En teoría de la probabilidad , la red browniana es una colección incontable de movimientos brownianos fusionados unidimensionales , que comienzan desde cada punto en el espacio y el tiempo. Surge como el límite de escalamiento espacio-temporal difusivo de una colección de paseos aleatorios fusionados , con un paseo comenzando desde cada punto de la red entera Z en cada momento.
Lo que ahora se conoce como la red browniana fue concebido por primera vez por Arratia en su doctorado. tesis [1] y un manuscrito posterior incompleto e inédito. [2] Arratia estudió el modelo de votantes , un sistema de partículas interactivas que modela la evolución de las opiniones políticas de una población. Los individuos de la población están representados por los vértices de un gráfico, y cada individuo tiene una de dos opiniones posibles, representadas como 0 o 1. Independientemente en la tasa 1, cada individuo cambia su opinión a la de un vecino elegido al azar. Se sabe que el modelo de votante es dual respecto a los paseos aleatorios fusionados (es decir, los paseos aleatorios se mueven de forma independiente cuando están separados y se mueven como un solo paseo una vez que se encuentran) en el sentido de que: la opinión de cada individuo en cualquier momento se puede rastrear hacia atrás en el tiempo hasta un antepasado en el tiempo 0, y las genealogías conjuntas de las opiniones de diferentes individuos en diferentes momentos son una colección de paseos aleatorios fusionados que evolucionan hacia atrás en el tiempo. En la dimensión espacial 1, los paseos aleatorios coalescentes que parten de un número finito de puntos espacio-temporales convergen a un número finito de movimientos brownianos coalescentes , si el espacio-tiempo se reescala de manera difusiva (es decir, cada punto espacio-temporal (x,t) se mapea a (εx,ε^2t), con ε↓0). Esto es una consecuencia del principio de invariancia de Donsker . La pregunta menos obvia es:
¿Cuál es el límite de escala difusivo de la colección conjunta de paseos aleatorios coalescentes unidimensionales que comienzan desde cada punto del espacio-tiempo?
Arratia se propuso construir este límite, que es lo que ahora llamamos red browniana. Formalmente hablando, es una colección de movimientos brownianos fusionados unidimensionales que comienzan desde cada punto del espacio-tiempo . El hecho de que la red browniana esté formada por un número incontable de movimientos brownianos es lo que hace que la construcción no sea trivial. Arratia dio una construcción pero no pudo demostrar la convergencia de paseos aleatorios fusionados hacia un objeto limitante y caracterizar dicho objeto limitante.
Tóth y Werner en su estudio del verdadero movimiento autorrepelente [3] obtuvieron muchas propiedades detalladas de este objeto limitante y su dual, pero no probaron la convergencia de los caminos coalescentes hacia este objeto limitante ni lo caracterizaron. La principal dificultad para demostrar la convergencia surge de la existencia de puntos aleatorios desde los cuales el objeto limitante puede tener múltiples caminos. Arratia, Tóth y Werner eran conscientes de la existencia de tales puntos y proporcionaron diferentes convenciones para evitar tal multiplicidad. Fontes, Isopi, Newman y Ravishankar [4] introdujeron una topología para el objeto limitante de modo que se realice como una variable aleatoria que toma valores en un espacio polaco , en este caso, el espacio de conjuntos compactos de caminos. Esta elección permite que el objeto limitante tenga múltiples rutas desde un punto espacio-temporal aleatorio. La introducción de esta topología les permitió demostrar la convergencia de los paseos aleatorios fusionados hacia un objeto limitante único y caracterizarlo. A este objeto limitante lo llamaron red browniana.
Sun y Swart [5] introdujeron una extensión de la red browniana, llamada red browniana , al permitir que los movimientos brownianos coalescentes se ramifiquen. Newman, Ravishankar y Schertzer ofrecieron una construcción alternativa de la red browniana. [6]
Para una encuesta reciente, consulte Schertzer, Sun y Swart. [7]
