ley de stokes

Ecuación para la velocidad de un cuerpo en un fluido viscoso.

En dinámica de fluidos , la ley de Stokes es una ley empírica de la fuerza de fricción, también llamada fuerza de arrastre , ejercida sobre objetos esféricos con números de Reynolds muy pequeños en un fluido viscoso . ^[1] Fue obtenido por George Gabriel Stokes en 1851 resolviendo el límite de flujo de Stokes para números de Reynolds pequeños de las ecuaciones de Navier-Stokes . ^[2]

Declaración de la ley

La fuerza de la viscosidad sobre una pequeña esfera que se mueve a través de un fluido viscoso viene dada por: ^{[3] [4]}

${\displaystyle F_{\rm {d}}=6\pi \mu Rv}$

donde (en unidades SI ):

• F _d es la fuerza de fricción, conocida como arrastre de Stokes , que actúa sobre la interfaz entre el fluido y la partícula ( newtons , kg ms ⁻² );
• μ (algunos autores usan el símbolo η ) es la viscosidad dinámica ( Pascal -segundos, kg m ⁻¹ s ⁻¹ );
• R es el radio del objeto esférico (metros);
• ${\displaystyle v}$es la velocidad del flujo relativa al objeto (metros por segundo).

La ley de Stokes plantea los siguientes supuestos sobre el comportamiento de una partícula en un fluido:

• Flujo laminar
• Sin efectos de inercia ( número de Reynolds cero )
• Partículas esféricas
• Material homogéneo (uniforme en composición)
• Superficies suaves
• Las partículas no interfieren entre sí.

Dependiendo de la precisión deseada, el incumplimiento de estos supuestos puede requerir o no el uso de un modelo más complicado. Para un error del 10%, por ejemplo, las velocidades deben limitarse a aquellas que den Re < 1.

Para las moléculas, se utiliza la ley de Stokes para definir su radio y diámetro de Stokes .

La unidad CGS de viscosidad cinemática recibió el nombre de "stokes" en honor a su trabajo.

Aplicaciones

La ley de Stokes es la base del viscosímetro de esfera descendente , en el que el fluido está estacionario en un tubo de vidrio vertical. Se permite que una esfera de tamaño y densidad conocidos descienda a través del líquido. Si se selecciona correctamente, alcanza la velocidad terminal, que se puede medir por el tiempo que tarda en pasar dos marcas en el tubo. La detección electrónica se puede utilizar para fluidos opacos. Conociendo la velocidad terminal, el tamaño y la densidad de la esfera y la densidad del líquido, la ley de Stokes se puede utilizar para calcular la viscosidad del fluido. En el experimento clásico se utiliza normalmente una serie de rodamientos de bolas de acero de diferentes diámetros para mejorar la precisión del cálculo. El experimento escolar utiliza glicerina o jarabe dorado como fluido, y la técnica se utiliza industrialmente para comprobar la viscosidad de los fluidos utilizados en los procesos. Varios experimentos escolares implican a menudo variar la temperatura y/o la concentración de las sustancias utilizadas para demostrar los efectos que esto tiene sobre la viscosidad. Los métodos industriales incluyen muchos aceites diferentes y líquidos poliméricos como soluciones.

La importancia de la ley de Stokes queda ilustrada por el hecho de que desempeñó un papel fundamental en la investigación que condujo a al menos tres premios Nobel. ^[5]

La ley de Stokes es importante para comprender la natación de los microorganismos y los espermatozoides ; también, la sedimentación de pequeñas partículas y organismos en el agua, bajo la fuerza de la gravedad. ^[5]

En el aire, se puede utilizar la misma teoría para explicar por qué pequeñas gotas de agua (o cristales de hielo) pueden permanecer suspendidas en el aire (como nubes) hasta que crecen hasta un tamaño crítico y comienzan a caer en forma de lluvia (o nieve y granizo). ^[6] Se puede hacer un uso similar de la ecuación en la sedimentación de partículas finas en agua u otros fluidos. ^{[ cita necesaria ]}

Velocidad terminal de una esfera que cae en un fluido.

Flujo rastrero que pasa por una esfera que cae en un fluido (p. ej., una gota de niebla que cae en el aire): líneas de corriente , fuerza de arrastre F _d y fuerza de gravedad F _g .

