viene dada por: ^[25]

${\displaystyle G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{88+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

Esta fracción continua tendría términos infinitos si y sólo si es irracional, lo cual aún está sin resolver. ${\displaystyle G}$

Dígitos conocidos

El número de dígitos conocidos de la constante G de Catalan ha aumentado drásticamente durante las últimas décadas. Esto se debe tanto al aumento del rendimiento de los ordenadores como a las mejoras algorítmicas. ^[26]

Véase también

• Colector de Gieseking
• Lista de constantes matemáticas
• Constante matemática
• Valores particulares de la función zeta de Riemann

Referencias

1. Papanikolaou, Thomas (marzo de 1997). La constante del catalán hasta 1.500.000 lugares – vía Gutenberg.org.
2. Goldstein, Catalina (2015). "Los logros matemáticos de Eugène Catalan". Boletín de la Société Royale des Sciences de Lieja . 84 : 74–92. SEÑOR  3498215.
3. Catalán, E. (1865). "Mémoire sur la transform des séries et sur quelques integrales définies". Ers, Publiés Par l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique. Colección en 4 . Mémoires de l'Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique (en francés). 33 . Bruselas. hdl :2268/193841.
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Lectura adicional

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Enlaces externos

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• Plouffe, Simon (1999). «Algunas identidades con la constante Catalan y Pi^2». Archivado desde el original el 26 de junio de 2019. Consultado el 29 de julio de 2005 .(Proporciona una interpretación gráfica de las relaciones)
• Fee, Greg (1996). Constante de Catalan (Fórmula de Ramanujan).(Proporciona los primeros 300.000 dígitos de la constante del catalán)
• Bradley, David M. (2001). Representaciones de la constante de Catalan. CiteSeerX  10.1.1.26.1879 .{{citation}}: CS1 maint: overridden setting (link)
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