dinámica browniana

Movimiento molecular ideal donde no se produce ninguna aceleración promedio.

En física , la dinámica browniana es un enfoque matemático para describir la dinámica de sistemas moleculares en régimen difusivo . Es una versión simplificada de la dinámica de Langevin y corresponde al límite donde no se produce ninguna aceleración media. Esta aproximación también se conoce como dinámica de Langevin sobreamortiguada o como dinámica de Langevin sin inercia .

Definición

En dinámica browniana, la siguiente ecuación de movimiento se utiliza para describir la dinámica de un sistema estocástico con coordenadas : ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle X=X(t)}$

${\displaystyle {\dot {X}}=-{\frac {D}{k_{\text{B}}T}}\nabla U(X)+{\sqrt {2D}}R(t).}$

dónde:

• ${\displaystyle {\dot {X}}}$es la velocidad, siendo el punto una derivada del tiempo
• ${\displaystyle U(X)}$es el potencial de interacción de las partículas
• ${\displaystyle \nabla }$es el operador de gradiente, tal que es la fuerza calculada a partir del potencial de interacción de las partículas ${\displaystyle -\nabla U(X)}$
• ${\displaystyle k_{\text{B}}}$es la constante de Boltzmann
• ${\displaystyle T}$es la temperatura
• ${\displaystyle D}$es un coeficiente de difusión
• ${\displaystyle R(t)}$es un término de ruido blanco , satisfactorio y ${\displaystyle \left\langle R(t)\right\rangle =0}$ ${\displaystyle \left\langle R(t)R(t')\right\rangle =\delta (t-t')}$

Derivación

En dinámica de Langevin , la ecuación de movimiento usando la misma notación anterior es la siguiente: ^{[1] [2] [3]}

$${\displaystyle M{\ddot {X}}=-\nabla U(X)-\zeta {\dot {X}}+{\sqrt {2\zeta k_{\text{B}}T}}R(t)}$$

• ${\displaystyle M}$es la masa de la partícula.
• ${\displaystyle {\ddot {X}}}$es la aceleracion
• ${\displaystyle \zeta }$es la constante de fricción o tensor, en unidades de . ${\displaystyle {\text{mass}}/{\text{time}}}$
  • Suele tener la forma , donde es la frecuencia de colisión con el disolvente, una constante de amortiguación en unidades de . ${\displaystyle \zeta =\gamma M}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\text{time}}^{-1}}$
  • Para partículas esféricas de radio r en el límite del número de Reynolds bajo , la ley de Stokes da . ${\displaystyle \zeta =6\pi \,\eta \,r}$

La ecuación anterior se puede reescribir como

$${\displaystyle \underbrace {M{\ddot {X}}} _{\text{inertial force}}+\underbrace {\nabla U(X)} _{\text{potential force}}+\underbrace {\zeta {\dot {X}}} _{\text{viscous force}}-\underbrace {{\sqrt {2\zeta k_{\text{B}}T}}R(t)} _{\text{random force}}=0}$$

^[1] ${\displaystyle M{\ddot {X}}(t)}$

${\displaystyle 0=-\nabla U(X)-\zeta {\dot {X}}+{\sqrt {2\zeta k_{\text{B}}T}}R(t)}$

Para partículas esféricas de radio en el límite del número de Reynolds bajo , podemos utilizar la relación de Stokes-Einstein . En este caso, y la ecuación dice: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle D=k_{\text{B}}T/\zeta }$

${\displaystyle {\dot {X}}(t)=-{\frac {D}{k_{\text{B}}T}}\nabla U(X)+{\sqrt {2D}}R(t).}$

Por ejemplo, cuando aumenta la magnitud del tensor de fricción , el efecto amortiguador de la fuerza viscosa se vuelve dominante en relación con la fuerza de inercia. En consecuencia, el sistema pasa del régimen inercial al difusivo (browniano). Por este motivo, la dinámica browniana también se conoce como dinámica de Langevin sobreamortiguada o dinámica de Langevin sin inercia. ${\displaystyle \zeta }$

Algoritmos

En 1978, Ermack y McCammon sugirieron un algoritmo para calcular de manera eficiente la dinámica browniana con interacciones hidrodinámicas. ^[2] Las interacciones hidrodinámicas ocurren cuando las partículas interactúan indirectamente generando y reaccionando a velocidades locales en el solvente. Para un sistema de partículas tridimensionales que se difunden sujetas a un vector de fuerza F(X), el esquema de dinámica browniana derivado se convierte en: ^[1] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle X(t+\Delta t)=X(t)+{\frac {\Delta tD}{k_{\text{B}}T}}F[X(t)]+R(t)}$

donde es una matriz de difusión que especifica interacciones hidrodinámicas en entradas no diagonales y es un vector de ruido gaussiano con media cero y una desviación estándar de en cada entrada de vector. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle R(t)}$ ${\displaystyle {\sqrt {2D\Delta t}}}$

Ver también

• movimiento browniano
• Método de límite sumergido

Referencias

1. Schlick, Tamar (2002). Modelado y Simulación Molecular. Matemática Aplicada Interdisciplinaria. vol. 21. Saltador. págs. 480–494. doi :10.1007/978-0-387-22464-0. ISBN 978-0-387-22464-0.
2. Ermack, Donald L; McCammon, JA (1978). "Dinámica browniana con interacciones hidrodinámicas". J. química. Física. 69 (4): 1352-1360. Código bibliográfico : 1978JChPh..69.1352E. doi : 10.1063/1.436761 .
3. Loncharich, RJ; Brooks, BR; Pastor, RW (1992). "Dinámica de Langevin de péptidos: la dependencia friccional de las tasas de lsomerización de N-acetilalanil-Wmetilamida". Biopolímeros . 32 (5): 523–35. doi :10.1002/bip.360320508. PMID  1515543. S2CID  23457332.