Ecuación de Langevin

Ecuación diferencial estocástica

En física, una ecuación de Langevin (llamada así en honor a Paul Langevin ) es una ecuación diferencial estocástica que describe cómo evoluciona un sistema cuando se lo somete a una combinación de fuerzas deterministas y fluctuantes ("aleatorias"). Las variables dependientes en una ecuación de Langevin suelen ser variables colectivas (macroscópicas) que cambian lentamente en comparación con las otras variables (microscópicas) del sistema. Las variables rápidas (microscópicas) son responsables de la naturaleza estocástica de la ecuación de Langevin. Una aplicación es el movimiento browniano , que modela el movimiento fluctuante de una pequeña partícula en un fluido.

El movimiento browniano como prototipo

La ecuación de Langevin original ^{[1] [2]} describe el movimiento browniano , el movimiento aparentemente aleatorio de una partícula en un fluido debido a colisiones con las moléculas del fluido.

$${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=-\lambda \mathbf {v} +{\boldsymbol {\eta }}\left(t\right).}$$

Aquí, es la velocidad de la partícula, su coeficiente de amortiguación y su masa. La fuerza que actúa sobre la partícula se escribe como la suma de una fuerza viscosa proporcional a la velocidad de la partícula ( ley de Stokes ) y un término de ruido que representa el efecto de las colisiones con las moléculas del fluido. La fuerza tiene una distribución de probabilidad gaussiana con función de correlación. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)}$

$${\displaystyle \left\langle \eta _{i}\left(t\right)\eta _{j}\left(t'\right)\right\rangle =2\lambda k_{\text{B}}T\delta _{i,j}\delta \left(t-t'\right),}$$

la constante de Boltzmannde función ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \eta _{i}\left(t\right)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \delta }$

Otra característica común de la ecuación de Langevin es la aparición del coeficiente de amortiguación en la función de correlación de la fuerza aleatoria, que en un sistema de equilibrio es una expresión de la relación de Einstein . ${\displaystyle \lambda }$

Aspectos matemáticos

Una fuerza fluctuante estrictamente correlacionada no es una función en el sentido matemático habitual e incluso la derivada no está definida en este límite. Este problema desaparece cuando la ecuación de Langevin se escribe en forma integral. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {v} /\mathrm {d} t}$

$${\displaystyle m\mathbf {v} =\int ^{t}\left(-\lambda \mathbf {v} +{\boldsymbol {\eta }}\left(t\right)\right)\mathrm {d} t.}$$

Por tanto, la forma diferencial es sólo una abreviatura de su integral de tiempo. El término matemático general para ecuaciones de este tipo es " ecuación diferencial estocástica ".

Otra ambigüedad matemática ocurre con las ecuaciones de Langevin con ruido multiplicativo, que se refiere a términos de ruido que se multiplican por una función no constante de las variables dependientes, por ejemplo ,. Si un ruido multiplicativo es intrínseco al sistema, su definición es ambigua, ya que es igualmente válido interpretarlo según el esquema de Stratonovich o Ito (ver Cálculo de Itō ). Sin embargo, los observables físicos son independientes de la interpretación, siempre que esta última se aplique consistentemente al manipular la ecuación. Esto es necesario porque las reglas simbólicas del cálculo difieren según el esquema de interpretación. Si el ruido es externo al sistema, la interpretación adecuada es la de Stratonovich. ^{[3] [4]} ${\displaystyle \left|{\boldsymbol {v}}(t)\right|{\boldsymbol {\eta }}(t)}$

Ecuación genérica de Langevin

Existe una derivación formal de una ecuación de Langevin genérica de la mecánica clásica. ^{[5] [6]} Esta ecuación genérica juega un papel central en la teoría de la dinámica crítica , ^[7] y otras áreas de la mecánica estadística del desequilibrio. La ecuación anterior para el movimiento browniano es un caso especial.

Un paso esencial en la derivación es la división de los grados de libertad en las categorías lento y rápido . Por ejemplo, el equilibrio termodinámico local en un líquido se alcanza en unos pocos tiempos de colisión, pero las densidades de cantidades conservadas como la masa y la energía tardan mucho más en relajarse hasta alcanzar el equilibrio. Por tanto, las densidades de cantidades conservadas, y en particular sus componentes de longitud de onda larga, son candidatos a variables lentas. Esta división se puede expresar formalmente con el operador de proyección de Zwanzig . ^[8] Sin embargo, la derivación no es completamente rigurosa desde una perspectiva de la física matemática porque se basa en suposiciones que carecen de pruebas rigurosas y, en cambio, se justifican sólo como aproximaciones plausibles de sistemas físicos.

