Número de Bernoulli

Rational number sequence

En matemáticas , los números de Bernoulli B _n son una secuencia de números racionales que aparecen con frecuencia en el análisis . Los números de Bernoulli aparecen en (y pueden definirse mediante) las expansiones en serie de Taylor de las funciones tangente y tangente hiperbólica , en la fórmula de Faulhaber para la suma de las m -ésimas potencias de los primeros n números enteros positivos, en la fórmula de Euler-Maclaurin y en expresiones para ciertos valores de la función zeta de Riemann .

Los valores de los primeros 20 números de Bernoulli se dan en la tabla adjunta. En la literatura se utilizan dos convenciones, denotadas aquí por y ; difieren solo para n = 1 , donde y . Para cada impar n > 1 , B _n = 0 . Para cada par n > 0 , B _n es negativo si n es divisible por 4 y positivo en caso contrario. Los números de Bernoulli son valores especiales de los polinomios de Bernoulli , con y . ^[1] ${\displaystyle B_{n}^{-{}}}$ ${\displaystyle B_{n}^{+{}}}$ ${\displaystyle B_{1}^{-{}}=-1/2}$ ${\displaystyle B_{1}^{+{}}=+1/2}$ ${\displaystyle B_{n}(x)}$ ${\displaystyle B_{n}^{-{}}=B_{n}(0)}$ ${\displaystyle B_{n}^{+}=B_{n}(1)}$

Los números de Bernoulli fueron descubiertos casi al mismo tiempo por el matemático suizo Jacob Bernoulli , de quien reciben su nombre, e independientemente por el matemático japonés Seki Takakazu . El descubrimiento de Seki fue publicado póstumamente en 1712 ^{[2] [3] [4]} en su obra Katsuyō Sanpō ; el de Bernoulli, también póstumamente, en su Ars Conjectandi de 1713. La nota G de Ada Lovelace sobre la máquina analítica de 1842 describe un algoritmo para generar números de Bernoulli con la máquina de Babbage ; ^[5] se discute si Lovelace o Babbage desarrollaron el algoritmo . Como resultado, los números de Bernoulli tienen la distinción de ser el tema del primer programa informático complejo publicado .

Notación

El superíndice ± utilizado en este artículo distingue las dos convenciones de signos para los números de Bernoulli. Solo se ve afectado el término n = 1 :

• B⁻ⁿ
  _​ con B⁻
  ₁= − ⁠1/2⁠ ( OEIS : A027641 / OEIS : A027642 ) es la convención de signos prescrita por el NIST y la mayoría de los libros de texto modernos. ^[6]
• B⁺
  _ncon B⁺
  ₁= + ⁠1/2⁠ ( OEIS : A164555 / OEIS : A027642 ) fue utilizado en la literatura más antigua, ^[1] y (desde 2022) por Donald Knuth ^[7] siguiendo el "Manifiesto de Bernoulli" de Peter Luschny. ^[8]

En las fórmulas siguientes, se puede cambiar de una convención de signos a otra con la relación , o para un número entero n = 2 o mayor, simplemente ignorarlo. ${\displaystyle B_{n}^{+}=(-1)^{n}B_{n}^{-}}$

Como B _n = 0 para todos los números impares n > 1 y muchas fórmulas solo incluyen números de Bernoulli de índice par, algunos autores escriben " B _n " en lugar de B _{2 n}  . Este artículo no sigue esa notación.

Historia

Historia temprana

Los números de Bernoulli tienen sus raíces en la historia temprana del cálculo de sumas de potencias enteras, que han sido de interés para los matemáticos desde la antigüedad.

Una página de Katsuyō Sanpō (1712) de Seki Takakazu, que tabula coeficientes binomiales y números de Bernoulli

Se conocían métodos para calcular la suma de los primeros n números enteros positivos, la suma de los cuadrados y de los cubos de los primeros n números enteros positivos, pero no existían «fórmulas» reales, solo descripciones dadas completamente en palabras. Entre los grandes matemáticos de la antigüedad que consideraron este problema se encuentran Pitágoras (c. 572–497 a. C., Grecia), Arquímedes (287–212 a. C., Italia), Aryabhata (n. 476, India), Abu Bakr al-Karaji (m. 1019, Persia) y Abu Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytham (965–1039, Irak).

A finales del siglo XVI y principios del XVII, los matemáticos realizaron importantes avances. En Occidente, desempeñaron papeles importantes el inglés Thomas Harriot (1560-1621), el alemán Johann Faulhaber (1580-1635), Pierre de Fermat (1601-1665) y su colega francés Blaise Pascal (1623-1662).

Parece que Thomas Harriot fue el primero en derivar y escribir fórmulas para sumas de potencias utilizando notación simbólica, pero incluso él calculó solo hasta la suma de las cuartas potencias. Johann Faulhaber proporcionó fórmulas para sumas de potencias hasta la 17.ª potencia en su Academia Algebrae de 1631 , mucho más avanzada que cualquier otro antes que él, pero no proporcionó una fórmula general.

Blaise Pascal en 1654 demostró la identidad de Pascal relacionando las sumas de las p -ésimas potencias de los primeros n números enteros positivos para p = 0, 1, 2, ..., k .

El matemático suizo Jakob Bernoulli (1654-1705) fue el primero en darse cuenta de la existencia de una única secuencia de constantes B ₀ , B ₁ , B ₂ ,... que proporcionan una fórmula uniforme para todas las sumas de potencias. ^[9]

La alegría que experimentó Bernoulli cuando encontró el patrón necesario para calcular de forma rápida y sencilla los coeficientes de su fórmula para la suma de las potencias c para cualquier entero positivo c se puede ver en su comentario. Escribió:

"Con la ayuda de esta tabla, me llevó menos de medio cuarto de hora descubrir que las décimas potencias de los primeros 1000 números sumados darán como resultado 91.409.924.241.424.243.424.241.924.242.500".

El resultado de Bernoulli fue publicado póstumamente en Ars Conjectandi en 1713. Seki Takakazu descubrió independientemente los números de Bernoulli y su resultado fue publicado un año antes, también póstumamente, en 1712. ^[2] Sin embargo, Seki no presentó su método como una fórmula basada en una secuencia de constantes.

La fórmula de Bernoulli para las sumas de potencias es la formulación más útil y generalizable hasta la fecha. Los coeficientes de la fórmula de Bernoulli se denominan ahora números de Bernoulli, siguiendo una sugerencia de Abraham de Moivre .

