Problema de escape estrecho

Problema de perturbación singular relacionado con el confinamiento de partículas brownianas.

El problema del escape estrecho ^{[1] [2]} es un problema omnipresente en biología , biofísica y biología celular .

La formulación matemática es la siguiente: una partícula browniana ( ion , molécula o proteína ) está confinada a un dominio delimitado (un compartimento o una célula) por un límite reflectante, excepto por una pequeña ventana a través de la cual puede escapar. El problema de escape estrecho consiste en calcular el tiempo medio de escape. Este tiempo diverge a medida que la ventana se reduce, lo que convierte el cálculo en un problema de perturbación singular . ^{[3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]}

Cuando el escape es aún más estricto debido a severas restricciones geométricas en el lugar de escape, el problema del escape estrecho se convierte en el problema de la situación desesperada . ^{[10] [11]}

El problema del escape estrecho fue propuesto en el contexto de la biología y la biofísica por D. Holcman y Z. Schuss ^[12] y más tarde por A. Singer y condujo a la teoría del escape estrecho en matemáticas aplicadas y biología computacional . ^{[13] [14] [15]}

Formulación

El movimiento de una partícula se describe mediante el límite de Smoluchowski de la ecuación de Langevin : ^{[16] [17]}

$${\displaystyle dX_{t}={\sqrt {2D}}\,dB_{t}+{\frac {1}{\gamma }}F(x)\,dt,}$$

coeficiente de difusióncoeficiente de fricciónmovimiento browniano ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle B_{t}}$

Tiempo medio del primer paso y ecuación de Fokker-Planck.

Una pregunta común es estimar el tiempo medio de estancia de una partícula que se difunde en un dominio acotado antes de escapar a través de una pequeña ventana absorbente en su límite . El tiempo se estima asintóticamente en el límite. ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega _{a}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\textstyle \varepsilon ={\frac {|\partial \Omega _{a}|}{|\partial \Omega |}}\ll 1}$

La función de densidad de probabilidad (pdf) es la probabilidad de encontrar la partícula en la posición en el tiempo . ${\displaystyle p_{\varepsilon }(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

La pdf satisface la ecuación de Fokker-Planck :

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}p_{\varepsilon }(x,t)=D\Delta p_{\varepsilon }(x,t)-{\frac {1}{\gamma }}\nabla (p_{\varepsilon }(x,t)F(x))}$$

$${\displaystyle p_{\varepsilon }(x,0)=\rho _{0}(x)\,}$$

y condiciones de contorno ${\displaystyle t>0}$

$${\displaystyle p_{\varepsilon }(x,t)=0{\text{ for }}x\in \partial \Omega _{a}}$$

$${\displaystyle D{\frac {\partial }{\partial n}}p_{\varepsilon }(x,t)-{\frac {p_{\varepsilon }(x,t)}{\gamma }}F(x)\cdot n(x)=0{\text{ for }}x\in \partial \Omega -\partial \Omega _{a}}$$

La función

$${\displaystyle u_{\varepsilon }(y)=\int _{\Omega }\int _{0}^{\infty }p_{\varepsilon }(x,ty)\,dt\,dx}$$

${\displaystyle y}$

$${\displaystyle D\Delta u_{\varepsilon }(y)+{\frac {1}{\gamma }}F(y)\cdot \nabla u_{\varepsilon }(y)=-1}$$

$${\displaystyle u_{\varepsilon }(y)=0{\text{ for }}y\in \partial \Omega _{a}}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial u_{\varepsilon }(y)}{\partial n}}=0{\text{ for }}y\in \partial \Omega _{r}}$$

La solución depende de la dimensión del dominio. Para una partícula que se difunde en un disco bidimensional

$${\displaystyle u_{\varepsilon }(y)={\frac {A}{\pi D}}\ln {\frac {1}{\varepsilon }}+O(1),}$$

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle u_{\epsilon }(y)}$ ${\displaystyle y}$