Denotemos las variables lentas. La ecuación genérica de Langevin entonces lee ${\displaystyle A=\{A_{i}\}}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A_{i}}{\mathrm {d} t}}=k_{\text{B}}T\sum \limits _{j}{\left[{A_{i},A_{j}}\right]{\frac {{\mathrm {d} }{\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}}-\sum \limits _{j}{\lambda _{i,j}\left(A\right){\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+}\sum \limits _{j}{\frac {\mathrm {d} {\lambda _{i,j}\left(A\right)}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\eta _{i}\left(t\right).}$$

La fuerza fluctuante obedece a una distribución de probabilidad gaussiana con función de correlación. ${\displaystyle \eta _{i}\left(t\right)}$

$${\displaystyle \left\langle {\eta _{i}\left(t\right)\eta _{j}\left(t'\right)}\right\rangle =2\lambda _{i,j}\left(A\right)\delta \left(t-t'\right).}$$

Esto implica la relación de reciprocidad de Onsager para los coeficientes de amortiguamiento . La dependencia de on es insignificante en la mayoría de los casos. El símbolo denota el hamiltoniano del sistema, donde es la distribución de probabilidad de equilibrio de las variables . Finalmente, está la proyección del corchete de Poisson de las variables lentas y sobre el espacio de variables lentas. ${\displaystyle \lambda _{i,j}=\lambda _{j,i}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \lambda _{i,j}/\mathrm {d} A_{j}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}=-\ln \left(p_{0}\right)}$ ${\displaystyle p_{0}\left(A\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{j}}$

En el caso del movimiento browniano se tendría , o y . La ecuación de movimiento para es exacta: no hay fuerza fluctuante ni coeficiente de amortiguación . ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\mathbf {p} ^{2}/\left(2mk_{\text{B}}T\right)}$ ${\displaystyle A=\{\mathbf {p} \}}$ ${\displaystyle A=\{\mathbf {x} ,\mathbf {p} \}}$ ${\displaystyle [x_{i},p_{j}]=\delta _{i,j}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} /\mathrm {d} t=\mathbf {p} /m}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \eta _{x}}$ ${\displaystyle \lambda _{x,p}}$

Ejemplos

Ruido térmico en una resistencia eléctrica.

Un circuito eléctrico que consta de una resistencia y un condensador.

Existe una estrecha analogía entre la partícula browniana paradigmática analizada anteriormente y el ruido de Johnson , el voltaje eléctrico generado por fluctuaciones térmicas en una resistencia. ^[9] El diagrama de la derecha muestra un circuito eléctrico que consta de una resistencia R y una capacitancia C. La variable lenta es el voltaje U entre los extremos de la resistencia. El hamiltoniano se lee y la ecuación de Langevin se convierte en ${\displaystyle {\mathcal {H}}=E/k_{\text{B}}T=CU^{2}/(2k_{\text{B}}T)}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {U}{RC}}+\eta \left(t\right),\;\;\left\langle \eta \left(t\right)\eta \left(t'\right)\right\rangle ={\frac {2k_{\text{B}}T}{RC^{2}}}\delta \left(t-t'\right).}$$

Esta ecuación se puede utilizar para determinar la función de correlación.

$${\displaystyle \left\langle U\left(t\right)U\left(t'\right)\right\rangle ={\frac {k_{\text{B}}T}{C}}\exp \left(-{\frac {\left|t-t'\right|}{RC}}\right)\approx 2Rk_{\text{B}}T\delta \left(t-t'\right),}$$