La fórmula de Bernoulli se denomina a veces fórmula de Faulhaber en honor a Johann Faulhaber, que descubrió formas extraordinarias de calcular la suma de potencias, pero nunca formuló la fórmula de Bernoulli. Según Knuth ^[9], Carl Jacobi publicó por primera vez una prueba rigurosa de la fórmula de Faulhaber en 1834. ^[10] El estudio en profundidad de Knuth de la fórmula de Faulhaber concluye (la notación no estándar en el lado izquierdo se explica más adelante):

"Faulhaber nunca descubrió los números de Bernoulli; es decir, nunca se dio cuenta de que una única secuencia de constantes B ₀ , B ₁ , B ₂ , ... proporcionaría una ecuación uniforme

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m+1}{1}}B_{1}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-\cdots +(-1)^{m}{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

para todas las sumas de potencias. Nunca mencionó, por ejemplo, el hecho de que casi la mitad de los coeficientes resultaron ser cero después de haber convertido sus fórmulas para Σ n ^m de polinomios en N a polinomios en n . " ^[11]

En lo anterior Knuth quiso decir ; en lugar de eso, usar la fórmula evita la resta: ${\displaystyle B_{1}^{-}}$ ${\displaystyle B_{1}^{+}}$

${\textstyle \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+\cdots +{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right).}$

Reconstrucción de la "Summae Potestatum"

"Summae Potestatum" de Jakob Bernoulli, 1713 ^[a]

Los números de Bernoulli OEIS : A164555 (n)/ OEIS : A027642 (n) fueron introducidos por Jakob Bernoulli en el libro Ars Conjectandi publicado póstumamente en 1713 página 97. La fórmula principal se puede ver en la segunda mitad del facsímil correspondiente. Los coeficientes constantes denotados A , B , C y D por Bernoulli se asignan a la notación que ahora prevalece como A = B ₂ , B = B ₄ , C = B ₆ , D = B _8. La expresión c · c −1· c −2· c −3 significa c ·( c −1)·( c −2)·( c −3) – los puntos pequeños se utilizan como símbolos de agrupación. Usando la terminología actual, estas expresiones son potencias factoriales descendentes c ^k . La notación factorial k ! como abreviatura de 1 × 2 × ... × k no se introdujo hasta 100 años después. El símbolo integral del lado izquierdo se remonta a Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675, quien lo utilizó como una letra S larga para "summa" (suma). ^[b] La letra n del lado izquierdo no es un índice de suma , sino que da el límite superior del rango de suma que debe entenderse como 1, 2, ..., n . Juntando las cosas, para c positivo , es probable que hoy un matemático escriba la fórmula de Bernoulli como:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.}$

Esta fórmula sugiere establecer B ₁ = ⁠1/2⁠ al pasar de la denominada enumeración "arcaica" que utiliza solo los índices pares 2, 4, 6... a la forma moderna (más sobre las diferentes convenciones en el siguiente párrafo). Lo más sorprendente en este contexto es el hecho de que el factorial descendente c ^{k −1} tiene para k = 0 el valor ⁠1/c + 1⁠ . ^[12] Así, la fórmula de Bernoulli puede escribirse

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}}$

si B ₁ = 1/2 , recuperando el valor que Bernoulli le dio al coeficiente en esa posición.

La fórmula para la primera mitad de la cita de Bernoulli anterior contiene un error en el último término; debería ser en lugar de . ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {3}{20}}n^{2}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}n^{2}}$

Definiciones

En los últimos 300 años se han encontrado muchas caracterizaciones de los números de Bernoulli, y cada una de ellas podría utilizarse para presentar estos números. Aquí se mencionan sólo cuatro de las más útiles:

• una ecuación recursiva,
• una fórmula explícita,
• una función generadora,
• una expresión integral.

Para la prueba de la equivalencia de los cuatro enfoques. ^[13]

Definición recursiva

Los números de Bernoulli obedecen a las fórmulas de suma ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1\end{aligned}}}$

donde y δ denota el delta de Kronecker . Al resolver para se obtienen las fórmulas recursivas ${\displaystyle m=0,1,2...}$ ${\displaystyle B_{m}^{\mp {}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}}\\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.\end{aligned}}}$

Definición explícita

En 1893, Louis Saalschütz enumeró un total de 38 fórmulas explícitas para los números de Bernoulli, ^[14] generalmente dando alguna referencia en la literatura más antigua. Una de ellas es (para ): ${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}j^{m}\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{m}.\end{aligned}}}$

Función generadora

Las funciones generadoras exponenciales son

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {t}{e^{t}-1}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}-1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}\\{\frac {te^{t}}{e^{t}-1}}={\frac {t}{1-e^{-t}}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)&&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end{alignedat}}}$

donde la sustitución es . Las dos funciones generadoras solo difieren en t . ${\displaystyle t\to -t}$

La función generadora (ordinaria)

${\displaystyle z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}^{+}z^{m}}$

es una serie asintótica . Contiene la función trigamma ψ ₁ .

Expresión integral

A partir de las funciones generadoras anteriores, se puede obtener la siguiente fórmula integral para los números de Bernoulli pares:

${\displaystyle B_{2n}=4n(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n-1}}{e^{2\pi t}-1}}\mathrm {d} t}$

Números de Bernoulli y función zeta de Riemann

Los números de Bernoulli dados por la función zeta de Riemann.

Los números de Bernoulli se pueden expresar en términos de la función zeta de Riemann :

B⁺
_n= − n ζ (1 − n )           para n ≥ 1  .

Aquí el argumento de la función zeta es 0 o negativo. Como es cero para los números enteros pares negativos (los ceros triviales ), si n>1 es impar, es cero. ${\displaystyle \zeta (k)}$ ${\displaystyle \zeta (1-n)}$

Mediante la ecuación funcional zeta y la fórmula de reflexión gamma se puede obtener la siguiente relación: ^[15]

${\displaystyle B_{2n}={\frac {(-1)^{n+1}2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n)\quad }$para n ≥ 1  .

Ahora el argumento de la función zeta es positivo.

De ζ → 1 ( n → ∞ ) y de la fórmula de Stirling se deduce que

${\displaystyle |B_{2n}|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}\quad }$para n → ∞  .

Cálculo eficiente de números de Bernoulli

En algunas aplicaciones es útil poder calcular los números de Bernoulli B ₀ a B _{p − 3} módulo p , donde p es un primo; por ejemplo, para comprobar si la conjetura de Vandiver se cumple para p , o incluso simplemente para determinar si p es un primo irregular . No es factible llevar a cabo dicho cálculo utilizando las fórmulas recursivas anteriores, ya que se requerirían al menos (un múltiplo constante de) p ^{2 operaciones aritméticas. Afortunadamente, se han desarrollado métodos más rápidos [16]} que requieren solo O ( p (log p ) ² ) operaciones (véase la notación O grande ).

