movimiento browniano

Movimiento aleatorio de partículas suspendidas en un fluido.

Paseo aleatorio bidimensional de un átomo de plata sobre una superficie de Ag(111) ^[1]

Simulación del movimiento browniano de una partícula grande, análoga a una partícula de polvo, que choca con un gran conjunto de partículas más pequeñas, análogas a moléculas de un gas, que se mueven con diferentes velocidades en diferentes direcciones aleatorias.

El movimiento browniano es el movimiento aleatorio de partículas suspendidas en un medio (un líquido o un gas ). ^[2]

Este patrón de movimiento normalmente consiste en fluctuaciones aleatorias en la posición de una partícula dentro de un subdominio de fluido, seguidas de una reubicación a otro subdominio. A cada reubicación le siguen más fluctuaciones dentro del nuevo volumen cerrado. Este patrón describe un fluido en equilibrio térmico , definido por una temperatura determinada . Dentro de un fluido de este tipo no existe una dirección de flujo preferencial (como en los fenómenos de transporte ). Más específicamente, los momentos lineales y angulares generales del fluido permanecen nulos con el tiempo. Las energías cinéticas de los movimientos brownianos moleculares, junto con las de las rotaciones y vibraciones moleculares, se suman al componente calórico de la energía interna de un fluido (el teorema de equipartición ). ^{[ cita necesaria ]}

Este movimiento lleva el nombre del botánico Robert Brown , quien describió por primera vez el fenómeno en 1827, mientras observaba a través de un microscopio el polen de la planta Clarkia pulchella sumergido en agua. En 1900, el matemático francés Louis Bachelier modeló el proceso estocástico ahora llamado movimiento browniano en su tesis doctoral, La teoría de la especulación (Théorie de la spéculation), preparada bajo la supervisión de Henri Poincaré . Luego, en 1905, el físico teórico Albert Einstein publicó un artículo en el que modelaba el movimiento de las partículas de polen como si fueran movidos por moléculas de agua individuales , realizando una de sus primeras contribuciones científicas importantes. ^[3]

La dirección de la fuerza del bombardeo atómico cambia constantemente y en distintos momentos la partícula recibe más impacto en un lado que en el otro, lo que da lugar a una naturaleza aparentemente aleatoria del movimiento. Esta explicación del movimiento browniano sirvió como evidencia convincente de que los átomos y las moléculas existen y fue verificada experimentalmente por Jean Perrin en 1908. Perrin recibió el Premio Nobel de Física en 1926 "por su trabajo sobre la estructura discontinua de la materia". ^[4]

Las interacciones de muchos cuerpos que dan lugar al patrón browniano no pueden resolverse mediante un modelo que tenga en cuenta cada molécula implicada. En consecuencia, para describirlo sólo se pueden emplear modelos probabilísticos aplicados a poblaciones moleculares . ^[5] A continuación se presentan dos de estos modelos de la mecánica estadística , debidos a Einstein y Smoluchowski. Otra clase de modelos puramente probabilísticos es la clase de modelos de procesos estocásticos . Existen secuencias de procesos estocásticos tanto más simples como más complicados que convergen (en el límite ) al movimiento browniano (ver paseo aleatorio y teorema de Donsker ). ^{[6] [7]}

Historia

Reproducido del libro de Jean Baptiste Perrin , Les Atomes , se muestran tres trazados del movimiento de partículas coloidales de radio 0,53 µm, tal como se ven al microscopio. Las posiciones sucesivas cada 30 segundos se unen mediante segmentos de línea recta (el tamaño de malla es de 3,2 µm). ^[8]

El poema científico del filósofo y poeta romano Lucrecio " Sobre la naturaleza de las cosas " ( c.  60 a. C. ) tiene una descripción notable del movimiento de las partículas de polvo en los versículos 113-140 del Libro II. Utiliza esto como prueba de la existencia de los átomos:

Observe lo que sucede cuando los rayos del sol entran en un edificio y arrojan luz sobre sus lugares oscuros. Verás una multitud de pequeñas partículas mezclándose de muchas maneras... su danza es una indicación real de movimientos subyacentes de la materia que están ocultos a nuestra vista... Se origina en los átomos que se mueven por sí mismos [es decir, espontáneamente ]. Luego, aquellos pequeños cuerpos compuestos que están menos alejados del impulso de los átomos se ponen en movimiento por el impacto de sus golpes invisibles y, a su vez, se disparan contra cuerpos ligeramente mayores. Así, el movimiento sube desde los átomos y emerge gradualmente hasta el nivel de nuestros sentidos, de modo que están en movimiento aquellos cuerpos que vemos en los rayos del sol, movidos por golpes que permanecen invisibles.

Aunque el movimiento entremezclado y giratorio de las partículas de polvo es causado en gran medida por las corrientes de aire, el movimiento brillante y oscilante de las pequeñas partículas de polvo es causado principalmente por la verdadera dinámica browniana ; Lucrecio "describe y explica perfectamente el movimiento browniano con un ejemplo equivocado". ^[9]

Mientras que Jan Ingenhousz describió el movimiento irregular de las partículas de polvo de carbón sobre la superficie del alcohol en 1785, el descubrimiento de este fenómeno a menudo se atribuye al botánico Robert Brown en 1827. Brown estaba estudiando los granos de polen de la planta Clarkia pulchella suspendidos en agua bajo una microscopio cuando observó partículas diminutas, expulsadas por los granos de polen, ejecutando un movimiento nervioso. Repitiendo el experimento con partículas de materia inorgánica pudo descartar que el movimiento estuviera relacionado con la vida, aunque su origen aún no se había explicado.