C

Dinámica crítica

La dinámica del parámetro de orden de una transición de fase de segundo orden se ralentiza cerca del punto crítico y puede describirse con una ecuación de Langevin. ^[7] El caso más simple es la clase de universalidad "modelo A" con un parámetro de orden escalar no conservado, realizado por ejemplo en ferroimanes axiales, ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\varphi {\left(\mathbf {x} ,t\right)}&=-\lambda {\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }}+\eta {\left(\mathbf {x} ,t\right)},\\[2ex]{\mathcal {H}}&=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}r_{0}\varphi ^{2}+u\varphi ^{4}+{\frac {1}{2}}\left(\nabla \varphi \right)^{2}\right],\\[2ex]\left\langle \eta {\left(\mathbf {x} ,t\right)}\,\eta {\left(\mathbf {x} ',t'\right)}\right\rangle &=2\lambda \,\delta {\left(\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right)}\;\delta {\left(t-t'\right)}.\end{aligned}}}$$

^[7]

Oscilador armónico en un fluido.

$${\displaystyle m{\frac {dv}{dt}}=-\lambda v+\eta (t)-kx}$$

Una partícula en un fluido se describe mediante una ecuación de Langevin con una función de energía potencial, una fuerza amortiguadora y fluctuaciones térmicas dadas por el teorema de disipación de fluctuaciones . Si el potencial es cuadrático entonces las curvas de energía constante son elipses, como se muestra en la figura. Si hay disipación pero no ruido térmico, una partícula pierde energía continuamente hacia el medio ambiente, y su retrato de fase dependiente del tiempo (velocidad versus posición) corresponde a una espiral hacia adentro hacia la velocidad 0. Por el contrario, las fluctuaciones térmicas añaden continuamente energía a la partícula y evitan que alcance exactamente 0 velocidad. Más bien, el conjunto inicial de osciladores estocásticos se acerca a un estado estacionario en el que la velocidad y la posición se distribuyen según la distribución de Maxwell-Boltzmann . En el siguiente gráfico (figura 2), la distribución de velocidad a largo plazo (naranja) y las distribuciones de posición (azul) en un potencial armónico ( ) se trazan con las probabilidades de Boltzmann para la velocidad (rojo) y la posición (verde). En particular, el comportamiento tardío representa el equilibrio térmico. ${\textstyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

Trayectorias de partículas brownianas libres.

Considere una partícula libre de masa con la ecuación de movimiento descrita por ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=-{\frac {\mathbf {v} }{\mu }}+{\boldsymbol {\eta }}(t),}$$

${\displaystyle \mathbf {v} =d\mathbf {r} /dt}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}(t)=m\mathbf {a} (t)}$ ${\displaystyle t_{c}}$ ${\displaystyle {\overline {{\boldsymbol {\eta }}(t)}}=0}$

$${\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} (0)e^{-t/\tau }+\int _{0}^{t}\mathbf {a} (t')e^{-(t-t')/\tau }dt',}$$

función de autocorrelación^[10] ${\displaystyle \tau =m\mu }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Desplazamientos cuadrados simulados de partículas brownianas libres (líneas onduladas semitransparentes) en función del tiempo, para tres opciones seleccionadas de velocidad inicial al cuadrado que son 0, 3 k _B T / m y 6 k _B T / m respectivamente, con 3 siendo k _B T / m el valor de equipartición en equilibrio térmico. Las curvas sólidas coloreadas indican los desplazamientos cuadráticos medios para las opciones de parámetros correspondientes.

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{vv}(t_{1},t_{2})&\equiv \langle \mathbf {v} (t_{1})\cdot \mathbf {v} (t_{2})\rangle \\&=v^{2}(0)e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }+\int _{0}^{t_{1}}\int _{0}^{t_{2}}R_{aa}(t_{1}',t_{2}')e^{-(t_{1}+t_{2}-t_{1}'-t_{2}')/\tau }dt_{1}'dt_{2}'\\&\simeq v^{2}(0)e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }+\left[{\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}-v^{2}(0)\right]{\Big [}e^{-|t_{2}-t_{1}|/\tau }-e^{-(t_{1}+t_{2})/\tau }{\Big ]},\end{aligned}}}$$

teorema de equipartición ${\displaystyle \mathbf {a} (t_{1}')}$ ${\displaystyle \mathbf {a} (t_{2}')}$ ${\displaystyle t_{2}'-t_{1}'\gg t_{c}}$ ${\textstyle \lim _{t\to \infty }\langle v^{2}(t)\rangle =\lim _{t\to \infty }R_{vv}(t,t)}$ ${\displaystyle 3k_{\text{B}}T/m}$ ${\displaystyle v^{2}(0)=3k_{\text{B}}T/m}$ ${\displaystyle \langle v^{2}(t)\rangle =3k_{\text{B}}T/m}$ ${\displaystyle t}$

