Medida gaussiana

Tipo de medida de Borel

En matemáticas , la medida gaussiana es una medida de Borel en el espacio euclidiano de dimensión finita , estrechamente relacionada con la distribución normal en estadística . También existe una generalización a espacios de dimensión infinita. Las medidas gaussianas reciben su nombre del matemático alemán Carl Friedrich Gauss . Una razón por la que las medidas gaussianas son tan omnipresentes en la teoría de la probabilidad es el teorema del límite central . En términos generales, establece que si una variable aleatoria se obtiene sumando un gran número de variables aleatorias independientes con varianza 1, entonces tiene varianza y su ley es aproximadamente gaussiana. ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$

Definiciones

Sea y sea la terminación del álgebra de Borel en . Sea la medida de Lebesgue -dimensional habitual . Entonces la medida gaussiana estándar se define por para cualquier conjunto medible . En términos de la derivada de Radon–Nikodym , ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle B_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \lambda ^{n}:B_{0}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gamma ^{n}:B_{0}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,1]}$ $${\displaystyle \gamma ^{n}(A)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\int _{A}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left\|x\right\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x)}$$ ${\displaystyle A\in B_{0}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \gamma ^{n}}{\mathrm {d} \lambda ^{n}}}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left\|x\right\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right).}$$

De manera más general, la medida gaussiana con media y varianza se da por ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ $${\displaystyle \gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}(A):={\frac {1}{{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}^{n}}}\int _{A}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left\|x-\mu \right\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(x).}$$

Las medidas gaussianas con media se conocen como medidas gaussianas centradas . ${\displaystyle \mu =0}$

La medida de Dirac es el límite débil de como , y se considera una medida gaussiana degenerada ; por el contrario, las medidas gaussianas con varianza finita y distinta de cero se denominan medidas gaussianas no degeneradas . ${\displaystyle \delta _{\mu }}$ ${\displaystyle \gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}}$ ${\displaystyle \sigma \to 0}$

Propiedades

La medida gaussiana estándar en ${\displaystyle \gamma ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• es una medida de Borel (de hecho, como se señaló anteriormente, se define al completar el álgebra sigma de Borel, que es una estructura más fina);
• es equivalente a la medida de Lebesgue: , donde representa la continuidad absoluta de las medidas; ${\displaystyle \lambda ^{n}\ll \gamma ^{n}\ll \lambda ^{n}}$ ${\displaystyle \ll }$
• se admite en todo el espacio euclidiano: ; ${\displaystyle \operatorname {supp} (\gamma ^{n})=\mathbb {R} ^{n}}$
• es una medida de probabilidad y, por lo tanto, es localmente finita ; ${\displaystyle (\gamma ^{n}(\mathbb {R} ^{n})=1)}$
• es estrictamente positivo : todo conjunto abierto no vacío tiene medida positiva;
• es regular internamente : para todos los conjuntos de Borel , por lo que la medida gaussiana es una medida de Radon ; ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \gamma ^{n}(A)=\sup\{\gamma ^{n}(K)\mid K\subseteq A,K{\text{ is compact}}\},}$$
• no es invariante a la traducción , pero satisface la relación donde la derivada en el lado izquierdo es la derivada de Radon-Nikodym , y es el avance de la medida gaussiana estándar por el mapa de traducción , ; $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}{\mathrm {d} \gamma ^{n}}}(x)=\exp \left(\langle h,x\rangle _{\mathbb {R} ^{n}}-{\frac {1}{2}}\|h\|_{\mathbb {R} ^{n}}^{2}\right),}$$ ${\displaystyle (T_{h})_{*}(\gamma ^{n})}$ ${\displaystyle T_{h}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{h}(x)=x+h}$
• es la medida de probabilidad asociada a una distribución de probabilidad normal : $${\displaystyle Z\sim \operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})\implies \mathbb {P} (Z\in A)=\gamma _{\mu ,\sigma ^{2}}^{n}(A).}$$

Espacios de dimensión infinita

Se puede demostrar que no existe un análogo de la medida de Lebesgue en un espacio vectorial de dimensión infinita . Aun así, es posible definir medidas gaussianas en espacios de dimensión infinita, siendo el principal ejemplo la construcción abstracta del espacio de Wiener . Se dice que una medida de Borel en un espacio de Banach separable es una medida gaussiana no degenerada (centrada) si, para cada funcional lineal excepto , la medida de empuje hacia delante es una medida gaussiana no degenerada (centrada) en en el sentido definido anteriormente. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L\in E^{*}}$ ${\displaystyle L=0}$ ${\displaystyle L_{*}(\gamma )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Por ejemplo, la medida clásica de Wiener en el espacio de trayectorias continuas es una medida gaussiana.

Véase también

• Medida de Besov  – Generalización de la medida gaussiana utilizando la norma de Besov
• Teorema de Cameron-Martin  : Teorema que define la traducción de medidas gaussianas (medidas de Wiener) en espacios de Hilbert.
• Operador de covarianza  – Operador en teoría de probabilidad
• Teorema de Feldman-Hájek  - Teoría en teoría de la probabilidad

Referencias

• Bogachev, Vladimir (1998). Medidas gaussianas . Sociedad Matemática Americana. ISBN 978-1470418694.
• Stroock, Daniel (2010). Teoría de la probabilidad: una perspectiva analítica . Cambridge University Press. ISBN 978-0521132503.