El término de primer orden importa en la dimensión 2: para un disco circular de radio , el tiempo medio de escape de una partícula que comienza en el centro es ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle E(\tau |x(0)=0)={\frac {R^{2}}{D}}\left(\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)+\log 2+{\frac {1}{4}}+O(\varepsilon )\right).}$$

El tiempo de escape promediado con respecto a una distribución inicial uniforme de la partícula viene dado por

$${\displaystyle E(\tau )={\frac {R^{2}}{D}}\left(\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)+\log 2+{\frac {1}{8}}+O(\varepsilon )\right).}$$

La geometría de la pequeña abertura puede afectar el tiempo de escape: si la ventana absorbente está ubicada en una esquina del ángulo , entonces: ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle E\tau ={\frac {|\Omega |}{\alpha D}}\left[\log {\frac {1}{\varepsilon }}+O(1)\right].}$$

Más sorprendente aún, cerca de una cúspide en un dominio bidimensional, el tiempo de escape crece algebraicamente, en lugar de logarítmicamente: en el dominio delimitado entre dos círculos tangentes, el tiempo de escape es: ${\displaystyle E\tau }$

$${\displaystyle E\tau ={\frac {|\Omega |}{(d-1)D}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}+O(1)\right),}$$

d > 1 ${\displaystyle \beta ={\frac {R_{1}}{R_{2}}}<1,}$

$${\displaystyle E\tau ={\frac {(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})}{D}}\left[\log {\frac {1}{\varepsilon }}+\log 2+2\beta ^{2}\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {R_{2}^{2}}{1-\beta ^{2}}}\log {\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{4}}R_{2}^{2}+O(\varepsilon ,\beta ^{4})R_{2}^{2}.}$$

Esta ecuación contiene dos términos de la expansión asintótica de y es el ángulo del límite absorbente. El caso cercano a 1 sigue abierto y, para los dominios generales, la expansión asintótica del tiempo de escape sigue siendo un problema abierto. Lo mismo ocurre con el problema de calcular el tiempo de escape cerca de un punto cúspide en dominios tridimensionales. Para el movimiento browniano en un campo de fuerza ${\displaystyle E\tau }$ ${\displaystyle 2\epsilon }$ ${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle F(x)\neq 0}$$

poissoniana

Resultados analíticos

Un teorema que relaciona el problema de escape del movimiento browniano con un problema de ecuación diferencial parcial (determinista) es el siguiente.

Teorema  :  sea un dominio acotado con límite suave y un subconjunto cerrado de . Para cada uno , sea la primera vez que una partícula choca , suponiendo que la partícula parte de , está sujeta al movimiento browniano y se refleja . Entonces, el tiempo medio del primer paso, y su varianza, son soluciones de los siguientes problemas de valores en la frontera: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle \tau _{x}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle T(x):=\mathbb {E} [\tau _{x}]}$ ${\displaystyle v(x):=\mathbb {E} [(\tau _{x}-T(x))^{2}]}$

$${\displaystyle -\Delta T=2{\text{ in }}\Omega ,~T=0{\text{ on }}\Gamma ,~\partial _{n}T=0{\text{ on }}\partial \Omega \setminus \Gamma }$$

$${\displaystyle -\Delta v=2\vert \nabla T\vert ^{2}{\text{ in }}\Omega ,~v=0{\text{ on }}\Gamma ,~\partial _{n}v=0{\text{ on }}\partial \Omega \setminus \Gamma }$$

Aquí está la derivada en la dirección , la normal exterior a Además, el promedio de la varianza se puede calcular a partir de la fórmula ${\displaystyle \partial _{n}:=n\cdot \nabla }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \partial \Omega .}$

$${\displaystyle {\bar {v}}:={\frac {1}{\vert \Omega \vert }}\int _{\Omega }v(x)dx={\frac {1}{\vert \Omega \vert }}\int _{\Omega }T^{2}(x)dx=:T^{2}}$$

La primera parte del teorema es un resultado clásico, mientras que la varianza promedio fue demostrada en 2011 por Carey Caginalp y Xinfu Chen. ^{[18] [19] [20]}

El tiempo de escape ha sido objeto de varios estudios utilizando la puerta pequeña como un parámetro asintóticamente pequeño. El siguiente resultado en forma cerrada ^{[18] [19] [20]} da una solución exacta que confirma estas fórmulas asintóticas y las extiende a compuertas que no son necesariamente pequeñas.