La velocidad de la partícula browniana se puede integrar para obtener su trayectoria . Si inicialmente se ubica en el origen con probabilidad 1, entonces el resultado es ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {v} (0)\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right)+\tau \int _{0}^{t}\mathbf {a} (t')\left[1-e^{-(t-t')/\tau }\right]dt'.}$$

Por lo tanto, el desplazamiento promedio es asíntota a medida que el sistema se relaja. El desplazamiento cuadrático medio se puede determinar de manera similar: ${\textstyle \langle \mathbf {r} (t)\rangle =\mathbf {v} (0)\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} (0)\tau }$

$${\displaystyle \langle r^{2}(t)\rangle =v^{2}(0)\tau ^{2}\left(1-e^{-t/\tau }\right)^{2}-{\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}\tau ^{2}\left(1-e^{-t/\tau }\right)\left(3-e^{-t/\tau }\right)+{\frac {6k_{\text{B}}T}{m}}\tau t.}$$

Esta expresión implica que , lo que indica que el movimiento de las partículas brownianas en escalas de tiempo mucho más cortas que el tiempo de relajación del sistema es (aproximadamente) invariante en inversión del tiempo . Por otro lado, lo que indica un proceso disipativo irreversible . ${\displaystyle \langle r^{2}(t\ll \tau )\rangle \simeq v^{2}(0)t^{2}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \langle r^{2}(t\gg \tau )\rangle \simeq 6k_{\text{B}}T\tau t/m=6\mu k_{\text{B}}Tt=6Dt}$

Este gráfico corresponde a las soluciones de la ecuación de Langevin completa obtenida mediante el método de Euler-Maruyama . El panel izquierdo muestra la evolución temporal del retrato de fase de un oscilador armónico a diferentes temperaturas. El panel derecho captura las correspondientes distribuciones de probabilidad de equilibrio. A temperatura cero, la velocidad decae rápidamente desde su valor inicial (el punto rojo) a cero debido a la amortiguación. Para temperaturas distintas de cero, la velocidad puede aumentar a valores superiores al valor inicial debido a fluctuaciones térmicas. En tiempos prolongados, la velocidad permanece distinta de cero y las distribuciones de posición y velocidad corresponden a las del equilibrio térmico.

Recuperando las estadísticas de Boltzmann

Si el potencial externo es conservador y el término de ruido deriva de un yacimiento en equilibrio térmico, entonces la solución a largo plazo de la ecuación de Langevin debe reducirse a la distribución de Boltzmann , que es la función de distribución de probabilidad para partículas en equilibrio térmico. En el caso especial de la dinámica sobreamortiguada , la inercia de la partícula es insignificante en comparación con la fuerza de amortiguación, y la trayectoria se describe mediante la ecuación de Langevin sobreamortiguada. ${\displaystyle x(t)}$

$${\displaystyle \lambda {\frac {dx}{dt}}=-{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}+\eta (t)\equiv -{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}+{\sqrt {2\lambda k_{\text{B}}T}}{\frac {dB_{t}}{dt}},}$$

¿Dónde está la constante de amortiguación? El término es ruido blanco, caracterizado (formalmente, el proceso Wiener). Una forma de resolver esta ecuación es introducir una función de prueba y calcular su promedio. El promedio de debe ser independiente del tiempo para finito , lo que lleva a ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \eta (t)}$ ${\displaystyle \left\langle \eta (t)\eta (t')\right\rangle =2k_{\text{B}}T\lambda \delta (t-t')}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x(t))}$ ${\displaystyle x(t)}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\langle f(x(t))\right\rangle =0,}$$

El lema de Itô para el proceso de difusión-deriva de Itô dice que el diferencial de una función dos veces diferenciable f ( t , x ) está dado por ${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dB_{t}}$

$${\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\sigma _{t}^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dB_{t}.}$$

Aplicando esto al cálculo de da ${\displaystyle \langle f(x(t))\rangle }$

$${\displaystyle \left\langle -f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}+k_{\text{B}}Tf''(x)\right\rangle =0.}$$

