Dinámica browniana

Movimiento molecular ideal donde no hay aceleración media

En física , la dinámica browniana es un enfoque matemático para describir la dinámica de los sistemas moleculares en el régimen difusivo . Es una versión simplificada de la dinámica de Langevin y corresponde al límite donde no se produce ninguna aceleración media. Esta aproximación también se conoce como dinámica de Langevin sobreamortiguada o como dinámica de Langevin sin inercia .

Definición

En la dinámica browniana, la siguiente ecuación de movimiento se utiliza para describir la dinámica de un sistema estocástico con coordenadas : ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle X=X(t)}$

${\displaystyle {\dot {X}}=-{\frac {D}{k_{\text{B}}T}}\nabla U(X)+{\sqrt {2D}}R(t).}$

dónde:

• ${\displaystyle {\dot {X}}}$es la velocidad, siendo el punto una derivada del tiempo
• ${\displaystyle U(X)}$es el potencial de interacción de partículas
• ${\displaystyle \nabla }$es el operador de gradiente, de modo que es la fuerza calculada a partir del potencial de interacción de partículas ${\displaystyle -\nabla U(X)}$
• ${\displaystyle k_{\text{B}}}$¿es la constante de Boltzmann?
• ${\displaystyle T}$¿Es la temperatura?
• ${\displaystyle D}$es un coeficiente de difusión
• ${\displaystyle R(t)}$es un término de ruido blanco , satisfactorio y ${\displaystyle \left\langle R(t)\right\rangle =0}$ ${\displaystyle \left\langle R(t)R(t')\right\rangle =\delta (t-t')}$

Derivación

En la dinámica de Langevin , la ecuación de movimiento utilizando la misma notación que la anterior es la siguiente: ^{[1] [2] [3]} donde: $${\displaystyle M{\ddot {X}}=-\nabla U(X)-\zeta {\dot {X}}+{\sqrt {2\zeta k_{\text{B}}T}}R(t)}$$

• ${\displaystyle M}$es la masa de la partícula.
• ${\displaystyle {\ddot {X}}}$es la aceleración
• ${\displaystyle \zeta }$es la constante o tensor de fricción, en unidades de . ${\displaystyle {\text{mass}}/{\text{time}}}$
  • A menudo tiene la forma , donde es la frecuencia de colisión con el disolvente, una constante de amortiguamiento en unidades de . ${\displaystyle \zeta =\gamma M}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\text{time}}^{-1}}$
  • Para partículas esféricas de radio r en el límite del número de Reynolds bajo , la ley de Stokes da . ${\displaystyle \zeta =6\pi \,\eta \,r}$

La ecuación anterior puede reescribirse como En la dinámica browniana, el término de fuerza inercial es mucho menor que los otros tres, por lo que se considera despreciable. En este caso, la ecuación es aproximadamente ^[1] $${\displaystyle \underbrace {M{\ddot {X}}} _{\text{inertial force}}+\underbrace {\nabla U(X)} _{\text{potential force}}+\underbrace {\zeta {\dot {X}}} _{\text{viscous force}}-\underbrace {{\sqrt {2\zeta k_{\text{B}}T}}R(t)} _{\text{random force}}=0}$$ ${\displaystyle M{\ddot {X}}(t)}$

${\displaystyle 0=-\nabla U(X)-\zeta {\dot {X}}+{\sqrt {2\zeta k_{\text{B}}T}}R(t)}$

Para partículas esféricas de radio en el límite del número de Reynolds bajo , podemos utilizar la relación de Stokes-Einstein . En este caso, y la ecuación se lee: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle D=k_{\text{B}}T/\zeta }$

${\displaystyle {\dot {X}}(t)=-{\frac {D}{k_{\text{B}}T}}\nabla U(X)+{\sqrt {2D}}R(t).}$

Por ejemplo, cuando la magnitud del tensor de fricción aumenta, el efecto amortiguador de la fuerza viscosa se vuelve dominante en relación con la fuerza inercial. En consecuencia, el sistema pasa del régimen inercial al difusivo (browniano). Por esta razón, la dinámica browniana también se conoce como dinámica de Langevin sobreamortiguada o dinámica de Langevin sin inercia. ${\displaystyle \zeta }$

Inclusión de interacción hidrodinámica

En 1978, Ermak y McCammon propusieron un algoritmo para calcular de manera eficiente la dinámica browniana con interacciones hidrodinámicas. ^[2] Las interacciones hidrodinámicas ocurren cuando las partículas interactúan indirectamente generando y reaccionando a las velocidades locales en el solvente. Para un sistema de partículas tridimensionales que se difunden sujetas a un vector de fuerza F(X), el esquema de dinámica browniana derivado se convierte en: ^[1] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle X_{i}(t+\Delta t)=X_{i}(t)+\sum _{j}^{N}{\frac {\Delta tD_{ij}}{k_{\text{B}}T}}F[X_{j}(t)]+R_{i}(t)}$

donde es una matriz de difusión que especifica interacciones hidrodinámicas, por ejemplo, el tensor de Oseen ^[4] , en entradas no diagonales que interactúan entre la partícula objetivo y la partícula circundante , es la fuerza ejercida sobre la partícula y es un vector de ruido gaussiano con media cero y una desviación estándar de en cada entrada del vector. Los subíndices y indican el ID de las partículas y se refieren al número total de partículas. Esta ecuación funciona para el sistema diluido donde se ignora el efecto del campo cercano. ${\displaystyle D_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle R(t)}$ ${\displaystyle {\sqrt {2D\Delta t}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle N}$

Véase también

• Movimiento browniano
• Método de límite inmerso

Referencias

1. Schlick, Tamar (2002). Modelado y simulación molecular. Matemáticas aplicadas interdisciplinarias. Vol. 21. Springer. págs. 480–494. doi :10.1007/978-0-387-22464-0. ISBN 978-0-387-22464-0.
2. Ermak, Donald L; McCammon, JA (1978). "Dinámica browniana con interacciones hidrodinámicas". J. Chem. Phys. 69 (4): 1352–1360. Código Bibliográfico :1978JChPh..69.1352E. doi : 10.1063/1.436761 .
3. Loncharich, RJ; Brooks, BR; Pastor, RW (1992). "Dinámica de Langevin de péptidos: la dependencia friccional de las tasas de isomerización de N-acetilalanil-WMetilamida". Biopolímeros . 32 (5): 523–35. doi :10.1002/bip.360320508. PMID  1515543. S2CID  23457332.
4. Lisicki, Maciej (2013). "Cuatro enfoques para las funciones de Green hidrodinámicas: los tensores de Oseen". arXiv : 1312.6231 [physics.flu-dyn].