David Harvey ^[17] describe un algoritmo para calcular números de Bernoulli calculando B _n módulo p para muchos primos pequeños p , y luego reconstruyendo B _n mediante el teorema del resto chino . Harvey escribe que la complejidad temporal asintótica de este algoritmo es O ( n ² log( n ) ^{2 + ε} ) y afirma que esta implementación es significativamente más rápida que las implementaciones basadas en otros métodos. Usando esta implementación, Harvey calculó B _n para n = 10 ⁸ . La implementación de Harvey ha sido incluida en SageMath desde la versión 3.1. Antes de eso, Bernd Kellner ^[18] calculó B _n con precisión completa para n = 10 ⁶ en diciembre de 2002 y Oleksandr Pavlyk ^[19] para n = 10 ⁷ con Mathematica en abril de 2008.

* Dígitos debe entenderse como el exponente de 10 cuando B _n se escribe como un número real en notación científica normalizada .

Aplicaciones de los números de Bernoulli

Análisis asintótico

Se podría decir que la aplicación más importante de los números de Bernoulli en matemáticas es su uso en la fórmula de Euler-Maclaurin . Suponiendo que f es una función diferenciable con suficiente frecuencia, la fórmula de Euler-Maclaurin se puede escribir como ^[20]

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).}$

Esta formulación asume la convención B⁻
₁= − ⁠1/2⁠ . Utilizando la convención B⁺
₁= + ⁠1/2La fórmula se convierte en

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).}$

Aquí (es decir, la derivada de orden cero de es simplemente ). Además, denotemos una antiderivada de . Por el teorema fundamental del cálculo , ${\displaystyle f^{(0)}=f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{(-1)}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).}$

De esta manera, la última fórmula se puede simplificar aún más a la siguiente forma sucinta de la fórmula de Euler-Maclaurin

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).}$

Esta forma es, por ejemplo, la fuente de la importante expansión de Euler-Maclaurin de la función zeta.

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}}$

Aquí s ^k denota la potencia factorial ascendente . ^[21]

Los números de Bernoulli también se utilizan con frecuencia en otros tipos de desarrollos asintóticos . El siguiente ejemplo es el desarrollo asintótico clásico de tipo Poincaré de la función digamma ψ .

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}}$

Suma de potencias

Los números de Bernoulli ocupan un lugar destacado en la expresión en forma cerrada de la suma de las m ésimas potencias de los primeros n números enteros positivos. Para m , n ≥ 0 define

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.}$

Esta expresión siempre puede reescribirse como un polinomio en n de grado m + 1. Los coeficientes de estos polinomios están relacionados con los números de Bernoulli mediante la fórmula de Bernoulli :

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},}$

dónde (^{m + 1}
_k) denota elcoeficiente binomial.

Por ejemplo, tomando m como 1 se obtienen los números triangulares 0, 1, 3, 6, ... OEIS : A000217 .

${\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

Tomando m como 2 se obtienen los números piramidales cuadrados 0, 1, 5, 14, ... OEIS : A000330 .

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1})={\tfrac {1}{3}}\left(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n\right).}$

Algunos autores utilizan la convención alternativa para los números de Bernoulli y expresan la fórmula de Bernoulli de esta manera:

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}n^{m+1-k}.}$

La fórmula de Bernoulli a veces se denomina fórmula de Faulhaber en honor a Johann Faulhaber, quien también encontró formas notables de calcular sumas de potencias .

La fórmula de Faulhaber fue generalizada por V. Guo y J. Zeng a un análogo q . ^[22]

Serie de Taylor

Los números de Bernoulli aparecen en la expansión de la serie de Taylor de muchas funciones trigonométricas y funciones hiperbólicas .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}.\\\cot x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\\\tanh x&={\hphantom {1 \over x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&&|x|<{\frac {\pi }{2}}.\\\coth x&={1 \over x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&0<&|x|<\pi .\end{aligned}}}$$

Serie Laurent

Los números de Bernoulli aparecen en la siguiente serie de Laurent : ^[23]

Función digamma : ${\displaystyle \psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}}$

Uso en topología

La fórmula de Kervaire–Milnor para el orden del grupo cíclico de clases de difeomorfismo de esferas exóticas (4 n − 1) que limitan variedades paralelizables implica números de Bernoulli. Sea ES _n el número de tales esferas exóticas para n ≥ 2 , entonces

${\displaystyle {\textit {ES}}_{n}=(2^{2n-2}-2^{4n-3})\operatorname {Numerator} \left({\frac {B_{4n}}{4n}}\right).}$

El teorema de la firma de Hirzebruch para el género L de una variedad cerrada y orientada suavemente de dimensión 4 n también involucra números de Bernoulli.

Conexiones con números combinatorios

La conexión del número de Bernoulli con varios tipos de números combinatorios se basa en la teoría clásica de diferencias finitas y en la interpretación combinatoria de los números de Bernoulli como una instancia de un principio combinatorio fundamental, el principio de inclusión-exclusión .

Conexión con los números de Worpitzky

La definición que se sigue fue desarrollada por Julius Worpitzky en 1883. Además de la aritmética elemental, sólo se emplean la función factorial n ! y la función potencia k ^{m . Los números de Worpitzky sin signo se definen como}

${\displaystyle W_{n,k}=\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{\frac {k!}{v!(k-v)!}}.}$

También pueden expresarse mediante los números de Stirling del segundo tipo.

${\displaystyle W_{n,k}=k!\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}.}$

Luego se introduce un número de Bernoulli como una suma de inclusión-exclusión de números de Worpitzky ponderados por la secuencia armónica 1, 1/2⁠ ,  ⁠1/3⁠ , ...

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {W_{n,k}}{k+1}}\ =\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .}$

B0 ₌ 1

B1 = 1 ₋ ⁠1/2⁠

B2 = 1 ₋ ⁠3/2⁠ + ⁠2/3⁠

B3 = 1 ₋ ⁠7/2⁠ + ⁠12/3⁠ − ⁠6/4⁠

B4 = 1 ₋ ⁠15/2⁠ + ⁠50/3⁠ − ⁠60/4⁠ + ⁠24/5⁠

B5 = 1 − _⁠31/2⁠ + ⁠180/3⁠ − ⁠390/4⁠ + ⁠360/5⁠ − ⁠120/6⁠

B6 = 1 ₋ ⁠63/2⁠ + ⁠602/3⁠ − ⁠2100/4⁠ + ⁠3360/5⁠ − ⁠2520/6⁠ + ⁠720/7⁠

Esta representación tiene B⁺
₁= + ⁠1/2⁠ .