Este promedio se puede escribir usando la función de densidad de probabilidad ; ${\displaystyle p(x)}$

$${\displaystyle \int \left(-f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)+{k_{\text{B}}T}f''(x)p(x)\right)dx=\int \left(-f'(x){\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)-{k_{\text{B}}T}f'(x)p'(x)\right)dx=0,}$$

${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}}p(x)+{k_{\text{B}}T}p'(x)=0,}$$

$${\displaystyle p(x)\propto \exp \left({-{\frac {V(x)}{k_{\text{B}}T}}}\right).}$$

Energía cinética turbulenta en la capa superficial de la atmósfera

La función de densidad de probabilidad p(k) de la energía cinética turbulenta k se investiga para flujos diabáticos de la capa superficial atmosférica (ASL). ^[11] En la última referencia, los autores muestran que cuando los componentes de la velocidad son casi gaussianos y sus amplitudes al cuadrado son casi independientes, se muestra que el p(k) resultante tiene una distribución γ. por lo tanto, se propone y prueba una ecuación de Langevin no lineal que preserva un p(k) distribuido en γ, pero permite la relajación lineal de k a su estado medio, utilizando múltiples conjuntos de datos ASL.

Técnicas equivalentes

En algunas situaciones, lo que más nos interesa es el comportamiento promediado del ruido de la ecuación de Langevin, en contraposición a la solución para realizaciones particulares del ruido. Esta sección describe técnicas para obtener este comportamiento promediado que son distintas (pero también equivalentes) del cálculo estocástico inherente a la ecuación de Langevin.

Ecuación de Fokker-Planck

Una ecuación de Fokker-Planck es una ecuación determinista para la densidad de probabilidad dependiente del tiempo de variables estocásticas . La ecuación de Fokker-Planck correspondiente a la ecuación genérica de Langevin descrita en este artículo es la siguiente: ^[12] ${\displaystyle P\left(A,t\right)}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle {\frac {\partial P\left(A,t\right)}{\partial t}}=\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{i}}}\left(-k_{\text{B}}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{j}}}\right)P\left(A,t\right).}$$

${\displaystyle P(A)=p_{0}(A)={\text{const}}\times \exp(-{\mathcal {H}})}$

Ecuación de Klein-Kramers

La ecuación de Fokker-Planck para una partícula browniana subamortiguada se llama ecuación de Klein-Kramers . ^{[13] [14]} Si las ecuaciones de Langevin se escriben como

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\frac {\mathbf {p} }{m}}\\{\dot {\mathbf {p} }}&=-\xi \,\mathbf {p} -\nabla V(\mathbf {r} )+{\sqrt {2m\xi k_{\mathrm {B} }T}}{\boldsymbol {\eta }}(t),\qquad \langle {\boldsymbol {\eta }}^{\mathrm {T} }(t){\boldsymbol {\eta }}(t')\rangle =\mathbf {I} \delta (t-t')\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \mathbf {p} }$

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{m}}\mathbf {p} \cdot \nabla _{\mathbf {r} }f=\xi \nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\mathbf {p} \,f\right)+\nabla _{\mathbf {p} }\cdot \left(\nabla V(\mathbf {r} )\,f\right)+m\xi k_{\mathrm {B} }T\,\nabla _{\mathbf {p} }^{2}f}$$

operador de gradienterplaplacianop ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {r} }}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {p} }}$ ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {p} }^{2}}$

En el espacio libre de dimensiones, correspondiente a on , esta ecuación se puede resolver mediante transformadas de Fourier . Si la partícula se inicializa con la posición y el momento correspondientes a la condición inicial , entonces la solución es ^{[14] [15]} ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\text{constant}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \mathbf {p} '}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,0)=\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p} ')}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)={\frac {1}{\left(2\pi \sigma _{X}\sigma _{P}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}\right)^{d}}}\exp \left[-{\frac {1}{2(1-\beta ^{2})}}\left({\frac {|\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X}|^{2}}{\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {|\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P}|^{2}}{\sigma _{P}^{2}}}-{\frac {2\beta (\mathbf {r} -{\boldsymbol {\mu }}_{X})\cdot (\mathbf {p} -{\boldsymbol {\mu }}_{P})}{\sigma _{X}\sigma _{P}}}\right)\right]\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sigma _{X}^{2}={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m\xi ^{2}}}\left[1+2\xi t-\left(2-e^{-\xi t}\right)^{2}\right];\qquad \sigma _{P}^{2}=mk_{\mathrm {B} }T\left(1-e^{-2\xi t}\right)\\&\beta ={\frac {k_{\text{B}}T}{\xi \sigma _{X}\sigma _{P}}}\left(1-e^{-\xi t}\right)^{2}\\&{\boldsymbol {\mu }}_{X}=\mathbf {r} '+(m\xi )^{-1}\left(1-e^{-\xi t}\right)\mathbf {p} ';\qquad {\boldsymbol {\mu }}_{P}=\mathbf {p} 'e^{-\xi t}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \langle \mathbf {r} (t)^{2}\rangle =\int f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)\mathbf {r} ^{2}\,d\mathbf {r} d\mathbf {p} ={\boldsymbol {\mu }}_{X}^{2}+3\sigma _{X}^{2}}$$