A la velocidad terminal (o de asentamiento) , el exceso de fuerza _Fe debido a la diferencia entre el peso y la flotabilidad de la esfera (ambos causados ​​por la gravedad ^[7] ) viene dado por:

${\displaystyle F_{e}=(\rho _{p}-\rho _{f})\,g\,{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3},}$

donde (en unidades SI ):

• ρ _p es la densidad de masa de la esfera [kg/m ³ ]
• ρ _f es la densidad másica del fluido [kg/m ³ ]
• g es la aceleración gravitacional [m/s ² ]

Al requerir el equilibrio de fuerzas F _d = F _e y resolver la velocidad v se obtiene la velocidad terminal v _s . Tenga en cuenta que dado que el exceso de fuerza aumenta con R ³ y la resistencia de Stokes aumenta con R , la velocidad terminal aumenta con R ² y, por lo tanto, varía mucho con el tamaño de las partículas, como se muestra a continuación. Si una partícula solo experimenta su propio peso mientras cae en un fluido viscoso, entonces se alcanza una velocidad terminal cuando la suma de las fuerzas de fricción y de flotación sobre la partícula debidas al fluido equilibra exactamente la fuerza gravitacional . Esta velocidad v [m/s] viene dada por: ^[7]

$${\displaystyle v={\frac {2}{9}}{\frac {\rho _{p}-\rho _{f}}{\mu }}g\,R^{2}\quad {\begin{cases}\rho _{p}>\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ vertically downwards}}\\\rho _{p}<\rho _{f}&\implies {\vec {v}}{\text{ vertically upwards}}\end{cases}}}$$

donde (en unidades SI):

• g es la intensidad del campo gravitacional [m/s ² ]
• R es el radio de la partícula esférica [m]
• ρ _p es la densidad de masa de la partícula [kg/m ³ ]
• ρ _f es la densidad másica del fluido [kg/m ³ ]
• μ es la viscosidad dinámica [kg/(m•s)].

Derivación

Flujo constante de Stokes

En el flujo de Stokes , con un número de Reynolds muy bajo , se desprecian los términos de aceleración convectiva en las ecuaciones de Navier-Stokes . Entonces las ecuaciones de flujo quedan, para un flujo estacionario incompresible : ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla p=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\mu \,\nabla \times \mathbf {\boldsymbol {\omega }} ,\\[2pt]&\nabla \cdot \mathbf {u} =0,\end{aligned}}}$

dónde:

• p es la presión del fluido (en Pa),
• u es la velocidad del flujo (en m/s), y
• ω es la vorticidad (en s ⁻¹ ), definida como  ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} .}$

Al utilizar algunas identidades de cálculo vectorial , se puede demostrar que estas ecuaciones dan como resultado las ecuaciones de Laplace para la presión y cada uno de los componentes del vector de vorticidad: ^[8]

${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0}$   y   ${\displaystyle \nabla ^{2}p=0.}$

No se han tenido en cuenta fuerzas adicionales como las de la gravedad y la flotabilidad, pero se pueden agregar fácilmente ya que las ecuaciones anteriores son lineales, por lo que se puede aplicar la superposición lineal de soluciones y fuerzas asociadas.

Flujo transversal alrededor de una esfera.

Líneas de corriente de flujo rastrero que pasan por una esfera en un fluido. Isocontornos de la función ψ (valores en etiquetas de contorno).

Para el caso de una esfera en un flujo uniforme de campo lejano , es ventajoso utilizar un sistema de coordenadas cilíndrico ( r , φ , z ) . El eje z pasa por el centro de la esfera y está alineado con la dirección media del flujo, mientras que r es el radio medido perpendicular al eje z . El origen está en el centro de la esfera. Debido a que el flujo es simétrico alrededor del eje z , es independiente del azimut φ .

En este sistema de coordenadas cilíndrico, el flujo incompresible se puede describir con una función de corriente de Stokes ψ , dependiendo de r y z : ^{[9] [10]}

${\displaystyle u_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}},\qquad u_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},}$

siendo u _r y u _z las componentes de la velocidad del flujo en la dirección r y z , respectivamente. La componente de velocidad azimutal en la dirección φ es igual a cero, en este caso axisimétrico. El flujo de volumen, a través de un tubo limitado por una superficie de algún valor constante ψ , es igual a 2 πψ y es constante. ^[9]

Para este caso de un flujo axisimétrico, el único componente distinto de cero del vector de vorticidad ω es el componente azimutal φ ω _φ ^{[11] [12]}

${\displaystyle \omega _{\varphi }={\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)-{\frac {1}{r}}\,{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}.}$

El operador de Laplace , aplicado a la vorticidad ω _φ , queda en este sistema de coordenadas cilíndrico con ejesimetría: ^[12]