Considérese la secuencia s _n , n ≥ 0 . De los números de Worpitzky OEIS : A028246 , OEIS : A163626 aplicados a s ₀ , s ₀ , s ₁ , s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₃ , ... es idéntica a la transformada de Akiyama-Tanigawa aplicada a s _n (véase la Conexión con los números de Stirling de primera especie). Esto se puede ver en la tabla:

La primera fila representa s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₃ , s ₄ .

Por lo tanto, para los segundos números de Euler fraccionarios OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 ):

E0 ₌ 1

E ₁ = 1 − ⁠1/2⁠

E2 = 1 ₋ ⁠3/2⁠ + ⁠2/4⁠

E3 = 1 ₋ ⁠7/2⁠ + ⁠12/4⁠ − ⁠6/8⁠

E ₄ = 1 − ⁠15/2⁠ + ⁠50/4⁠ − ⁠60/8⁠ + ⁠24/16⁠

E ₅ = 1 − ⁠31/2⁠ + ⁠180/4⁠ − ⁠390/8⁠ + ⁠360/16⁠ − ⁠120/32⁠

E6 = 1 ₋ ⁠63/2⁠ + ⁠602/4⁠ − ⁠2100/8⁠ + ⁠3360/16⁠ − ⁠2520/32⁠ + ⁠720/64⁠

Una segunda fórmula que representa los números de Bernoulli mediante los números de Worpitzky es para n ≥ 1

${\displaystyle B_{n}={\frac {n}{2^{n+1}-2}}\sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k}\,W_{n-1,k}.}$

La segunda representación simplificada de Worpitzky de los segundos números de Bernoulli es:

OEIS : A164555 ( n +1 ) / OEIS : A027642 ( n +1 ) =n +1/2n ⁺ 2-2^​⁠ × OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n +1 )

que vincula los segundos números de Bernoulli con los segundos números fraccionarios de Euler. El comienzo es:

⁠1/2⁠ , ⁠1/6⁠ , 0, − ⁠1/30⁠ , 0, ⁠1/42⁠ , ... = ( ⁠1/2⁠ , ⁠1/3⁠ , ⁠3/14⁠ , ⁠2/15⁠ , ⁠5/62⁠ , ⁠1/21⁠ , ...) × (1, ⁠1/2⁠ , 0, − ⁠1/4⁠ , 0, ⁠1/2⁠ , ...)

Los numeradores de los primeros paréntesis son OEIS : A111701 (ver Conexión con los números de Stirling del primer tipo).

Conexión con los números de Stirling del segundo tipo

Si se definen los polinomios de Bernoulli B _k ( j ) como: ^[24]

${\displaystyle B_{k}(j)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {j}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}}$

donde B _k para k = 0, 1, 2,... son los números de Bernoulli.

También se tiene lo siguiente para los polinomios de Bernoulli, ^[24]

${\displaystyle B_{k}(j)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}}B_{n}j^{k-n}.}$

El coeficiente de j en (^jm _+
1) es​(−1) ^m/m +1⁠ .

Comparando el coeficiente de j en las dos expresiones de polinomios de Bernoulli, se tiene:

${\displaystyle B_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}S(k-1,m)}$

(resultando en B ₁ = + ⁠1/2) que es una fórmula explícita para los números de Bernoulli y se puede utilizar para demostrar el teorema de Von-Staudt Clausen . ^{[25] [26] [27]}

Conexión con los números de Stirling del primer tipo

Las dos fórmulas principales que relacionan los números de Stirling sin signo del primer tipo [^nuevo
_​] a los números de Bernoulli (con B ₁ = + ⁠1/2) son

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{k}={\frac {1}{m+1}},}$

y la inversión de esta suma (para n ≥ 0 , m ≥ 0 )

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.}$

Aquí los números A _{n , m} son los números racionales de Akiyama-Tanigawa, los primeros de los cuales se muestran en la siguiente tabla.

Los números de Akiyama-Tanigawa satisfacen una relación de recurrencia simple que puede aprovecharse para calcular iterativamente los números de Bernoulli. Esto conduce al algoritmo que se muestra en la sección 'descripción algorítmica' anterior. Consulte OEIS : A051714 / OEIS : A051715 .

Una autosecuencia es una secuencia que tiene su transformada binomial inversa igual a la secuencia con signo. Si la diagonal principal es ceros = OEIS : A000004 , la autosecuencia es de primera especie. Ejemplo: OEIS : A000045 , los números de Fibonacci. Si la diagonal principal es la primera diagonal superior multiplicada por 2, es de segunda especie. Ejemplo: OEIS : A164555 / OEIS : A027642 , los segundos números de Bernoulli (véase OEIS : A190339 ). La transformada de Akiyama–Tanigawa aplicada a 2 ^{− n} = 1/ OEIS : A000079 conduce a OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A06519 ( n + 1). Por lo tanto:

Consulte OEIS : A209308 y OEIS : A227577 . OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 ) son los segundos números de Euler (fraccionarios) y una autosecuencia de segundo tipo.

( ⁠OEIS : A164555 ( n +2 )/OEIS : A027642 ( n +2 )⁠ = ⁠1/6⁠ , 0, − ⁠1/30⁠ , 0, ⁠1/42⁠ , ... ) × ( ⁠2n ⁺ 3-2^​/n +2⁠ = 3, ⁠14/3⁠ , ⁠15/2⁠ , ⁠62/5⁠ , 21, ... ) = ⁠OEIS : A198631 ( n +1 )/OEIS : A006519 ( n +2 )⁠ = ⁠1/2⁠ , 0, − ⁠1/4⁠ , 0, ⁠1/2⁠ , ... .

También es valioso para OEIS : A027641 / OEIS : A027642 (ver Conexión con los números de Worpitzky).