La primera persona que describió las matemáticas detrás del movimiento browniano fue Thorvald N. Thiele en un artículo sobre el método de mínimos cuadrados publicado en 1880. Esto fue seguido de forma independiente por Louis Bachelier en 1900 en su tesis doctoral "La teoría de la especulación", en la que presentó un análisis estocástico de los mercados de acciones y opciones. A menudo se cita el modelo de movimiento browniano del mercado de valores , pero Benoit Mandelbrot rechazó su aplicabilidad a los movimientos del precio de las acciones en parte porque son discontinuos. ^[10]

Albert Einstein (en uno de sus artículos de 1905 ) y Marian Smoluchowski (1906) llamaron la atención de los físicos sobre la solución del problema y la presentaron como una forma de confirmar indirectamente la existencia de átomos y moléculas. Sus ecuaciones que describen el movimiento browniano fueron posteriormente verificadas por el trabajo experimental de Jean Baptiste Perrin en 1908.

Teorías de la mecánica estadística

La teoría de Einstein

La teoría de Einstein consta de dos partes: la primera parte consiste en la formulación de una ecuación de difusión para partículas brownianas, en la que el coeficiente de difusión se relaciona con el desplazamiento cuadrático medio de una partícula browniana, mientras que la segunda parte consiste en relacionar el coeficiente de difusión. a cantidades físicas mensurables. ^[11] De esta manera, Einstein pudo determinar el tamaño de los átomos y cuántos átomos hay en un mol, o el peso molecular en gramos, de un gas. ^[12] De acuerdo con la ley de Avogadro , este volumen es el mismo para todos los gases ideales, que es de 22,414 litros a temperatura y presión estándar. El número de átomos contenidos en este volumen se denomina número de Avogadro , y la determinación de este número equivale al conocimiento de la masa de un átomo, ya que esta última se obtiene dividiendo la masa molar del gas por la masa de Avogadro. constante .

Las curvas características en forma de campana de la difusión de partículas brownianas. La distribución comienza como una función delta de Dirac , lo que indica que todas las partículas están ubicadas en el origen en el tiempo t = 0. A medida que t aumenta, la distribución se aplana (aunque sigue teniendo forma de campana) y finalmente se vuelve uniforme en el límite en el que pasa el tiempo. hasta el infinito.

La primera parte del argumento de Einstein era determinar qué tan lejos viaja una partícula browniana en un intervalo de tiempo determinado. ^[3] La mecánica clásica no puede determinar esta distancia debido al enorme número de bombardeos que sufrirá una partícula browniana, aproximadamente del orden de 10 ¹⁴ colisiones por segundo. ^[2]

Consideró el incremento de las posiciones de las partículas en el tiempo en un espacio unidimensional ( x ) (con las coordenadas elegidas de modo que el origen se encuentre en la posición inicial de la partícula) como una variable aleatoria ( ) con alguna función de densidad de probabilidad (es decir, es la densidad de probabilidad para un salto de magnitud , es decir, la densidad de probabilidad de que la partícula incremente su posición de a en el intervalo de tiempo ). Además, suponiendo la conservación del número de partículas, expandió la densidad numérica (número de partículas por unidad de volumen alrededor ) en el tiempo en una serie de Taylor , ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \varphi (\Delta )}$ ${\displaystyle \varphi (\Delta )}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+\Delta }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \rho (x,t+\tau )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t+\tau }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x,t)}{\partial t}}+\cdots ={}&\rho (x,t+\tau )\\={}&\int _{-\infty }^{\infty }\rho (x-\Delta ,t)\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta =\mathbb {E} _{\Delta }[\rho (x-\Delta ,t)]\\={}&\rho (x,t)\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta -{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\Delta \cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\&{}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \\={}&\rho (x,t)\cdot 1-0+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \end{aligned}}}$$

donde la segunda igualdad es por definición de . La integral en el primer término es igual a uno según la definición de probabilidad, y el segundo y otros términos pares (es decir, el primer y otros momentos impares ) desaparecen debido a la simetría espacial. Lo que queda da lugar a la siguiente relación: ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +{\text{higher-order even moments.}}}$$

Donde el coeficiente posterior al laplaciano , el segundo momento de probabilidad de desplazamiento , se interpreta como difusividad de masa D : ${\displaystyle \Delta }$

$${\displaystyle D=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta .}$$

Entonces la densidad de las partículas brownianas ρ en el punto x en el tiempo t satisface la ecuación de difusión :

$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},}$$

Suponiendo que N partículas parten del origen en el tiempo inicial t = 0, la ecuación de difusión tiene la solución

$${\displaystyle \rho (x,t)={\frac {N}{\sqrt {4\pi Dt}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4Dt}}}.}$$

Esta expresión (que es una distribución normal con media y varianza normalmente llamada movimiento browniano ) permitió a Einstein calcular los momentos directamente. Se ve que el primer momento desaparece, lo que significa que es igualmente probable que la partícula browniana se mueva hacia la izquierda como hacia la derecha. El segundo momento, sin embargo, no desaparece, dado por ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=2Dt}$ ${\displaystyle B_{t}}$

$${\displaystyle {\overline {x^{2}}}=2\,D\,t.}$$

Esta ecuación expresa el desplazamiento cuadrático medio en términos del tiempo transcurrido y la difusividad. A partir de esta expresión Einstein argumentó que el desplazamiento de una partícula browniana no es proporcional al tiempo transcurrido, sino a su raíz cuadrada. ^[11] Su argumento se basa en un cambio conceptual del "conjunto" de partículas brownianas a la "única" partícula browniana: podemos hablar del número relativo de partículas en un solo instante tan bien como del tiempo que tarda un Partícula browniana para llegar a un punto determinado. ^[13]

La segunda parte de la teoría de Einstein relaciona la constante de difusión con cantidades físicamente mensurables, como el desplazamiento cuadrático medio de una partícula en un intervalo de tiempo determinado. Este resultado permite la determinación experimental del número de Avogadro y por tanto del tamaño de las moléculas. Einstein analizó el equilibrio dinámico que se establece entre fuerzas opuestas. La belleza de su argumento es que el resultado final no depende de qué fuerzas intervienen en el establecimiento del equilibrio dinámico.

