Método de matriz de transferencia

tecnica matematica

En mecánica estadística , el método de la matriz de transferencia es una técnica matemática que se utiliza para escribir la función de partición en una forma más simple. Fue introducido en 1941 por Hans Kramers y Gregory Wannier . ^{[1] [2] En muchos} modelos de celosía unidimensional , la función de partición se escribe primero como una suma de n veces sobre cada microestado posible , y también contiene una suma adicional de la contribución de cada componente a la energía del sistema dentro de cada microestado.

Descripción general

Los modelos de dimensiones superiores contienen aún más sumas. Para sistemas con más de unas pocas partículas, tales expresiones pueden volverse rápidamente demasiado complejas para resolverlas directamente, incluso por computadora.

En cambio, la función de partición se puede reescribir de forma equivalente. La idea básica es escribir la función de partición en la forma

${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\mathbf {v} _{0}\cdot \left\{\prod _{k=1}^{N}\mathbf {W} _{k}\right\}\cdot \mathbf {v} _{N+1}}$

donde v ₀ y v _{N +1} son vectores de dimensión p y las matrices p  ×  p W _k son las llamadas matrices de transferencia . En algunos casos, particularmente para sistemas con condiciones de frontera periódicas, la función de partición se puede escribir de manera más simple como

${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\operatorname {tr} \left\{\prod _{k=1}^{N}\mathbf {W} _{k}\right\}}$

donde "tr" denota la traza de la matriz . En cualquier caso, la función de partición se puede resolver exactamente mediante análisis propio . Si todas las matrices son la misma matriz W , la función de partición se puede aproximar como la enésima ^potencia del valor propio más grande de W , ya que la traza es la suma de los valores propios y los valores propios del producto de dos matrices diagonales son iguales al producto. de sus valores propios individuales.

El método de matriz de transferencia se utiliza cuando el sistema total se puede dividir en una secuencia de subsistemas que interactúan sólo con subsistemas adyacentes. Por ejemplo, una red cúbica tridimensional de espines en un modelo de Ising se puede descomponer en una secuencia de redes planas bidimensionales de espines que interactúan sólo de forma adyacente. La dimensión p de la matriz de transferencia p  ×  p es igual al número de estados que puede tener el subsistema; la propia matriz de transferencia W _k codifica el peso estadístico asociado con un estado particular del subsistema k  − 1 que está al lado de otro estado del subsistema  k .

Es importante destacar que los métodos de matrices de transferencia permiten abordar modelos reticulares probabilísticos desde una perspectiva algebraica, permitiendo, por ejemplo, el uso de resultados de la teoría de la representación.

Como ejemplo de observables que se pueden calcular con este método, la probabilidad de que ocurra un estado particular en la posición x viene dada por: ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \mathrm {Pr} _{m}(x)={\frac {\operatorname {tr} \left[\prod _{k=1}^{x}\mathbf {W} _{k}\mathbf {Pj} \prod _{k'=x+1}^{N}\mathbf {W} _{k'}\right]}{\operatorname {tr} \left[\prod _{k=1}^{N}\mathbf {W} _{k}\right]}}}$

¿Dónde está la matriz de proyección para el estado , que tiene elementos? ${\displaystyle Pj}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle Pj_{\mu \nu }=\delta _{\mu \nu }\delta _{\mu m}}$

Los métodos de matriz de transferencia han sido fundamentales para muchas soluciones exactas de problemas de mecánica estadística , incluidos los modelos de Zimm-Bragg y Lifson-Roig de la transición hélice-espira , los modelos de matriz de transferencia para la unión proteína-ADN, así como la famosa solución exacta. del modelo bidimensional de Ising de Lars Onsager .

Ver también

• Operador de transferencia

Referencias

1. Kramers, HA; Wannier, GH (1941). "Estadísticas del ferroimán bidimensional. Parte I". Revisión física . 60 (3): 252–262. Código Bib : 1941PhRv...60..252K. doi : 10.1103/PhysRev.60.252. ISSN  0031-899X.
2. Kramers, HA; Wannier, GH (1941). "Estadísticas del ferroimán bidimensional. Parte II". Revisión física . 60 (3): 263–276. Código bibliográfico : 1941PhRv...60..263K. doi : 10.1103/PhysRev.60.263. ISSN  0031-899X.

Notas

• Rodney J. Baxter (1982). Modelos exactamente resueltos en mecánica estadística . Prensa académica. ISBN 978-0-12-083182-1.
• Teif VB (2007). "Formalismo general de la matriz de transferencia para calcular la unión ADN-proteína-fármaco en la regulación genética". Ácidos nucleicos Res . 35 (11): e80. doi : 10.1093/nar/gkm268. PMC  1920246 . PMID  17526526.
• Efremov AK, Winardhi RS, Yan J (2016). "Cálculos de matriz de transferencia de micromecánica de polímeros de ADN bajo restricciones de tensión y par". Física. Rev. E. 94 (3): 032404. Código bibliográfico : 2016PhRvE..94c2404E. doi : 10.1103/PhysRevE.94.032404. PMID  27739846.
• Efremov AK, Yan J (2018). "Cálculos de matriz de transferencia de los efectos de las restricciones de tensión y torsión en las interacciones ADN-proteína". Ácidos nucleicos Res . 46 (13): 6504–6527. doi : 10.1093/nar/gky478. PMC  6061897 . PMID  29878241.