Conexión con el triángulo de Pascal

Existen fórmulas que conectan el triángulo de Pascal con los números de Bernoulli ^[c]

${\displaystyle B_{n}^{+}={\frac {|A_{n}|}{(n+1)!}}~~~}$

donde es el determinante de una matriz de Hessenberg n por n parte del triángulo de Pascal cuyos elementos son: ${\displaystyle |A_{n}|}$ ${\displaystyle a_{i,k}={\begin{cases}0&{\text{if }}k>1+i\\{i+1 \choose k-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Ejemplo:

${\displaystyle B_{6}^{+}={\frac {\det {\begin{pmatrix}1&2&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0\\1&4&6&4&0&0\\1&5&10&10&5&0\\1&6&15&20&15&6\\1&7&21&35&35&21\end{pmatrix}}}{7!}}={\frac {120}{5040}}={\frac {1}{42}}}$

Conexión con los números eulerianos

Existen fórmulas que conectan los números eulerianos ⟨^nuevo
_​⟩ a los números de Bernoulli:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle &=2^{n+1}(2^{n+1}-1){\frac {B_{n+1}}{n+1}},\\\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {\binom {n}{m}}^{-1}&=(n+1)B_{n}.\end{aligned}}}$

Ambas fórmulas son válidas para n ≥ 0 si B ₁ se establece en ⁠1/2⁠ . Si B ₁ se establece en − ⁠1/2Son válidos sólo para n ≥ 1 y n ≥ 2 respectivamente.

Una representación de árbol binario

Los polinomios de Stirling σ _n ( x ) están relacionados con los números de Bernoulli por B _n = n ! σ _n (1) . SC Woon describió un algoritmo para calcular σ _n (1) como un árbol binario: ^[28]

El algoritmo recursivo de Woon (para n ≥ 1 ) comienza asignando al nodo raíz N = [1,2] . Dado un nodo N = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ] del árbol, el hijo izquierdo del nodo es L ( N ) = [− a ₁ , a ₂ + 1, a ₃ , ..., a _k ] y el hijo derecho R ( N ) = [ a ₁ , 2, a ₂ , ..., a _k ] . Un nodo N = [ a ₁ , a ₂ , ..., a _k ] se escribe como ±[ a ₂ , ..., a _k ] en la parte inicial del árbol representado arriba con ± denotando el signo de a ₁ .

Dado un nodo N el factorial de N se define como

${\displaystyle N!=a_{1}\prod _{k=2}^{\operatorname {length} (N)}a_{k}!.}$

Restringido a los nodos N de un nivel de árbol fijo n, la suma de ⁠1/¡NO !⁠ es σ _n (1) , por lo tanto

${\displaystyle B_{n}=\sum _{\stackrel {N{\text{ node of}}}{{\text{ tree-level }}n}}{\frac {n!}{N!}}.}$

Por ejemplo:

B1 ₌ 1!( ⁠1/2!⁠ )

B2 = 2!( − _⁠1/3!⁠ + ⁠1/¡2!¡2!⁠ )

B3 ₌ 3! (1/4!⁠ − ⁠1/2!3!⁠ − ⁠1/3!2!⁠ + ⁠1/¡2!¡2!¡2!⁠ )

Representación integral y continuación

La integral

${\displaystyle b(s)=2e^{si\pi /2}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}={\frac {s!}{2^{s-1}}}{\frac {\zeta (s)}{{}\pi ^{s}{}}}(-i)^{s}={\frac {2s!\zeta (s)}{(2\pi i)^{s}}}}$

tiene como valores especiales b (2 n ) = B _{2 n} para n > 0 .

Por ejemplo, b (3) = ⁠3/2⁠ ζ (3) π ⁻³ i y b (5) = − ⁠15/2⁠ ζ (5) π ⁻⁵ i . Aquí, ζ es la función zeta de Riemann e i es la unidad imaginaria . Leonhard Euler ( Opera Omnia , Ser. 1, Vol. 10, p. 351) consideró estos números y calculó

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {3}{2\pi ^{3}}}\left(1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \right)=0.0581522\ldots \\q&={\frac {15}{2\pi ^{5}}}\left(1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots \right)=0.0254132\ldots \end{aligned}}}$

Otra representación integral similar es

${\displaystyle b(s)=-{\frac {e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{\sinh \pi t}}{\frac {dt}{t}}={\frac {2e^{si\pi /2}}{2^{s}-1}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{\pi t}st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}.}$

La relación con los números de Euler yπ

Los números de Euler son una secuencia de números enteros íntimamente relacionados con los números de Bernoulli. La comparación de las expansiones asintóticas de los números de Bernoulli y de Euler muestra que los números de Euler E _{2 n} tienen una magnitud aproximada de ⁠2/π⁠ (4 ^{2 n} − 2 ^{2 n} ) veces mayor que los números de Bernoulli B _{2 n} . En consecuencia:

${\displaystyle \pi \sim 2(2^{2n}-4^{2n}){\frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.}$

Esta ecuación asintótica revela que π se encuentra en la raíz común de los números de Bernoulli y de Euler. De hecho, π podría calcularse a partir de estas aproximaciones racionales.

Los números de Bernoulli pueden expresarse mediante los números de Euler y viceversa. Puesto que, para n impar , B _n = E _n = 0 (con excepción de B ₁ ), basta considerar el caso en que n es par.

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{4^{n}-2^{n}}}E_{k}&n&=2,4,6,\ldots \\[6pt]E_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}{\frac {2^{k}-4^{k}}{k}}B_{k}&n&=2,4,6,\ldots \end{aligned}}}$

Estas fórmulas de conversión expresan una conexión entre los números de Bernoulli y los de Euler. Pero lo que es más importante, existe una raíz aritmética profunda común a ambos tipos de números, que puede expresarse mediante una secuencia de números más fundamental, también estrechamente vinculada a π . Estos números se definen para n ≥ 1 como ^{[29] [30]}

${\displaystyle S_{n}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kn}}{(2k+1)^{n}}}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\lim _{K\to \infty }\sum _{k=-K}^{K}(4k+1)^{-n}.}$

La magia de estos números reside en el hecho de que resultan ser números racionales. Esto fue demostrado por primera vez por Leonhard Euler en un artículo fundamental De summis serierum reciprocarum (Sobre las sumas de series de recíprocos) y ha fascinado a los matemáticos desde entonces. ^[31] Los primeros de estos números son

${\displaystyle S_{n}=1,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {5}{24}},{\frac {2}{15}},{\frac {61}{720}},{\frac {17}{315}},{\frac {277}{8064}},{\frac {62}{2835}},\ldots }$( OEIS : A099612 / OEIS : A099617 )

Éstos son los coeficientes en la expansión de sec x + tan x .

Los números de Bernoulli y los números de Euler pueden entenderse como vistas especiales de estos números, seleccionados de la secuencia S _n y escalados para su uso en aplicaciones especiales.

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n!}{2^{n}-4^{n}}}\,S_{n}\ ,&n&=2,3,\ldots \\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]n!\,S_{n+1}&n&=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

La expresión [ n par] tiene el valor 1 si n es par y 0 en caso contrario ( corchete de Iverson ).