En su tratamiento original, Einstein consideró un experimento de presión osmótica , pero se puede llegar a la misma conclusión de otras maneras.

Consideremos, por ejemplo, partículas suspendidas en un fluido viscoso en un campo gravitacional. La gravedad tiende a hacer que las partículas se sedimenten, mientras que la difusión actúa para homogeneizarlas, llevándolas a regiones de menor concentración. Bajo la acción de la gravedad, una partícula adquiere una velocidad hacia abajo de v = μmg , donde m es la masa de la partícula, g es la aceleración debida a la gravedad y μ es la movilidad de la partícula en el fluido. George Stokes había demostrado que la movilidad de una partícula esférica con radio r es , donde η es la viscosidad dinámica del fluido. En estado de equilibrio dinámico, y bajo la hipótesis de fluido isotérmico, las partículas se distribuyen según la distribución barométrica. ${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{6\pi \eta r}}}$

$${\displaystyle \rho =\rho _{o}\,e^{-{\frac {m\,g\,h}{k_{\rm {B}}\,T}}},}$$

donde ρ − ρ _o es la diferencia en densidad de partículas separadas por una diferencia de altura, de , k _B es la constante de Boltzmann (la relación entre la constante universal de los gases , R , y la constante de Avogadro, N _A ), y T es la temperatura absoluta . ${\displaystyle h=z-z_{o}}$

La distribución de equilibrio de las partículas de gamboge muestra la tendencia de los gránulos a moverse a regiones de menor concentración cuando se ven afectados por la gravedad.

El equilibrio dinámico se establece porque cuanto más las partículas son arrastradas hacia abajo por la gravedad , mayor es la tendencia de las partículas a migrar a regiones de menor concentración. El flujo viene dado por la ley de Fick ,

$${\displaystyle J=-D{\frac {d\rho }{dh}},}$$

donde J = ρv . Introduciendo la fórmula para ρ , encontramos que

$${\displaystyle v={\frac {Dmg}{k_{\rm {B}}T}}.}$$

En estado de equilibrio dinámico, esta velocidad también debe ser igual a v = μmg . Ambas expresiones para v son proporcionales a mg , lo que refleja que la derivación es independiente del tipo de fuerzas consideradas. De manera similar, se puede derivar una fórmula equivalente para partículas cargadas idénticas con carga q en un campo eléctrico uniforme de magnitud E , donde mg se reemplaza con la fuerza electrostática qE . Al equiparar estas dos expresiones se obtiene la relación de Einstein para la difusividad, independientemente de mg o qE u otras fuerzas similares:

$${\displaystyle {\frac {\overline {x^{2}}}{2t}}=D=\mu k_{\rm {B}}T={\frac {\mu RT}{N_{\text{A}}}}={\frac {RT}{6\pi \eta rN_{\text{A}}}}.}$$

Aquí la primera igualdad se deriva de la primera parte de la teoría de Einstein, la tercera igualdad se deriva de la definición de la constante de Boltzmann como k _B = R / N _A y la cuarta igualdad se deriva de la fórmula de Stokes para la movilidad. Midiendo el desplazamiento cuadrático medio durante un intervalo de tiempo junto con la constante universal de los gases R , la temperatura T , la viscosidad η y el radio de la partícula r , se puede determinar la constante de Avogadro N _A.

El tipo de equilibrio dinámico propuesto por Einstein no era nuevo. JJ Thomson ^[14] había señalado previamente en su serie de conferencias en la Universidad de Yale en mayo de 1903 que el equilibrio dinámico entre la velocidad generada por un gradiente de concentración dado por la ley de Fick y la velocidad debida a la variación de la presión parcial causada cuando los iones se ponen en movimiento "nos da un método para determinar la constante de Avogadro que es independiente de cualquier hipótesis sobre la forma o el tamaño de las moléculas, o de la forma en que actúan unas sobre otras". ^[14]

Walther Nernst también encontró en 1888 ^[15] una expresión idéntica a la fórmula de Einstein para el coeficiente de difusión [15] en la que expresaba el coeficiente de difusión como la relación entre la presión osmótica y la relación entre la fuerza de fricción y la velocidad a la que da origen. . La primera se equiparó a la ley de van 't Hoff mientras que la segunda estuvo dada por la ley de Stokes . Escribe para el coeficiente de difusión k' , donde es la presión osmótica y k es la relación entre la fuerza de fricción y la viscosidad molecular que supone está dada por la fórmula de Stokes para la viscosidad. Al introducir la ley de los gases ideales por unidad de volumen para la presión osmótica, la fórmula se vuelve idéntica a la de Einstein. ^[16] El uso de la ley de Stokes en el caso de Nernst, así como en Einstein y Smoluchowski, no es estrictamente aplicable ya que no se aplica al caso en el que el radio de la esfera es pequeño en comparación con el camino libre medio . ^[17] ${\displaystyle k'=p_{o}/k}$ ${\displaystyle p_{o}}$

Al principio, las predicciones de la fórmula de Einstein fueron aparentemente refutadas por una serie de experimentos realizados por Svedberg en 1906 y 1907, que dieron desplazamientos de las partículas de 4 a 6 veces el valor predicho, y por Henri en 1908, que encontró desplazamientos 3 veces mayores que el valor predicho. La fórmula de Einstein lo predijo. ^[18] Pero las predicciones de Einstein fueron finalmente confirmadas en una serie de experimentos realizados por Chaudesaigues en 1908 y Perrin en 1909. La confirmación de la teoría de Einstein constituyó un progreso empírico para la teoría cinética del calor . En esencia, Einstein demostró que el movimiento se puede predecir directamente a partir del modelo cinético de equilibrio térmico . La importancia de la teoría residía en el hecho de que confirmaba la explicación de la teoría cinética de la segunda ley de la termodinámica como una ley esencialmente estadística. ^[19]

