Procesos estocásticos y problemas de valores en la frontera.

En matemáticas , algunos problemas de valores en la frontera se pueden resolver utilizando los métodos de análisis estocástico . Quizás el ejemplo más célebre sea la solución de Shizuo Kakutani en 1944 al problema de Dirichlet para el operador de Laplace utilizando el movimiento browniano . Sin embargo, resulta que para una gran clase de ecuaciones diferenciales parciales semielípticas de segundo orden, el problema de valor límite de Dirichlet asociado se puede resolver utilizando un proceso de Itō que resuelve una ecuación diferencial estocástica asociada .

Introducción: la solución de Kakutani al problema clásico de Dirichlet

Sea un dominio (un conjunto abierto y conexo ) en . Sea el operador de Laplace , sea una función acotada en la frontera y considere el problema: ${\displaystyle D}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \partial D}$

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta u(x)=0,&x\in D\\\displaystyle {\lim _{y\to x}u(y)}=g(x),&x\in \partial D\end{cases}}}$

Se puede demostrar que si existe una solución, entonces el valor esperado de en el primer punto de salida (aleatorio) es para un movimiento browniano canónico que comienza en . Véase el teorema 3 en Kakutani 1944, p. 710. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$

El problema de Dirichlet-Poisson

Sea un dominio in y sea un operador diferencial semielíptico on de la forma: ${\displaystyle D}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L}$ ${\textstyle C^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )}$

${\displaystyle L=\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}}$

donde los coeficientes y son funciones continuas y todos los valores propios de la matriz no son negativos. Deja y . Considere el problema de Poisson : ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle \alpha (x)=a_{ij}(x)}$ ${\textstyle f\in C(D;\mathbb {R} )}$ ${\textstyle g\in C(\partial D;\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\begin{cases}-Lu(x)=f(x),&x\in D\\\displaystyle {\lim _{y\to x}u(y)}=g(x),&x\in \partial D\end{cases}}\quad {\mbox{(P1)}}}$

La idea del método estocástico para resolver este problema es la siguiente. Primero, se encuentra una difusión de Itō cuyo generador infinitesimal coincide con funciones soportadas de forma compacta . Por ejemplo, puede considerarse la solución de la ecuación diferencial estocástica: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} B_{t}}$

donde es el movimiento browniano de n dimensiones, tiene componentes como los anteriores y el campo matricial se elige de modo que: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sigma (x)\sigma (x)^{\top }=a(x),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Para un punto , denotamos la ley del dato inicial dado , y denotamos la expectativa con respecto a . Denotemos la primera hora de salida de from . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{0}=x}$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$ ${\displaystyle \tau _{D}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$

En esta notación, la solución candidata para (P1) es:

${\displaystyle u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\cdot \chi _{\{\tau _{D}<+\infty \}}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]}$

siempre que sea una función acotada y que: ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}{\big |}f(X_{t}){\big |}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty }$

Resulta que se requiere una condición más:

${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}{\big (}\tau _{D}<\infty {\big )}=1,\quad \forall x\in D}$

Para todos , el proceso que comienza casi con seguridad sale en un tiempo finito. Bajo este supuesto, la solución candidata anterior se reduce a: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle u(x)=\mathbb {E} ^{x}\left[g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )}\right]+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{t})\,\mathrm {d} t\right]}$

y resuelve (P1) en el sentido de que si denota el operador característico para (que concuerda con las funciones), entonces: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C^{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}-{\mathcal {A}}u(x)=f(x),&x\in D\\\displaystyle {\lim _{t\uparrow \tau _{D}}u(X_{t})}=g{\big (}X_{\tau _{D}}{\big )},&\mathbb {P} ^{x}{\mbox{-a.s.,}}\;\forall x\in D\end{cases}}\quad {\mbox{(P2)}}}$

Además, si satisface (P2) y existe una constante tal que, para todos : ${\textstyle v\in C^{2}(D;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\in D}$

${\displaystyle |v(x)|\leq C\left(1+\mathbb {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}{\big |}g(X_{s}){\big |}\,\mathrm {d} s\right]\right)}$

entonces . ${\displaystyle v=u}$

Referencias

• Kakutani, Shizuo (1944). "Movimiento browniano bidimensional y funciones armónicas". Proc. Diablillo. Acad. Tokio . 20 (10): 706–714. doi : 10.3792/pia/1195572706 .
• Kakutani, Shizuo (1944). "Sobre los movimientos brownianos en el espacio n". Proc. Diablillo. Acad. Tokio . 20 (9): 648–652. doi : 10.3792/pia/1195572742 .
• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (Sexta ed.). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1.(Ver Sección 9)