Distribución de arcoseno

Tipo de distribución de probabilidad

En teoría de probabilidad , la distribución arcoseno es la distribución de probabilidad cuya función de distribución acumulativa involucra el arcoseno y la raíz cuadrada :

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}$

para 0 ≤  x  ≤ 1, y cuya función de densidad de probabilidad es

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$

en (0, 1). La distribución de arcoseno estándar es un caso especial de la distribución beta con α  =  β  = 1/2. Es decir, si es una variable aleatoria distribuida según un arcoseno, entonces . Por extensión, la distribución de arcoseno es un caso especial de la distribución de tipo I de Pearson . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\sim {\rm {Beta}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$

La distribución de arcoseno aparece en la ley de arcoseno de Lévy , en la ley de arcoseno de Erdős y como la distribución previa de Jeffreys para la probabilidad de éxito de un ensayo de Bernoulli . ^{[1] [2]}

Generalización

Soporte arbitrario y limitado

La distribución se puede ampliar para incluir cualquier soporte acotado de a  ≤  x  ≤  b mediante una transformación simple

${\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}$

para a  ≤  x  ≤  b , y cuya función de densidad de probabilidad es

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}$

en ( a ,  b ).

Factor de forma

Distribución de arcoseno estándar generalizada en (0,1) con función de densidad de probabilidad

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\sin \pi \alpha }{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}}$

También es un caso especial de la distribución beta con parámetros . ${\displaystyle {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )}$

Tenga en cuenta que cuando la distribución general del arcoseno se reduce a la distribución estándar mencionada anteriormente. ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$

Propiedades

• La distribución de arcoseno está cerrada bajo traslación y escala por un factor positivo
  • Si ${\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}}(a,b)\ {\text{then }}kX+c\sim {\rm {Arcsine}}(ak+c,bk+c)}$
• El cuadrado de una distribución de arcoseno sobre (-1, 1) tiene una distribución de arcoseno sobre (0, 1)
  • Si ${\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}}(-1,1)\ {\text{then }}X^{2}\sim {\rm {Arcsine}}(0,1)}$
• Las coordenadas de puntos seleccionados uniformemente en un círculo de radio centrado en el origen (0, 0), tienen una distribución ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\rm {Arcsine}}(-r,r)}$
  • Por ejemplo, si seleccionamos un punto uniformemente en la circunferencia, , tenemos que la distribución de coordenadas x del punto es , y su distribución de coordenadas y es ${\displaystyle U\sim {\rm {Uniform}}(0,2\pi r)}$ ${\displaystyle r\cdot \cos(U)\sim {\rm {Arcsine}}(-r,r)}$ ${\textstyle r\cdot \sin(U)\sim {\rm {Arcsine}}(-r,r)}$

Función característica

La función característica de la distribución de arcoseno generalizada es una función de Bessel de orden cero de primera especie, multiplicada por una exponencial compleja, dada por . Para el caso especial de , la función característica toma la forma de . ${\displaystyle e^{it{\frac {b+a}{2}}}J_{0}({\frac {b-a}{2}}t)}$ ${\displaystyle b=-a}$ ${\displaystyle J_{0}(bt)}$

Distribuciones relacionadas

• Si U y V son variables aleatorias uniformes iid ( −π,π), entonces , , y todos tienen una distribución. ${\displaystyle \sin(U)}$ ${\displaystyle \sin(2U)}$ ${\displaystyle -\cos(2U)}$ ${\displaystyle \sin(U+V)}$ ${\displaystyle \sin(U-V)}$ ${\displaystyle {\rm {Arcsine}}(-1,1)}$
• Si la distribución de arcoseno generalizada con parámetro de forma se apoya en el intervalo finito [a,b] entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\frac {X-a}{b-a}}\sim {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )\ }$
• Si X ~ Cauchy(0, 1) entonces tiene una distribución de arcoseno estándar ${\displaystyle {\tfrac {1}{1+X^{2}}}}$

Referencias

1. Overturf, Drew; et al. (2017). Investigación de patrones de formación de haces a partir de matrices en fase distribuidas volumétricamente . MILCOM 2017 - Conferencia de Comunicaciones Militares IEEE 2017 (MILCOM). págs. 817–822. doi :10.1109/MILCOM.2017.8170756. ISBN 978-1-5386-0595-0.
2. Buchanan, K.; et al. (2020). "Orientación de haz nulo mediante matrices distribuidas y distribuciones de apertura compartida". Transacciones IEEE sobre antenas y propagación . 68 (7): 5353–5364. doi :10.1109/TAP.2020.2978887.

Lectura adicional

• Rogozin, BA (2001) [1994], "Distribución de arcoseno", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press