Modelo de movimiento browniano de la trayectoria de una partícula de tinte en agua.

modelo de smoluchowski

La teoría del movimiento browniano de Smoluchowski ^[20] parte de la misma premisa que la de Einstein y deriva la misma distribución de probabilidad ρ ( x , t ) para el desplazamiento de una partícula browniana a lo largo de x en el tiempo t . Por lo tanto, obtiene la misma expresión para el desplazamiento cuadrático medio: . Sin embargo, cuando lo relaciona con una partícula de masa m que se mueve a una velocidad que es el resultado de una fuerza de fricción regida por la ley de Stokes, encuentra ${\displaystyle {\overline {(\Delta x)^{2}}}}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\overline {(\Delta x)^{2}}}=2Dt=t{\frac {32}{81}}{\frac {mu^{2}}{\pi \mu a}}=t{\frac {64}{27}}{\frac {{\frac {1}{2}}mu^{2}}{3\pi \mu a}},}$

donde μ es el coeficiente de viscosidad y es el radio de la partícula. Asociando la energía cinética con la energía térmica RT / N , la expresión para el desplazamiento cuadrático medio es 64/27 veces la encontrada por Einstein. La fracción 27/64 fue comentada por Arnold Sommerfeld en su necrología sobre Smoluchowski: "El coeficiente numérico de Einstein, que se diferencia de Smoluchowski en 27/64, sólo puede ponerse en duda". ^[21] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle mu^{2}/2}$

Smoluchowski ^[22] intenta responder a la pregunta de por qué una partícula browniana debería ser desplazada mediante bombardeos de partículas más pequeñas cuando las probabilidades de impactarla hacia adelante y hacia atrás son iguales. Si la probabilidad de m ganancias y n  −  m pérdidas sigue una distribución binomial ,

${\displaystyle P_{m,n}={\binom {n}{m}}2^{-n},}$

con probabilidades a priori iguales de 1/2, la ganancia total media es

${\displaystyle {\overline {2m-n}}=\sum _{m={\frac {n}{2}}}^{n}(2m-n)P_{m,n}={\frac {nn!}{2^{n}\left[\left({\frac {n}{2}}\right)!\right]^{2}}}.}$

Si n es lo suficientemente grande como para que la aproximación de Stirling pueda usarse en la forma

${\displaystyle n!\approx \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}},}$

entonces la ganancia total esperada será ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle {\overline {2m-n}}\approx {\sqrt {\frac {2n}{\pi }}},}$

mostrando que aumenta como la raíz cuadrada de la población total.

Supongamos que una partícula browniana de masa M está rodeada por partículas más ligeras de masa m que viajan a una velocidad u . Entonces, razona Smoluchowski, en cualquier colisión entre partículas circundantes y brownianas, la velocidad transmitida a estas últimas será mu / M . Esta relación es del orden de 10 ⁻⁷  cm/s. Pero también hay que tener en cuenta que en un gas habrá más de 10 ¹⁶ colisiones en un segundo, y aún más en un líquido donde esperamos que haya 10 ²⁰ colisiones en un segundo. Algunas de estas colisiones tenderán a acelerar la partícula browniana; otros tenderán a desacelerarlo. Si hay un exceso medio de un tipo u otro de colisión del orden de 10 ⁸ a 10 ¹⁰ colisiones en un segundo, entonces la velocidad de la partícula browniana puede estar entre 10 y 1000 cm/s. Por lo tanto, aunque existan iguales probabilidades de colisiones hacia adelante y hacia atrás, habrá una tendencia neta a mantener la partícula browniana en movimiento, tal como lo predice el teorema de la papeleta.

Estos órdenes de magnitud no son exactos porque no tienen en cuenta la velocidad de la partícula browniana, U , que depende de las colisiones que tienden a acelerarla y desacelerarla. Cuanto mayor sea U , mayores serán las colisiones que la retardarán, de modo que la velocidad de una partícula browniana nunca podrá aumentar ilimitadamente. Si tal proceso ocurriera, equivaldría a un movimiento perpetuo del segundo tipo. Y dado que se aplica la equipartición de energía, la energía cinética de la partícula browniana, será igual, en promedio, a la energía cinética de la partícula fluida circundante ,. ${\displaystyle MU^{2}/2}$ ${\displaystyle mu^{2}/2}$

En 1906, Smoluchowski publicó un modelo unidimensional para describir una partícula sometida a movimiento browniano. ^[23] El modelo supone colisiones con M  ≫  m donde M es la masa de la partícula de prueba ym la masa de una de las partículas individuales que componen el fluido. Se supone que las colisiones de partículas se limitan a una dimensión y que es igualmente probable que la partícula de prueba sea golpeada desde la izquierda como desde la derecha. También se supone que cada colisión siempre imparte la misma magnitud de Δ V. Si N _R es el número de colisiones por la derecha y N _L el número de colisiones por la izquierda, entonces después de N colisiones la velocidad de la partícula habrá cambiado en Δ V (2 N _R  −  N ). La multiplicidad entonces viene dada simplemente por:

${\displaystyle {\binom {N}{N_{\rm {R}}}}={\frac {N!}{N_{\rm {R}}!(N-N_{\rm {R}})!}}}$

y el número total de estados posibles viene dado por 2 ^N . Por lo tanto, la probabilidad de que la partícula sea golpeada desde la derecha N _R veces es:

${\displaystyle P_{N}(N_{\rm {R}})={\frac {N!}{2^{N}N_{\rm {R}}!(N-N_{\rm {R}})!}}}$

Como resultado de su simplicidad, el modelo 1D de Smoluchowski sólo puede describir cualitativamente el movimiento browniano. Para una partícula realista que experimenta un movimiento browniano en un fluido, muchas de las suposiciones no se aplican. Por ejemplo, la suposición de que, en promedio, se produce el mismo número de colisiones desde la derecha que desde la izquierda se desmorona una vez que la partícula está en movimiento. Además, habría una distribución de diferentes Δ V s posibles en lugar de siempre solo uno en una situación realista.