Estas identidades muestran que el cociente de los números de Bernoulli y Euler al comienzo de esta sección es solo el caso especial de R _n = ⁠2Sn​_​/Sn _{+ 1}⁠ cuando n es par. Las R _n son aproximaciones racionales a π y dos términos sucesivos siempre encierran el valor verdadero de π . A partir de n = 1 la secuencia comienza ( OEIS : A132049 / OEIS : A132050 ):

${\displaystyle 2,4,3,{\frac {16}{5}},{\frac {25}{8}},{\frac {192}{61}},{\frac {427}{136}},{\frac {4352}{1385}},{\frac {12465}{3968}},{\frac {158720}{50521}},\ldots \quad \longrightarrow \pi .}$

Estos números racionales también aparecen en el último párrafo del artículo de Euler citado anteriormente.

Considere la transformada de Akiyama-Tanigawa para la secuencia OEIS : A046978 ( n + 2 ) / OEIS : A016116 ( n + 1 ):

A partir del segundo, los numeradores de la primera columna son los denominadores de la fórmula de Euler. La primera columna es − ⁠1/2⁠ × OEIS : A163982 .

Una visión algorítmica: el triángulo de Seidel

La sucesión S _n tiene otra propiedad inesperada pero importante: los denominadores de S _{n + 1} dividen el factorial n ! . En otras palabras: los números T _n  =  S _{n + 1} n ! , a veces llamados números en zigzag de Euler , son números enteros.

${\displaystyle T_{n}=1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\,353792,\ldots \quad n=0,1,2,3,\ldots }$( OEIS : A000111 ). Véase ( OEIS : A253671 ).

Su función generadora exponencial es la suma de las funciones secante ^{[ ancla rota ]} y tangente .

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)=\sec x+\tan x}$.

Por lo tanto, las representaciones anteriores de los números de Bernoulli y Euler se pueden reescribir en términos de esta secuencia como

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n}{2^{n}-4^{n}}}\,T_{n-1}\ &n&\geq 2\\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]T_{n}&n&\geq 0\end{aligned}}}$

Estas identidades facilitan el cálculo de los números de Bernoulli y de Euler: los números de Euler E _{2 n} se dan inmediatamente por T _{2 n} y los números de Bernoulli B _{2 n} son fracciones obtenidas de T _{2 n - 1} mediante un desplazamiento sencillo, evitando la aritmética racional.

Lo que queda por hacer es encontrar una forma conveniente de calcular los números T _n . Sin embargo, ya en 1877 Philipp Ludwig von Seidel publicó un ingenioso algoritmo que simplifica el cálculo de T _n . ^[32]

${\displaystyle {\begin{array}{crrrcc}{}&{}&{\color {red}1}&{}&{}&{}\\{}&{\rightarrow }&{\color {blue}1}&{\color {red}1}&{}\\{}&{\color {red}2}&{\color {blue}2}&{\color {blue}1}&{\leftarrow }\\{\rightarrow }&{\color {blue}2}&{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {red}5}\\{\color {red}16}&{\color {blue}16}&{\color {blue}14}&{\color {blue}10}&{\color {blue}5}&{\leftarrow }\end{array}}}$

Algoritmo de Seidel para T _n

1. Comience colocando 1 en la fila 0 y sea k el número de la fila que se está llenando actualmente.
2. Si k es impar, entonces coloque el número en el extremo izquierdo de la fila k − 1 en la primera posición de la fila k , y complete la fila de izquierda a derecha, con cada entrada siendo la suma del número a la izquierda y el número a la derecha.
3. Al final de la fila duplica el último número.
4. Si k es par, proceda de manera similar en la otra dirección.

El algoritmo de Seidel es, de hecho, mucho más general (véase la exposición de Dominique Dumont ^[33] ) y fue redescubierto varias veces posteriormente.

Similar al enfoque de Seidel, DE Knuth y TJ Buckholtz dieron una ecuación de recurrencia para los números T _{2 n} y recomendaron este método para calcular B _{2 n} y E _{2 n} "en computadoras electrónicas usando solo operaciones simples con números enteros". ^[34]

VI Arnold ^[35] redescubrió el algoritmo de Seidel y posteriormente Millar, Sloane y Young popularizaron el algoritmo de Seidel bajo el nombre de transformada de bustrofedón .

Forma triangular:

Sólo OEIS : A000657 , con un 1, y OEIS : A214267 , con dos 1, están en la OEIS.

Distribución con un 1 suplementario y un 0 en las siguientes filas:

Esta es OEIS : A239005 , una versión firmada de OEIS : A008280 . La diagonal principal es OEIS : A122045 . La diagonal principal es OEIS : A155585 . La columna central es OEIS : A099023 . Sumas de filas: 1, 1, −2, −5, 16, 61... Ver OEIS : A163747 . Ver la matriz que comienza con 1, 1, 0, −2, 0, 16, 0 a continuación.

El algoritmo Akiyama-Tanigawa aplicado a OEIS : A046978 ( n +1 )/ OEIS : A016116 ( n ) produce:

1. La primera columna es OEIS : A122045 . Su transformación binomial da como resultado:

La primera fila de esta matriz es OEIS : A155585 . Los valores absolutos de las antidiagonales crecientes son OEIS : A008280 . La suma de las antidiagonales es − OEIS : A163747 ( n + 1 ).

2. La segunda columna es 1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385... . Su transformada binomial da como resultado:

La primera fila de esta matriz es 1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584... . Los valores absolutos de la segunda bisección son el doble de los valores absolutos de la primera bisección.

Consideremos el algoritmo Akiyama-Tanigawa aplicado a OEIS : A046978 ( n ) / ( OEIS : A158780 ( n + 1 ) = abs( OEIS : A117575 ( n )) + 1 = 1, 2, 2 ,3/21 , ⁠3/4⁠ , ⁠3/4⁠ , ⁠7/81 , ⁠17/16⁠ , ⁠17/16⁠ , ⁠33/32⁠ ... .

La primera columna cuyos valores absolutos son OEIS : A000111 podría ser el numerador de una función trigonométrica.

OEIS : A163747 es una autosecuencia de primer tipo (la diagonal principal es OEIS : A000004 ). La matriz correspondiente es:

Las dos primeras diagonales superiores son −1 3 −24 402... = (−1) ^{n + 1}  ×  OEIS : A002832 . La suma de las antidiagonales es 0 −2 0 10... = 2 ×  OEIS : A122045 ( n  + 1).