Integral de trayectoria

Se puede obtener una integral de trayectoria equivalente a una ecuación de Langevin a partir de la ecuación de Fokker-Planck correspondiente o transformando esquemáticamente la distribución de probabilidad gaussiana de la fuerza fluctuante en una distribución de probabilidad de las variables lentas . El determinante funcional y las sutilezas matemáticas asociadas desaparecen si la ecuación de Langevin se discretiza de forma natural (causal), donde depende de pero no de . Resulta conveniente introducir variables de respuesta auxiliares . La integral de trayectoria equivalente a la ecuación genérica de Langevin es entonces ^[16] ${\displaystyle P^{(\eta )}(\eta )\mathrm {d} \eta }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle P(A)\mathrm {d} A=P^{(\eta )}(\eta (A))\det(\mathrm {d} \eta /\mathrm {d} A)\mathrm {d} A}$ ${\displaystyle A(t+\Delta t)-A(t)}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle A(t+\Delta t)}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}}$

$${\displaystyle \int P(A,{\tilde {A}})\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} {\tilde {A}}=N\int \exp \left(L(A,{\tilde {A}})\right)\mathrm {d} A\,\mathrm {d} {\tilde {A}},}$$

${\displaystyle N}$

$${\displaystyle L(A,{\tilde {A}})=\int \sum _{i,j}\left\{{\tilde {A}}_{i}\lambda _{i,j}{\tilde {A}}_{j}-{\widetilde {A}}_{i}\left\{\delta _{i,j}{\frac {\mathrm {d} A_{j}}{\mathrm {d} t}}-k_{\text{B}}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} \lambda _{i,j}}{\mathrm {d} A_{j}}}\right\}\right\}\mathrm {d} t.}$$

la teoría cuántica de campos

Ver también

• Teoría de Grote-Hynes
• Dinámica de Langevin
• Termodinámica estocástica

Referencias

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2. Limones, Don S.; Gythiel, Antonio (1997). "Artículo de Paul Langevin de 1908" Sobre la teoría del movimiento browniano "["Sur la théorie du mouvement brownien", CR Acad. Sci. (París) 146, 530–533 (1908)]". Revista Estadounidense de Física . 65 (11). Asociación Estadounidense de Profesores de Física (AAPT): 1079–1081. Código bibliográfico : 1997AmJPh..65.1079L. doi :10.1119/1.18725. ISSN  0002-9505.
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16. Janssen, Hong Kong (1976). "Lagrangeano para dinámica de campo clásica y cálculos de grupos de renormalización de propiedades críticas dinámicas". Z. Phys. B . 23 (4): 377–380. Código bibliográfico : 1976ZPhyB..23..377J. doi :10.1007/BF01316547. S2CID  121216943.

Otras lecturas

• WT Coffey ( Trinity College, Dublín , Irlanda) y Yu P. Kalmykov ( Université de Perpignan , Francia , The Langevin Equation: With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Tercera edición), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics - Volumen 27.
• Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics , McGraw Hill Nueva York, 1965. Véase la sección 15.5 Ecuación de Langevin
• R. Friedrich, J. Peinke y Ch. Renner. Cómo cuantificar las influencias deterministas y aleatorias en las estadísticas del mercado de divisas , Phys. Rev. Lett. 84, 5224 - 5227 (2000)
• LCG Rogers y D. Williams. Difusiones, procesos de Markov y martingales , Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Cambridge, reimpresión de la segunda edición (1994), 2000.