Otros modelos de física que utilizan ecuaciones diferenciales parciales.

La ecuación de difusión produce una aproximación de la evolución temporal de la función de densidad de probabilidad asociada con la posición de la partícula que sufre un movimiento browniano según la definición física. La aproximación es válida en escalas de tiempo cortas .

La evolución temporal de la posición de la propia partícula browniana se describe mejor utilizando la ecuación de Langevin , una ecuación que implica un campo de fuerza aleatorio que representa el efecto de las fluctuaciones térmicas del disolvente sobre la partícula. En dinámica de Langevin y dinámica browniana , la ecuación de Langevin se utiliza para simular eficientemente la dinámica de sistemas moleculares que exhiben un fuerte componente browniano.

El desplazamiento de una partícula que experimenta un movimiento browniano se obtiene resolviendo la ecuación de difusión en condiciones de frontera apropiadas y encontrando el valor eficaz de la solución. Esto muestra que el desplazamiento varía como la raíz cuadrada del tiempo (no linealmente), lo que explica por qué los resultados experimentales anteriores sobre la velocidad de las partículas brownianas dieron resultados sin sentido. Se asumió incorrectamente una dependencia temporal lineal.

Sin embargo, en escalas de tiempo muy cortas, el movimiento de una partícula está dominado por su inercia y su desplazamiento dependerá linealmente del tiempo: Δ x = v Δ t . Entonces, la velocidad instantánea del movimiento browniano se puede medir como v = Δ x /Δ t , cuando Δ t << τ , donde τ es el tiempo de relajación del momento. En 2010, se midió con éxito la velocidad instantánea de una partícula browniana (una microesfera de vidrio atrapada en el aire con unas pinzas ópticas ). ^[24] Los datos de velocidad verificaron la distribución de velocidad de Maxwell-Boltzmann y el teorema de equipartición para una partícula browniana.

Astrofísica: movimiento de estrellas dentro de las galaxias

En la dinámica estelar , un cuerpo masivo (estrella, agujero negro , etc.) puede experimentar movimiento browniano al responder a las fuerzas gravitacionales de las estrellas circundantes. ^[25] La velocidad rms V del objeto masivo, de masa M , está relacionada con la velocidad rms de las estrellas de fondo mediante ${\displaystyle v_{\star }}$

${\displaystyle MV^{2}\approx mv_{\star }^{2}}$

¿Dónde está la masa de las estrellas del fondo? La fuerza gravitacional del objeto masivo hace que las estrellas cercanas se muevan más rápido de lo que lo harían de otra manera, aumentando tanto y V . ^[25] A partir de esta fórmula se predice que la velocidad browniana de Sgr A* , el agujero negro supermasivo en el centro de la Vía Láctea , será inferior a 1 km s ⁻¹ . ^[26] ${\displaystyle m\ll M}$ ${\displaystyle v_{\star }}$

Matemáticas

Un ejemplo animado de un paseo aleatorio similar a un movimiento browniano sobre un toroide . En el límite de escala , el paseo aleatorio se aproxima al proceso de Wiener según el teorema de Donsker .

En matemáticas , el movimiento browniano se describe mediante el proceso de Wiener , un proceso estocástico de tiempo continuo llamado así en honor a Norbert Wiener . Es uno de los procesos de Lévy más conocidos ( procesos estocásticos de càdlàg con incrementos independientes estacionarios ) y ocurre con frecuencia en matemáticas, economía y física puras y aplicadas .

Una realización única del movimiento browniano tridimensional para tiempos 0 ≤  t  ≤ 2

El proceso de Wiener W _t se caracteriza por cuatro hechos: ^[27]

1. W ₀ = 0
2. W _t es casi seguro que es continuo
3. W _t tiene incrementos independientes
4. ${\displaystyle W_{t}-W_{s}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)}$(para ). ${\displaystyle 0\leq s\leq t}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$denota la distribución normal con valor esperado μ y varianza σ ² . La condición de que tenga incrementos independientes significa que si entonces y son variables aleatorias independientes. Además, para algunas filtraciones , es medible para todas . ${\displaystyle 0\leq s_{1}<t_{1}\leq s_{2}<t_{2}}$ ${\displaystyle W_{t_{1}}-W_{s_{1}}}$ ${\displaystyle W_{t_{2}}-W_{s_{2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

Una caracterización alternativa del proceso de Wiener es la llamada caracterización de Lévy que dice que el proceso de Wiener es casi seguramente una martingala continua con W ₀ = 0 y variación cuadrática . ${\displaystyle [W_{t},W_{t}]=t}$

Una tercera caracterización es que el proceso de Wiener tiene una representación espectral como una serie de senos cuyos coeficientes son variables aleatorias independientes. Esta representación se puede obtener utilizando el teorema de Kosambi-Karhunen-Loève . ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

El proceso de Wiener se puede construir como el límite de escala de un paseo aleatorio u otros procesos estocásticos de tiempo discreto con incrementos estacionarios independientes. Esto se conoce como teorema de Donsker . Al igual que el paseo aleatorio, el proceso de Wiener es recurrente en una o dos dimensiones (lo que significa que regresa casi con seguridad a cualquier vecindad fija del origen con una frecuencia infinita), mientras que no es recurrente en dimensiones tres y superiores. A diferencia del paseo aleatorio, es invariante de escala .