Teorema (fórmula cerrada de Carey Caginalp y Xinfu Chen)  :  en 2-D, con puntos identificados por números complejos, sea

$${\displaystyle \Omega :=\left\{re^{i\theta }\vert 0\leq r<1,{\text{ }}-\varepsilon \leq \theta \leq 2\pi -\varepsilon \right\},~\Gamma :=\left\{e^{i\theta }\vert \vert \theta \vert \leq \varepsilon \right\}}$$

Entonces el tiempo medio del primer paso , para , viene dado por ${\displaystyle T(z)}$ ${\displaystyle z\in {\bar {\Omega }}}$

$${\displaystyle T(z)={\frac {1-\vert z\vert ^{2}}{2}}+2\log {\left|{\frac {1-z+{\sqrt {(1-ze^{-i\varepsilon })(1-ze^{i\varepsilon })}}}{2\sin {\frac {\varepsilon }{2}}}}\right|}}$$

Otro conjunto de resultados se refiere a la densidad de probabilidad del lugar de salida. ^[19]

Teorema (Densidad de probabilidad de Carey Caginalp y Xinfu Chen)  :  la densidad de probabilidad de la ubicación de una partícula en el momento de su salida viene dada por

$${\displaystyle {\bar {j}}(e^{i\theta }):=-{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial r}}T(e^{i\theta })={\begin{cases}0,&{\text{if }}\varepsilon <\theta <2\pi -\varepsilon \\{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\varepsilon }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}},&{\text{if }}\vert \theta \vert <\varepsilon \end{cases}}}$$

Es decir, para cualquier ( conjunto de Borel ) , la probabilidad de que una partícula, que comienza en el origen o está distribuida uniformemente en , exhibe movimiento browniano en , se refleja cuando golpea y escapa una vez que golpea , termine escapando de es ${\displaystyle \gamma \subset \partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega \setminus \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle P(\gamma )=\int _{\gamma }{\bar {j}}(y)dS_{y}}$$

${\displaystyle dS_{y}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle y\in \partial \Omega }$

Simulaciones de escape del movimiento browniano

En la simulación existe un error aleatorio debido al proceso de muestreo estadístico. Este error se puede limitar apelando al teorema del límite central y utilizando una gran cantidad de muestras. También hay un error de discretización debido a la aproximación de tamaño finito del tamaño del paso al aproximar el movimiento browniano. Luego se pueden obtener resultados empíricos a medida que varían el tamaño del paso y el tamaño de la puerta. Utilizando el resultado exacto citado anteriormente para el caso particular del círculo, es posible hacer una comparación cuidadosa de la solución exacta con la solución numérica. ^{[21] [22]} Esto ilumina la distinción entre pasos finitos y difusión continua. También se obtuvo una distribución de ubicaciones de salida mediante simulaciones para este problema.

Aplicaciones biológicas

Reacciones químicas estocásticas en microdominios.

La velocidad directa de las reacciones químicas es el recíproco del estrecho tiempo de escape, que generaliza la fórmula clásica de Smoluchowski para partículas brownianas ubicadas en un medio infinito. Se puede utilizar una descripción de Markov para estimar la unión y desvinculación de un pequeño número de sitios. ^[23]

Referencias

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enlaces externos

• Matemáticas Aplicadas y Biología Computacional en Ecole Normale Superieure, París
• Publicaciones y conferencias de Carey Caginalp http://www.pitt.edu/~careycag/
• Documento de Comptes Rendus http://www.pitt.edu/~careycag/paper1.pdf
• Documento ARMA http://www.pitt.edu/~careycag/paper2.pdf