${\displaystyle \nabla ^{2}\omega _{\varphi }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\,{\frac {\partial \omega _{\varphi }}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\omega _{\varphi }}{\partial z^{2}}}-{\frac {\omega _{\varphi }}{r^{2}}}=0.}$

A partir de las dos ecuaciones anteriores, y con las condiciones de contorno apropiadas, para una velocidad de flujo uniforme de campo lejano u en la dirección z y una esfera de radio R , se encuentra que la solución es ^[13]

${\displaystyle \psi (r,z)=-{\frac {1}{2}}\,u\,r^{2}\,\left[1-{\frac {3}{2}}{\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\right)^{3}\;\right].}$

Stokes-Flow alrededor de la esfera con parámetros de velocidad de campo lejano , radio de la esfera , viscosidad del agua (T = 20 °C) . Se muestran las líneas de campo del campo de velocidad y las amplitudes de velocidad, presión y vorticidad con pseudocolores. ${\displaystyle \mathbf {u} _{\infty }={\begin{pmatrix}6&0&6\end{pmatrix}}^{T}{\text{m/s}}}$ ${\displaystyle R=1\;{\text{m}}}$ ${\displaystyle \mu =1\;{\text{mPa}}\cdot {\text{s}}}$

La solución de la velocidad en coordenadas cilíndricas y componentes es la siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}(r,z)&={\frac {3R^{3}}{4}}\cdot {\frac {rzu}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{5}}}-{\frac {3R}{4}}\cdot {\frac {rzu}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}\\[4pt]u_{z}(r,z)&={\frac {R^{3}}{4}}\cdot \left({\frac {3uz^{2}}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{5}}}-{\frac {u}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}\right)+u-{\frac {3R}{4}}\cdot \left({\frac {u}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{\frac {uz^{2}}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}\right)\end{aligned}}}$

La solución de vorticidad en coordenadas cilíndricas es la siguiente:

${\displaystyle \omega _{\varphi }(r,z)=-{\frac {3Ru}{2}}\cdot {\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

La solución de la presión en coordenadas cilíndricas es la siguiente:

${\displaystyle p(r,z)=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}$

La solución de la presión en coordenadas esféricas es la siguiente:

${\displaystyle p(r,\theta )=-{\frac {3\mu Ru}{2}}\cdot {\frac {\cos \theta }{r^{2}}}}$

La fórmula de la presión también se llama potencial dipolar , de forma análoga al concepto de electrostática.

Una formulación más general, con vector de velocidad de campo lejano arbitrario , en coordenadas cartesianas sigue con: ${\displaystyle \mathbf {u} _{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)^{T}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=\underbrace {\underbrace {{\frac {R^{3}}{4}}\cdot \left({\frac {3\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{\text{conservative: curl=0, div=0}}+\underbrace {\mathbf {u} _{\infty }} _{\text{far-field}}} _{\text{Terms of Boundary-Condition}}\;\underbrace {-{\frac {3R}{4}}\cdot \left({\frac {\mathbf {u} _{\infty }}{\|\mathbf {x} \|}}+{\frac {\left(\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} \right)\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\right)} _{{\text{non-conservative: curl}}={\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} ),{\text{ div=0}}}\\[8pt]&=\left[{\frac {3R^{3}}{4}}{\frac {\mathbf {x\otimes \mathbf {x} } }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}-{\frac {R^{3}}{4}}{\frac {\mathbb {I} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbf {x} \otimes \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R}{4}}{\frac {\mathbb {I} }{\|\mathbf {x} \|}}+\mathbb {I} \right]\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )=-{\frac {3R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}$

${\displaystyle p\left(\mathbf {x} \right)=-{\frac {3\mu R}{2}}\cdot {\frac {\mathbf {u} _{\infty }\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}}$

En esta formulación, el término no conservador representa una especie de llamado Stokeslet . El Stokeslet es la función de Green de las ecuaciones de flujo de Stokes. El término conservador es igual al campo de gradiente dipolar . La fórmula de la vorticidad es análoga a la ley de Biot-Savart en el electromagnetismo .

La siguiente fórmula describe el tensor de tensión viscosa para el caso especial del flujo de Stokes. Es necesario para calcular la fuerza que actúa sobre la partícula. En coordenadas cartesianas el vector-gradiente es idéntico a la matriz jacobiana . La matriz I representa la matriz identidad. ${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)}$

La fuerza que actúa sobre la esfera se calcula mediante la integral de superficie, donde e _r representa el vector unitario radial de coordenadas esféricas :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \;{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}\mathbf {S} \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\frac {3\mu \cdot \mathbf {u} _{\infty }}{2R}}\cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \\[4pt]&=6\pi \mu R\cdot \mathbf {u} _{\infty }\end{aligned}}}$

Flujo rotacional alrededor de una esfera.