La evolución temporal de la posición de la partícula browniana se puede describir aproximadamente mediante una ecuación de Langevin , una ecuación que involucra un campo de fuerza aleatorio que representa el efecto de las fluctuaciones térmicas del solvente sobre la partícula browniana. En escalas de tiempo largas, el movimiento browniano matemático se describe bien mediante una ecuación de Langevin. En escalas de tiempo pequeñas, los efectos inerciales prevalecen en la ecuación de Langevin. Sin embargo, el movimiento browniano matemático está exento de tales efectos inerciales. Los efectos inerciales deben considerarse en la ecuación de Langevin; de lo contrario, la ecuación se vuelve singular. ^{[ se necesita aclaración ]} de modo que simplemente eliminar el término de inercia de esta ecuación no produciría una descripción exacta, sino más bien un comportamiento singular en el que la partícula no se mueve en absoluto. ^{[ se necesita aclaración ]}

Estadísticas

El movimiento browniano se puede modelar mediante un paseo aleatorio. ^[28]

En el caso general, el movimiento browniano es un proceso de Markov y se describe mediante ecuaciones integrales estocásticas . ^[29]

Caracterización de Levy

El matemático francés Paul Lévy demostró el siguiente teorema, que da una condición necesaria y suficiente para que un proceso estocástico X continuo con valores R ⁿ sea en realidad un movimiento browniano n -dimensional. Por tanto, la condición de Lévy puede utilizarse como una definición alternativa del movimiento browniano.

Sea X  = ( X ₁ , ...,  X _n ) un proceso estocástico continuo en un espacio de probabilidad (Ω, Σ,  P ) tomando valores en R ⁿ . Entonces los siguientes son equivalentes:

1. X es un movimiento browniano con respecto a P , es decir, la ley de X con respecto a P es la misma que la ley de un movimiento browniano de n dimensiones, es decir, la medida de empuje hacia adelante X _∗ ( P ) es la medida de Wiener clásica en C ₀ ([0, +∞);  Rn ⁾ .
2. ambos
   1. X es una martingala con respecto a P (y su propia filtración natural ); y
   2. para todo 1 ≤  i ,  j  ≤  n , X _i ( t ) X _j ( t ) − δ _ij t es una martingala con respecto a P (y su propia filtración natural ), donde δ _ij denota el delta de Kronecker .

Contenido espectral

El contenido espectral de un proceso estocástico se puede encontrar a partir de la densidad espectral de potencia , definida formalmente como ${\displaystyle X_{t}}$

$${\displaystyle S(\omega )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\mathbb {E} \left\{\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2}\right\},}$$

donde representa el valor esperado . Se encuentra que la densidad espectral de potencia del movimiento browniano es ^[30] ${\displaystyle \mathbb {E} }$

$${\displaystyle S_{BM}(\omega )={\frac {4D}{\omega ^{2}}}.}$$

donde es el coeficiente de difusión de . Para señales que ocurren naturalmente, el contenido espectral se puede encontrar a partir de la densidad espectral de potencia de una sola realización, con un tiempo disponible finito, es decir, ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X_{t}}$

$${\displaystyle S^{(1)}(\omega ,T)={\frac {1}{T}}\left|\int _{0}^{T}e^{i\omega t}X_{t}dt\right|^{2},}$$

que para una realización individual de una trayectoria de movimiento browniano, ^[31] se encuentra que tiene el valor esperado ${\displaystyle \mu _{BM}(\omega ,T)}$

$${\displaystyle \mu _{BM}(\omega ,T)={\frac {4D}{\omega ^{2}}}\left[1-{\frac {\sin \left(\omega T\right)}{\omega T}}\right]}$$

y varianza ^[31] ${\displaystyle \sigma _{BM}^{2}(\omega ,T)}$

$${\displaystyle \sigma _{S}^{2}(f,T)=\mathbb {E} \left\{\left(S_{T}^{(j)}(f)\right)^{2}\right\}-\mu _{S}^{2}(f,T)={\frac {20D^{2}}{f^{4}}}\left[1-{\Big (}6-\cos \left(fT\right){\Big )}{\frac {2\sin \left(fT\right)}{5fT}}+{\frac {{\Big (}17-\cos \left(2fT\right)-16\cos \left(fT\right){\Big )}}{10f^{2}T^{2}}}\right].}$$

Para tiempos de realización suficientemente largos, el valor esperado del espectro de potencia de una única trayectoria converge a la densidad espectral de potencia formalmente definida , pero su coeficiente de variación tiende a . Esto implica que la distribución de es amplia incluso en el límite de tiempo infinito. ${\displaystyle S(\omega )}$ ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\sigma ^{2}}}/\mu }$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}/2}$ ${\displaystyle S^{(1)}(\omega ,T)}$

variedad de riemann

Movimiento browniano en una esfera

El generador infinitesimal (y por tanto el operador característico ) de un movimiento browniano en R ⁿ se calcula fácilmente como ½Δ, donde Δ denota el operador de Laplace . En el procesamiento de imágenes y la visión por computadora , el operador laplaciano se ha utilizado para diversas tareas, como la detección de manchas y bordes . Esta observación es útil para definir el movimiento browniano en una variedad de Riemann de m dimensiones ( M ,  g ): un movimiento browniano en M se define como una difusión en M cuyo operador característico en coordenadas locales x _i , 1 ≤  i  ≤  m , es dado por ½Δ _LB , donde Δ _LB es el operador de Laplace-Beltrami dado en coordenadas locales por ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),}$

donde [ g ^ij ] = [ g _ij ] ⁻¹ en el sentido de la inversa de una matriz cuadrada .

Salvado por los pelos

El problema del escape estrecho es un problema ubicuo en biología, biofísica y biología celular que tiene la siguiente formulación: una partícula browniana ( ion , molécula o proteína ) está confinada a un dominio delimitado (un compartimento o una célula) por un límite reflectante, excepto por una pequeña ventana por la que puede escapar. El problema de escape estrecho consiste en calcular el tiempo medio de escape. Este tiempo diverge a medida que la ventana se reduce, lo que convierte el cálculo en un problema de perturbación singular .

