En matemáticas , el operador de transferencia codifica información sobre un mapa iterado y se utiliza frecuentemente para estudiar el comportamiento de sistemas dinámicos , mecánica estadística , caos cuántico y fractales . En todos los casos habituales, el valor propio más grande es 1 y el vector propio correspondiente es la medida invariante del sistema.
El operador de transferencia a veces se denomina operador Ruelle , en honor a David Ruelle , o operador Perron-Frobenius u operador Ruelle-Perron-Frobenius , en referencia a la aplicabilidad del teorema de Perron-Frobenius a la determinación de los valores propios del operador.
La función iterada a estudiar es un mapa para un conjunto arbitrario .
El operador de transferencia se define como un operador que actúa sobre el espacio de funciones como
donde es una función de valoración auxiliar. Cuando tiene un determinante jacobiano , generalmente se considera que es .
Se puede demostrar que la definición anterior del operador de transferencia es el límite de conjunto de puntos del avance teórico de la medida de g : en esencia, el operador de transferencia es el funtor de imagen directa en la categoría de espacios medibles . El adjunto izquierdo del operador Perron-Frobenius es el operador Koopman u operador de composición . La configuración general la proporciona el cálculo funcional de Borel .
Como regla general, el operador de transferencia generalmente puede interpretarse como un operador de turno (izquierda) que actúa en un espacio de turno . Los desplazamientos más comúnmente estudiados son los subdesplazamientos de tipo finito . El adjunto al operador de transferencia también puede interpretarse normalmente como un desplazamiento a la derecha. Los desplazamientos a la derecha particularmente bien estudiados incluyen el operador de Jacobi y la matriz de Hessenberg , los cuales generan sistemas de polinomios ortogonales mediante un desplazamiento a la derecha.
Mientras que la iteración de una función conduce naturalmente a un estudio de las órbitas de los puntos de X bajo iteración (el estudio de la dinámica de puntos ), el operador de transferencia define cómo evolucionan los mapas (suaves) bajo iteración. Así, los operadores de transferencia suelen aparecer en problemas de física , como el caos cuántico y la mecánica estadística , donde la atención se centra en la evolución temporal de funciones suaves. A su vez, esto tiene aplicaciones médicas para el diseño racional de fármacos , a través del campo de la dinámica molecular .
A menudo ocurre que el operador de transferencia es positivo, tiene valores propios discretos positivos de valor real , siendo el valor propio más grande igual a uno. Por esta razón, al operador de transferencia a veces se le llama operador de Frobenius-Perron.
Las funciones propias del operador de transferencia suelen ser fractales. Cuando el logaritmo del operador de transferencia corresponde a un hamiltoniano cuántico , los valores propios normalmente estarán muy estrechamente espaciados y, por lo tanto, incluso un conjunto de estados cuánticos muy estrecho y cuidadosamente seleccionado abarcará una gran cantidad de estados propios fractales muy diferentes con soporte distinto de cero. sobre todo el volumen. Esto puede usarse para explicar muchos resultados de la mecánica estadística clásica, incluida la irreversibilidad del tiempo y el aumento de la entropía .
El operador de transferencia del mapa de Bernoulli tiene solución exacta y es un ejemplo clásico de caos determinista ; los valores propios discretos corresponden a los polinomios de Bernoulli . Este operador también tiene un espectro continuo formado por la función zeta de Hurwitz .
El operador de transferencia del mapa de Gauss se llama operador Gauss-Kuzmin-Wirsing (GKW) . La teoría del GKW se remonta a una hipótesis de Gauss sobre las fracciones continuas y está estrechamente relacionada con la función zeta de Riemann .
