El cálculo estocástico es una rama de las matemáticas que opera sobre procesos estocásticos . Permite definir una teoría consistente de la integración para integrales de procesos estocásticos con respecto a procesos estocásticos. Este campo fue creado e iniciado por el matemático japonés Kiyosi Itô durante la Segunda Guerra Mundial .
El proceso estocástico más conocido al que se aplica el cálculo estocástico es el proceso de Wiener (nombrado en honor a Norbert Wiener ), que se utiliza para modelar el movimiento browniano descrito por Louis Bachelier en 1900 y por Albert Einstein en 1905 y otros procesos físicos de difusión en el espacio de partículas sujetas a fuerzas aleatorias. Desde la década de 1970, el proceso de Wiener se ha aplicado ampliamente en las matemáticas financieras y la economía para modelar la evolución en el tiempo de los precios de las acciones y las tasas de interés de los bonos.
Las principales variantes del cálculo estocástico son el cálculo de Itô y su pariente variacional, el cálculo de Malliavin . Por razones técnicas, la integral de Itô es la más útil para las clases generales de procesos, pero la integral de Stratonovich relacionada es frecuentemente útil en la formulación de problemas (particularmente en disciplinas de ingeniería). La integral de Stratonovich puede expresarse fácilmente en términos de la integral de Itô, y viceversa. El principal beneficio de la integral de Stratonovich es que obedece la regla de la cadena habitual y, por lo tanto, no requiere el lema de Itô . Esto permite que los problemas se expresen en una forma invariante del sistema de coordenadas, lo que es invaluable al desarrollar el cálculo estocástico en variedades distintas de R n . El teorema de convergencia dominada no se cumple para la integral de Stratonovich; en consecuencia, es muy difícil demostrar resultados sin reexpresar las integrales en forma de Itô.
La integral de Itô es fundamental para el estudio del cálculo estocástico. La integral se define para una semimartingala X y un proceso predecible y acotado localmente H . [ cita requerida ]
La integral de Stratonovich o integral de Fisk–Stratonovich de una semimartingala contra otra semimartingala Y se puede definir en términos de la integral de Itô como
donde [ X , Y ] t c denota la covariación cuadrática opcional de las partes continuas de X e Y , que es la covariación cuadrática opcional menos los saltos de los procesos y , es decir
La notación alternativa
También se utiliza para denotar la integral de Stratonovich.
Una aplicación importante del cálculo estocástico es la matemática financiera , en la que se supone que los precios de los activos siguen ecuaciones diferenciales estocásticas . Por ejemplo, el modelo Black-Scholes fija el precio de las opciones como si siguieran un movimiento browniano geométrico , lo que ilustra las oportunidades y los riesgos de aplicar el cálculo estocástico.
Además de las integrales clásicas de Itô y Fisk–Stratonovich, existen muchas nociones diferentes de integrales estocásticas, como la integral de Hitsuda–Skorokhod , la integral de Marcus, la integral de Ogawa y más.
![{\displaystyle \int _{0}^{t}X_{s-}\circ dY_{s}:=\int _{0}^{t}X_{s-}dY_{s}+{\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]_{t}^{c},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d114cfa898ce74dfe2012e84aa6f63bab93c7db)
![{\displaystyle \left[X,Y\right]_{t}^{c}:=[X,Y]_{t}-\sum \limits _{s\leq t}\Delta X_{s}\Delta Y_{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/970cea5a9194d4786fdd4991327b6bfc62928ebd)