Ver también

• Puente browniano : un movimiento browniano que se requiere para "unir" valores específicos en momentos específicos
• covarianza browniana
• dinámica browniana
• Movimiento browniano de partículas de sol.
• motor browniano
• ruido browniano
• trinquete browniano
• superficie browniana
• árbol browniano
• red browniana
• Movimiento browniano rotacional
• Clinamen
• Sistema complejo
• Ecuación de continuidad
• Ecuación de difusión
• Movimiento browniano geométrico
• Difusión de Itô : una generalización del movimiento browniano
• Ecuación de Langevin
• Ley del arcoseno de Lévy
• Hora local (matemáticas)
• problema de muchos cuerpos
• efecto marangoni
• Análisis de seguimiento de nanopartículas.
• Problema de escape estrecho
• Ósmosis
• Caminata aleatoria
• Evolución de Schramm-Loewner
• Trayectorias de partículas individuales
• Seguimiento de partículas individuales
• Mecánica estadística
• Difusión superficial : un tipo de movimiento browniano restringido.
• Equilibrio termal
• Equilibrio termodinámico
• Detección de triangulación
• Efecto Tyndall : fenómeno en el que intervienen partículas; Se utiliza para diferenciar los diferentes tipos de mezclas.
• ultramicroscopio

Referencias

1. Meyburg, Jan Philipp; Muriendo, Detlef (2017). "Enseñanza del crecimiento, maduración y aglomeración de nanoestructuras en experimentos informáticos". Revista de Educación Química . 94 (9): 1225-1231. Código Bib : 2017JChEd..94.1225M. doi : 10.1021/acs.jchemed.6b01008.
2. Feynman, Richard (1964). "El movimiento browniano". Las conferencias de física de Feynman, volumen I. pag. 41.
3. Einstein, Albert (1905). "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen" [Sobre el movimiento de pequeñas partículas suspendidas en líquidos estacionarios requerido por la teoría cinética molecular del calor] (PDF) . Annalen der Physik (en alemán). 322 (8): 549–560. Código bibliográfico : 1905AnP...322..549E. doi : 10.1002/andp.19053220806 . Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
4. "El Premio Nobel de Física 1926". Premio Nobel.org . Consultado el 29 de mayo de 2019 .
5. Tsekov, Roumen (1995). "Movimiento browniano de moléculas: la teoría clásica". Ana. Univ. Sofía . 88 : 57. arXiv : 1005.1490 . Código Bib : 1995AUSFC..88...57T. El comportamiento de una partícula browniana es bastante irregular y sólo puede describirse en el marco de un enfoque estadístico.
6. Knight, Frank B. (1 de febrero de 1962). "Sobre el paseo aleatorio y el movimiento browniano". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 103 (2): 218–228. doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0139211-2 . ISSN  0002-9947.
7. "Principio de invariancia de Donsker - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 28 de junio de 2020 .
8. Perrin, Jean (1914). Átomos. Londres: agente de policía. pag. 115.
9. Tabor, D. (1991). Gases, líquidos y sólidos: y otros estados de la materia (3ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 120.ISBN​ 978-0-521-40667-3.
10. Mandelbrot, B.; Hudson, R. (2004). El (mal) comportamiento de los mercados: una visión fractal del riesgo, la ruina y la recompensa . Libros básicos . ISBN 978-0-465-04355-2.
11. Einstein, Albert (1956) [1926]. Investigaciones sobre la Teoría del Movimiento Browniano (PDF) . Publicaciones de Dover. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022 . Consultado el 25 de diciembre de 2013 .
12. Stachel, J., ed. (1989). "Disertación de Einstein sobre la determinación de las dimensiones moleculares" (PDF) . Los artículos recopilados de Albert Einstein, volumen 2 . Prensa de la Universidad de Princeton. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
13. Lavanda, Bernard H. (1985). Termodinámica estadística de desequilibrio . John Wiley e hijos. pag. 20.ISBN​ 978-0-471-90670-4.
14. Thomson, JJ (1904). Electricidad y Materia. Prensa de la Universidad de Yale. págs. 80–83.
15. Nernst, Walther (1888). "Zur Kinetik der in Lösung befindlichen Körper". Zeitschrift für Physikalische Chemie (en alemán). 9 : 613–637.
16. Leveugle, J. (2004). La Relativité, Poincaré y Einstein, Planck, Hilbert . Harmatán. pag. 181.
17. Townsend, JES (1915). Electricidad en Gases. Prensa de Clarendon. pag. 254.
18. Véase P. Clark 1976, pág. 97
19. Véase P. Clark 1976 para este párrafo completo.
20. Smoluchowski, MM (1906). "Sur le chemin moyen parcouru par les molécules d'un gaz et sur son rapport avec la théorie de la diffusion" [Sobre el recorrido medio de las moléculas de gas y su relación con la teoría de la difusión]. Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie (en francés): 202.
21. Ver pág. 535 en Sommerfeld, A. (1917). "Zum Andenken an Marian von Smoluchowski" [En memoria de Marian von Smoluchowski]. Physikalische Zeitschrift (en alemán). 18 (22): 533–539.
22. Smoluchowski, MM (1906). "Essai d'une théorie cinétique du mouvement Brownien et des milieux problems" [Prueba de una teoría cinética del movimiento browniano y de los medios turbios]. Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie (en francés): 577.
23. von Smoluchowski, M. (1906). "Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen". Annalen der Physik (en alemán). 326 (14): 756–780. Código bibliográfico : 1906AnP...326..756V. doi : 10.1002/andp.19063261405.
24. Li, Tongcang; Kheifets, Simón; Medellín, David; Raizen, Mark (2010). «Medición de la velocidad instantánea de una partícula browniana» (PDF) . Ciencia . 328 (5986): 1673–1675. Código Bib : 2010 Ciencia... 328.1673L. CiteSeerX 10.1.1.167.8245 . doi : 10.1126/ciencia.1189403. PMID  20488989. S2CID  45828908. Archivado desde el original (PDF) el 31 de marzo de 2011. 
25. Merritt, David (2013). Dinámica y Evolución de los Núcleos Galácticos . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 575.ISBN​ 9781400846122. OL  16802359W.
26. Reid, MJ; Brunthaler, A. (2004). "El movimiento propio de Sagitario A*. II. La masa de Sagitario A*". La revista astrofísica . 616 (2): 872–884. arXiv : astro-ph/0408107 . Código Bib : 2004ApJ...616..872R. doi :10.1086/424960. S2CID  16568545.
27. Bajo, Richard F. (2011). Procesos estocásticos. Serie Cambridge en Matemáticas Estadística y Probabilística. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/cbo9780511997044. ISBN 978-1-107-00800-7.
28. Weiss, GH (1994). Aspectos y aplicaciones del paseo aleatorio . Holanda del Norte.
29. Morozov, AN; Skripkin, AV (2011). "Movimiento browniano de partículas esféricas en medio viscoso como proceso aleatorio no markoviano". Letras de Física A. 375 (46): 4113–4115. Código bibliográfico : 2011PhLA..375.4113M. doi :10.1016/j.physleta.2011.10.001.
30. Karczub, director general; Norton, diputado (2003). Fundamentos del análisis de ruido y vibraciones para ingenieros por MP Norton . doi :10.1017/cbo9781139163927. ISBN 9781139163927.
31. Krapf, Diego; Marinari, Enzo; Metzler, Ralf; Oshanin, Gleb; Xu, Xinran; Squarcini, Alessio (2018). "Densidad espectral de potencia de una única trayectoria browniana: lo que se puede y no se puede aprender de ella". Nueva Revista de Física . 20 (2): 023029. arXiv : 1801.02986 . Código bibliográfico : 2018NJPh...20b3029K. doi :10.1088/1367-2630/aaa67c. ISSN  1367-2630. S2CID  485685.