− OEIS : A163982 es una autosecuencia de segundo tipo, como por ejemplo OEIS : A164555 / OEIS : A027642 . De ahí la matriz:

La diagonal principal, aquí 2 −2 8 −92... , es el doble de la primera superior, aquí OEIS : A099023 . La suma de las antidiagonales es 2 0 −4 0... = 2 ×  OEIS : A155585 ( n + 1). OEIS : A163747  −  OEIS : A163982 = 2 ×  OEIS : A122045 .

Una visión combinatoria: permutaciones alternas

Alrededor de 1880, tres años después de la publicación del algoritmo de Seidel, Désiré André demostró un resultado ahora clásico del análisis combinatorio. ^{[36] [37]} Al observar los primeros términos de la expansión de Taylor de las funciones trigonométricas tan x y sec x, André hizo un descubrimiento sorprendente.

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=x+{\frac {2x^{3}}{3!}}+{\frac {16x^{5}}{5!}}+{\frac {272x^{7}}{7!}}+{\frac {7936x^{9}}{9!}}+\cdots \\[6pt]\sec x&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {5x^{4}}{4!}}+{\frac {61x^{6}}{6!}}+{\frac {1385x^{8}}{8!}}+{\frac {50521x^{10}}{10!}}+\cdots \end{aligned}}}$

Los coeficientes son los números de Euler de índice par e impar respectivamente. En consecuencia, la expansión ordinaria de tan x + sec x tiene como coeficientes los números racionales S _n .

${\displaystyle \tan x+\sec x=1+x+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots }$

André luego logró mediante un argumento de recurrencia demostrar que las permutaciones alternas de tamaño impar se enumeran por los números de Euler de índice impar (también llamados números tangentes) y las permutaciones alternas de tamaño par por los números de Euler de índice par (también llamados números secantes).

Secuencias relacionadas

La media aritmética del primer y segundo número de Bernoulli son los números de Bernoulli asociados: B ₀ = 1 , B ₁ = 0 , B ₂ = ⁠1/6⁠ , B3 ₌ 0 , B4 = ₋ ⁠1/30⁠ , OEIS : A176327 / OEIS : A027642 . A través de la segunda fila de su transformada inversa de Akiyama–Tanigawa OEIS : A177427 , conducen a la serie de Balmer OEIS : A061037 / OEIS : A061038 .

El algoritmo de Akiyama-Tanigawa aplicado a OEIS : A060819 ( n + 4 ) / OEIS : A145979 ( n ) conduce a los números de Bernoulli OEIS : A027641 / OEIS : A027642 , OEIS : A164555 / OEIS : A027642 o OEIS : A176327 OEIS : A176289 sin B ₁ , denominados números de Bernoulli intrínsecos B _i ( n ) .

De ahí otro vínculo entre los números intrínsecos de Bernoulli y la serie de Balmer a través de OEIS : A145979 ( n ).

OEIS : A145979 ( n − 2 ) = 0, 2, 1, 6,... es una permutación de los números no negativos.

Los términos de la primera fila son f(n) = ⁠1/2⁠ + ⁠1/n +2⁠ . 2, f(n) es una autosecuencia de segundo tipo. 3/2, f(n) conduce por su transformada binomial inversa a 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5 ... = 1/2 + log 2.

Consideremos g(n) = 1/2 – 1 / (n+2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3. La transformación de Akiyama-Tanagiwa da:

0, g(n), es una autosecuencia de segundo tipo.

Euler OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 ) sin el segundo término ( ⁠1/2⁠ ) ​​son los números de Euler intrínsecos fraccionarios E _i ( n ) = 1, 0, − ⁠1/4⁠ , 0, ⁠1/2⁠ , 0, − ⁠17/8⁠ , 0, ... La transformada de Akiyama correspondiente es:

La primera línea es Eu ( n ) . Eu ( n ) precedido de un cero es una autosecuencia de primera especie. Está ligada a los números de Oresme. Los numeradores de la segunda línea son OEIS : A069834 precedido de 0. La tabla de diferencias es:

Propiedades aritméticas de los números de Bernoulli

Los números de Bernoulli se pueden expresar en términos de la función zeta de Riemann como B _n = − nζ (1 − n ) para números enteros n ≥ 0 siempre que para n = 0 la expresión − nζ (1 − n ) se entienda como el valor límite y la convención B ₁ = ⁠1/2⁠ se utiliza. Esto los relaciona íntimamente con los valores de la función zeta en números enteros negativos. Como tal, se podría esperar que tengan y tienen propiedades aritméticas profundas. Por ejemplo, la conjetura de Agoh-Giuga postula que p es un número primo si y solo si pB _{p − 1} es congruente con −1 módulo p . Las propiedades de divisibilidad de los números de Bernoulli están relacionadas con los grupos de clases ideales de campos ciclotómicos por un teorema de Kummer y su fortalecimiento en el teorema de Herbrand-Ribet , y con los números de clase de campos cuadráticos reales por Ankeny–Artin–Chowla .

Los teoremas de Kummer

Los números de Bernoulli están relacionados con el Último Teorema de Fermat (TLF) por el teorema de Kummer , ^[38] que dice:

Si el primo impar p no divide a ninguno de los numeradores de los números de Bernoulli B ₂ , B ₄ , ..., B _{p − 3} entonces x ^p + y ^p + z ^p = 0 no tiene soluciones en números enteros distintos de cero.

Los números primos con esta propiedad se denominan primos regulares . Otro resultado clásico de Kummer son las siguientes congruencias . ^[39]

Sea p un primo impar y b un número par tal que p  − 1 no divide a b . Entonces, para cualquier entero no negativo k

${\displaystyle {\frac {B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b}}\equiv {\frac {B_{b}}{b}}{\pmod {p}}.}$

Una generalización de estas congruencias se conoce con el nombre de continuidad p -ádica.

pag-continuidad ádica

Si b , m y n son números enteros positivos tales que m y n no son divisibles por p − 1 y m ≡ n (mod p ^{b − 1} ( p − 1)) , entonces

${\displaystyle (1-p^{m-1}){\frac {B_{m}}{m}}\equiv (1-p^{n-1}){\frac {B_{n}}{n}}{\pmod {p^{b}}}.}$

Dado que B _n = − nζ (1 − n ) , esto también se puede escribir

${\displaystyle \left(1-p^{-u}\right)\zeta (u)\equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta (v){\pmod {p^{b}}},}$

donde u = 1 − m y v = 1 − n , de modo que u y v no son positivas y no son congruentes con 1 módulo p − 1 . Esto nos dice que la función zeta de Riemann, con 1 − p ^{− s} sacado de la fórmula del producto de Euler, es continua en los números p -ádicos en enteros negativos impares congruentes módulo p − 1 con un a ≢ 1 mod ( p − 1) particular , y por lo tanto se puede extender a una función continua ζ _p ( s ) para todos los enteros p -ádicos la función zeta p -ádica . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$

