Medida de avance

"Impulsado" de un espacio mensurable a otro

En teoría de la medida , una medida de empuje hacia adelante (también conocida como empuje hacia adelante , empuje hacia adelante o medida de imagen ) se obtiene transfiriendo ("empujando hacia adelante") una medida de un espacio medible a otro usando una función medible .

Definición

Dados espacios mensurables y , un mapeo mensurable y una medida , el empuje hacia adelante de se define como la medida dada por ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$ ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle f\colon X_{1}\to X_{2}}$ ${\displaystyle \mu \colon \Sigma _{1}\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f_{*}(\mu )\colon \Sigma _{2}\to [0,+\infty ]}$

${\displaystyle f_{*}(\mu )(B)=\mu \left(f^{-1}(B)\right)}$para ${\displaystyle B\in \Sigma _{2}.}$

Esta definición se aplica mutatis mutandis a una medida firmada o compleja . La medida de avance también se denota como , , o . ${\displaystyle \mu \circ f^{-1}}$ ${\displaystyle f_{\sharp }\mu }$ ${\displaystyle f\sharp \mu }$ ${\displaystyle f\#\mu }$

Propiedad principal: fórmula de cambio de variables

Teorema: ^[1] Una función medible g en X ₂ es integrable con respecto a la medida de avance f _∗ ( μ ) si y solo si la composición es integrable con respecto a la medida μ . En ese caso, las integrales coinciden, es decir, ${\displaystyle g\circ f}$

${\displaystyle \int _{X_{2}}g\,d(f_{*}\mu )=\int _{X_{1}}g\circ f\,d\mu .}$

Tenga en cuenta que en la fórmula anterior . ${\displaystyle X_{1}=f^{-1}(X_{2})}$

Ejemplos y aplicaciones

• Una " medida de Lebesgue " natural en el círculo unitario S ¹ (aquí considerado como un subconjunto del plano complejo C ) puede definirse utilizando una construcción de empuje hacia adelante y una medida de Lebesgue λ en la línea real R. Sea λ también la restricción de la medida de Lebesgue al intervalo [0, 2 π ) y sea f  : [0, 2 π ) →  S ¹ la biyección natural definida por f ( t ) = exp( i  t ). La "medida de Lebesgue" natural en S ¹ es entonces la medida de avance f _∗ ( λ ). La medida f _∗ ( λ ) también podría llamarse " medida de longitud de arco " o "medida de ángulo", ya que la medida f _∗ ( λ ) de un arco en S ¹ es precisamente su longitud de arco (o, de manera equivalente, el ángulo que forma subtiende en el centro del círculo.)
• El ejemplo anterior se extiende muy bien para dar una "medida de Lebesgue" natural en el toro n -dimensional T ⁿ . El ejemplo anterior es un caso especial, ya que S ¹  =  T ¹ . Esta medida de Lebesgue en T ⁿ es, hasta la normalización, la medida de Haar para el grupo de Lie compacto y conectado T ⁿ .
• Las medidas gaussianas en espacios vectoriales de dimensión infinita se definen utilizando el avance y la medida gaussiana estándar en la línea real: una medida de Borel γ en un espacio de Banach separable X se llama gaussiana si el avance de γ por cualquier valor distinto de cero funcional lineal en el espacio dual continuo para X es una medida gaussiana en R .
• Considere una función medible f  : X → X y la composición de f consigo misma n veces:

${\displaystyle f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n\mathrm {\,times} }:X\to X.}$

Esta función iterada forma un sistema dinámico . A menudo es de interés en el estudio de tales sistemas encontrar una medida μ en X que el mapa f deje sin cambios, una medida llamada invariante , es decir, una para la cual f _∗ ( μ ) =  μ .

• También se pueden considerar medidas cuasi-invariantes para tal sistema dinámico: una medida on se llama cuasi-invariante under si el avance de by es simplemente equivalente a la medida original μ , no necesariamente igual a ella. Un par de medidas en el mismo espacio son equivalentes si y sólo si , por lo que son casi invariantes bajo si ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle \forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff \nu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \forall A\in \Sigma :\ \mu (A)=0\iff f_{*}\mu (A)=\mu {\big (}f^{-1}(A){\big )}=0}$

• Muchas distribuciones de probabilidad naturales, como la distribución chi , se pueden obtener mediante esta construcción.

• Las variables aleatorias inducen medidas de impulso. Mapean un espacio de probabilidad en un espacio de codominio y dotan a ese espacio de una medida de probabilidad definida por el avance. Además, debido a que las variables aleatorias son funciones (y por lo tanto funciones totales), la imagen inversa del codominio completo es el dominio completo, y la medida del dominio completo es 1, por lo que la medida del codominio completo es 1. Esto significa que las variables se pueden componer hasta el infinito y siempre permanecerán como variables aleatorias y dotarán a los espacios de codominio de medidas de probabilidad.

Una generalización

En general, cualquier función medible se puede impulsar, el avance se convierte entonces en un operador lineal , conocido como operador de transferencia u operador de Frobenius-Perron . En espacios finitos, este operador normalmente satisface los requisitos del teorema de Frobenius-Perron , y el valor propio máximo del operador corresponde a la medida invariante.

El complemento del avance es el retroceso ; como operador sobre espacios de funciones sobre espacios medibles, es el operador de composición u operador de Koopman .

Ver también

• Sistema dinámico que preserva las medidas.
• Normalizando el flujo
• Transporte óptimo

Notas

1. Secciones 3.6 a 3.7 en Bogachev 2007

Referencias

• Bogachev, Vladimir I. (2007), Teoría de la medida , Berlín: Springer Verlag , ISBN 9783540345138
• Teschl, Gerald (2015), Temas de análisis real y funcional