Otras lecturas

• Marrón, Robert (1828). "Breve relato de las observaciones microscópicas realizadas en los meses de junio, julio y agosto de 1827, sobre las partículas contenidas en el polen de las plantas; y sobre la existencia general de moléculas activas en los cuerpos orgánicos e inorgánicos" (PDF) . Revista Filosófica . 4 (21): 161-173. doi :10.1080/14786442808674769. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.También incluye una defensa posterior de Brown de sus observaciones originales, Comentarios adicionales sobre moléculas activas .
• Chaudesaigues, M. (1908). "Le mouvement brownien et la formule d'Einstein" [Movimiento browniano y fórmula de Einstein]. Comptes Rendus (en francés). 147 : 1044–6.
• Clark, P. (1976). "Atomismo versus termodinámica". En Howson, Colin (ed.). Método y valoración en las ciencias físicas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521211109.
• Cohen, Rubén D. (1986). "Autosimilitud en el movimiento browniano y otros fenómenos ergódicos" (PDF) . Revista de Educación Química . 63 (11): 933–934. Código Bib : 1986JChEd..63..933C. doi :10.1021/ed063p933. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
• Dubins, Lester E.; Schwarz, Gideon (15 de mayo de 1965). "Sobre martingalas continuas". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 53 (3): 913–916. Código bibliográfico : 1965PNAS...53..913D. doi : 10.1073/pnas.53.5.913 . JSTOR  72837. PMC  301348 . PMID  16591279.
• Einstein, A. (1956). Investigaciones sobre la Teoría del Movimiento Browniano . Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-60304-9. Consultado el 6 de enero de 2014 .
• Enrique, V. (1908). "Études cinématographique du mouvement brownien" [Estudios cinematográficos del movimiento browniano]. Comptes Rendus (en francés) (146): 1024–6.
• Lucrecio , Sobre la naturaleza de las cosas , traducido por William Ellery Leonard . ( versión en línea , del Proyecto Gutenberg . Véase el título 'Movimientos atómicos'; esta traducción difiere ligeramente de la citada).
• Nelson, Eduardo , (1967). Teorías dinámicas del movimiento browniano . (Versión PDF de este libro agotado, de la página web del autor). Este es principalmente un trabajo matemático, pero los primeros cuatro capítulos analizan la historia del tema, en la era de Brown a Einstein.
• Perla, P.; Collet, B.; Bart, K.; Bilderback, D.; Newman, D.; Samuels, S. (2010). "Lo que Brown vio y tú también puedes verlo". Revista Estadounidense de Física . 78 (12): 1278-1289. arXiv : 1008.0039 . Código bibliográfico : 2010AmJPh..78.1278P. doi : 10.1119/1.3475685. S2CID  12342287.
• Perrin, J. (1909). "Mouvement brownien et réalité moléculaire" [Movimiento browniano y realidad molecular]. Annales de chimie et de physique . 8va serie. 18 : 5–114.
  • Véase también el libro de Perrin "Les Atomes" (1914).
• von Smoluchowski, M. (1906). "Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen". Annalen der Physik . 21 (14): 756–780. Código bibliográfico : 1906AnP...326..756V. doi : 10.1002/andp.19063261405.
• Svedberg, T. (1907). Studien zur Lehre von den kolloides Losungen .
• Theile, Tennessee
  • Versión danesa: "Om Anvendelse af mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder Giver Fejlene en 'systematisk' Karakter".
  • Versión francesa: "Sur lacompensation de quelques erreurs quasi-systématiques par la méthodes de moindre carrés" publicada simultáneamente en Vidensk. Selsk. Skr. 5. Rk., naturvid. og estera. Afd. , 12:381–408, 1880.

enlaces externos

• Einstein sobre el movimiento browniano
• Analiza la historia, la botánica y la física de las observaciones originales de Brown, con videos.
• "La predicción de Einstein finalmente se hizo realidad un siglo después": una prueba para observar la velocidad del movimiento browniano
• Demostración del movimiento browniano a gran escala