En teoría de la probabilidad , las leyes del arcoseno son una colección de resultados para los recorridos aleatorios unidimensionales y el movimiento browniano (el proceso de Wiener ). La más conocida de ellas se atribuye a Paul Lévy (1939).
Las tres leyes relacionan las propiedades de trayectoria del proceso de Wiener con la distribución de arcoseno . Una variable aleatoria X en [0,1] tiene distribución de arcoseno si
En todo momento suponemos que ( W t ) 0 ≤ t ≤ 1 ∈ R es el proceso de Wiener unidimensional en [0,1]. La invariancia de escala asegura que los resultados se puedan generalizar a procesos de Wiener ejecutados para t ∈[0,∞).
La primera ley del arcoseno establece que la proporción de tiempo en que el proceso de Wiener unidimensional es positivo sigue una distribución de arcoseno. Sea
sea la medida del conjunto de tiempos en [0,1] en los que el proceso de Wiener es positivo. Entonces se distribuye arcoseno.
La segunda ley del arcoseno describe la distribución de la última vez que el proceso de Wiener cambia de signo. Sea
sea el tiempo del último cero. Entonces L tiene distribución arcoseno.
La tercera ley del arcoseno establece que el tiempo en el que un proceso de Wiener alcanza su máximo está distribuido en forma de arcoseno.
El enunciado de la ley se basa en el hecho de que el proceso de Wiener tiene un máximo casi seguramente único, [1] y por lo tanto podemos definir la variable aleatoria M que es el tiempo en el que se alcanza el máximo, es decir, el único M tal que
Entonces M se distribuye en arcoseno.
Definición del proceso máximo en ejecución M t del proceso de Wiener
entonces la ley de X t = M t − W t tiene la misma ley que un proceso de Wiener reflejado | B t | (donde B t es un proceso de Wiener independiente de W t ). [1]
Como los ceros de B y | B | coinciden, el último cero de X tiene la misma distribución que L , el último cero del proceso de Wiener. El último cero de X se produce exactamente cuando W alcanza su máximo. [1] De ello se deduce que la segunda y la tercera ley son equivalentes.
![{\displaystyle \Pr \left[X\leq x\right]={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right),\qquad \forall x\in [0,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a41666490f133970aabfcb0c625b69312641126)
![{\displaystyle T_{+}=\left|\{\,t\en [0,1]\,\colon \,W_{t}>0\,\}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72770db491b42a0dc18d13b5b2bb88f1bbb88aa3)
![{\displaystyle L=\sup \left\{t\in [0,1]\,\colon \,W_{t}=0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2a610d1008a43cd635a25214d0150cacf3bcf6)
![{\displaystyle W_{M}=\sup\{W_{s}\,\colon \,s\in [0,1]\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62f82c59efa23a4a5e021b1a023a617214ee5451)
![{\displaystyle M_{t}=\sup\{W_{s}\,\colon \,s\in [0,t]\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184d233f636a0392105747cbc6c3bbf6a0f4f941)