Stokes-Flow alrededor de la esfera: , , ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{R}={\begin{pmatrix}0&0&2\end{pmatrix}}^{T}\;{\text{Hz}}}$ ${\displaystyle \mu =1\;{\text{mPa}}\cdot {\text{s}}}$ ${\displaystyle R=1\;{\text{m}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {x} )&=-\;R^{3}\cdot {\frac {{\boldsymbol {\omega }}_{R}\times \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{3}}}\\[8pt]{\boldsymbol {\omega }}(\mathbf {x} )&={\frac {R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}}{\|\mathbf {x} \|^{3}}}-{\frac {3R^{3}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}_{R}\cdot \mathbf {x} )\cdot \mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|^{5}}}\\[8pt]p(\mathbf {x} )&=0\\[8pt]{\boldsymbol {\sigma }}&=-p\cdot \mathbf {I} +\mu \cdot \left((\nabla \mathbf {u} )+(\nabla \mathbf {u} )^{T}\right)\\[8pt]\mathbf {T} &=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset \mathbf {x} \times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {S}}\right)\\&=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }(R\cdot \mathbf {e_{r}} )\times \left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {e_{r}} \cdot R^{2}\sin \theta {\text{d}}\varphi {\text{d}}\theta \right)\\&=8\pi \mu R^{3}\cdot {\boldsymbol {\omega }}_{R}\end{aligned}}}$

Otros tipos de flujo de Stokes

Aunque el líquido es estático y la esfera se mueve con cierta velocidad, con respecto al marco de la esfera, la esfera está en reposo y el líquido fluye en dirección opuesta al movimiento de la esfera.

Ver también

• Relación de Einstein (teoría cinética)
• Leyes científicas que llevan nombres de personas.
• Ecuación de arrastre
• Viscometría
• Diámetro esférico equivalente
• Deposición (geología)
• Número de Stokes : un determinante del efecto adicional de la turbulencia sobre la velocidad de caída terminal de partículas en fluidos ^[14]

Fuentes

• Licenciado, GK (1967). Introducción a la dinámica de fluidos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-66396-2.
• Cordero, H. (1994). Hidrodinámica (6ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-45868-9.Publicada originalmente en 1879, la sexta edición ampliada apareció por primera vez en 1932.

Referencias

1. Alimenta, GG (1856). "Sobre el efecto de la fricción interna de fluidos sobre el movimiento de péndulos". Transacciones de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 9, parte ii: 8–106. Código Bib : 1851TCaPS...9....8S. La fórmula para la velocidad terminal (V) aparece en la p. [52], ecuación (127).
2. Licenciado (1967), pág. 233.
3. Laidler, Keith J .; Meiser, John H. (1982). Química Física . Benjamín/Cummings. pag. 833.ISBN​ 0-8053-5682-7.
4. Robert Byron, pájaro; Warren E., Stewart; Edwin N., Lightfoot (7 de agosto de 2001). Fenómenos del transporte (2 ed.). John Wiley & Sons, Inc. pág. 61.ISBN​ 0-471-41077-2.
5. Dusenbery, David (2009). Vivir a microescala: la física inesperada de ser pequeño . Cambridge, Masa: Harvard University Press. ISBN 978-0-674-03116-6. OCLC  225874255.
6. Hadley, Pedro. "¿Por qué no caen las nubes?". Instituto de Física del Estado Sólido, TU Graz . Archivado desde el original el 12 de junio de 2017 . Consultado el 30 de mayo de 2015 .
7. Lamb (1994), §337, pág. 599.
8. Batchelor (1967), sección 4.9, p. 229.
9. Batchelor (1967), sección 2.2, p. 78.
10. Cordero (1994), §94, pág. 126.
11. Batchelor (1967), sección 4.9, p. 230
12. Batchelor (1967), apéndice 2, pág. 602.
13. Cordero (1994), §337, pág. 598.
14. Dey, S; Ali, SZ; Padhi, E (2019). "Velocidad de caída terminal: el legado de Stokes desde la perspectiva de la hidráulica fluvial". Actas de la Royal Society A. 475 (2228). doi : 10.1098/rspa.2019.0277 . PMC 6735480 . 20190277.