Las congruencias de Ramanujan

Las siguientes relaciones, debidas a Ramanujan , proporcionan un método para calcular números de Bernoulli que es más eficiente que el dado por su definición recursiva original:

${\displaystyle {\binom {m+3}{m}}B_{m}={\begin{cases}{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 0{\pmod {6}};\\{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-2}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 2{\pmod {6}};\\-{\frac {m+3}{6}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-4}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 4{\pmod {6}}.\end{cases}}}$

Teorema de von Staudt-Clausen

El teorema de von Staudt-Clausen fue propuesto por Karl Georg Christian von Staudt ^[40] y Thomas Clausen ^[41] de forma independiente en 1840. El teorema establece que para cada n > 0 ,

${\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)\,\mid \,2n}{\frac {1}{p}}}$

es un entero. La suma se extiende a todos los primos p para los cuales p − 1 divide a 2 n .

Una consecuencia de esto es que el denominador de B _{2 n} está dado por el producto de todos los primos p para los cuales p − 1 divide a 2 n . En particular, estos denominadores no tienen cuadrados y son divisibles por 6.

¿Por qué desaparecen los números impares de Bernoulli?

La suma

${\displaystyle \varphi _{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}i^{k}-{\frac {n^{k}}{2}}}$

se puede evaluar para valores negativos del índice n . Al hacerlo, se mostrará que es una función impar para valores pares de k , lo que implica que la suma solo tiene términos de índice impar. Esto y la fórmula para la suma de Bernoulli implican que B _{2 k + 1 − m} es 0 para m par y 2 k + 1 − m > 1 ; y que el término para B ₁ se cancela por la resta. El teorema de von Staudt-Clausen combinado con la representación de Worpitzky también da una respuesta combinatoria a esta pregunta (válida para n > 1).

Del teorema de von Staudt-Clausen se sabe que para n impar > 1 el número 2 B _n es un entero. Esto parece trivial si se sabe de antemano que el entero en cuestión es cero. Sin embargo, al aplicar la representación de Worpitzky se obtiene

${\displaystyle 2B_{n}=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\frac {2}{m+1}}m!\left\{{n+1 \atop m+1}\right\}=0\quad (n>1{\text{ is odd}})}$

como suma de números enteros , lo cual no es trivial. Aquí surge un hecho combinatorio que explica la desaparición de los números de Bernoulli en índice impar. Sea S _{n , m} el número de aplicaciones sobreyectivas de {1, 2, ..., n } a {1, 2, ..., m }, entonces S _{n , m} = m ! {^nuevo
_​} . La última ecuación sólo puede cumplirse si

${\displaystyle \sum _{{\text{odd }}m=1}^{n-1}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}=\sum _{{\text{even }}m=2}^{n}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}\quad (n>2{\text{ is even}}).}$

Esta ecuación se puede demostrar por inducción. Los dos primeros ejemplos de esta ecuación son

n = 4: 2 + 8 = 7 + 3 ,

n = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40 .

Por lo tanto, los números de Bernoulli desaparecen en el índice impar porque algunas identidades combinatorias no obvias están incorporadas en los números de Bernoulli.

Una reformulación de la hipótesis de Riemann

La conexión entre los números de Bernoulli y la función zeta de Riemann es lo suficientemente fuerte como para proporcionar una formulación alternativa de la hipótesis de Riemann (RH) que utiliza únicamente los números de Bernoulli. De hecho, Marcel Riesz demostró que la RH es equivalente a la siguiente afirmación: ^[42]

Para cada ε > ⁠1/4⁠ existe una constante C _ε > 0 (dependiendo de ε ) tal que | R ( x ) | < C _ε x ^ε cuando x → ∞ .

Aquí R ( x ) es la función de Riesz

${\displaystyle R(x)=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\left({\frac {B_{2k}}{2k}}\right)}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\beta _{2k}}}.}$

n ^k denota la potencia factorial ascendente en la notación de DE Knuth . Los números β _n = ⁠Bn_​/norte⁠ ocurren con frecuencia en el estudio de la función zeta y son significativos porque β _n es un p -entero para primos p donde p − 1 no divide a n . Los β _n se denominan números de Bernoulli divididos .

Números de Bernoulli generalizados

Los números de Bernoulli generalizados son ciertos números algebraicos , definidos de manera similar a los números de Bernoulli, que están relacionados con valores especiales de las funciones L de Dirichlet de la misma manera que los números de Bernoulli están relacionados con valores especiales de la función zeta de Riemann.

Sea χ un carácter de Dirichlet módulo f . Los números de Bernoulli generalizados asociados a χ se definen mediante

${\displaystyle \sum _{a=1}^{f}\chi (a){\frac {te^{at}}{e^{ft}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k,\chi }{\frac {t^{k}}{k!}}.}$

Aparte del excepcional B _1,1 = ⁠1/2⁠ , tenemos, para cualquier carácter de Dirichlet χ , que B _{k , χ} = 0 si χ (−1) ≠ (−1) ^k .

Generalizando la relación entre los números de Bernoulli y los valores de la función zeta de Riemann en números enteros no positivos, se tiene para todos los números enteros k ≥ 1 :

${\displaystyle L(1-k,\chi )=-{\frac {B_{k,\chi }}{k}},}$

donde L ( s , χ ) es la función L de Dirichlet de χ . ^[43]

Número de Eisenstein-Kronecker

Los números de Eisenstein-Kronecker son un análogo de los números de Bernoulli generalizados para campos cuadráticos imaginarios . ^{[44] [45]} Están relacionados con los valores L críticos de los caracteres de Hecke . ^[45]

Apéndice

Identidades variadas

• El cálculo umbral proporciona una forma compacta de la fórmula de Bernoulli utilizando un símbolo abstracto B :

  ${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}((\mathbf {B} +n)^{m+1}-B_{m+1})}$

  donde el símbolo B ^k que aparece durante la expansión binomial del término entre paréntesis debe reemplazarse por el número de Bernoulli B _k (y B ₁ = + ⁠1/2⁠ ). De manera más sugerente y mnemotécnica, esto se puede escribir como una integral definida:

  ${\displaystyle S_{m}(n)=\int _{0}^{n}(\mathbf {B} +x)^{m}\,dx}$

  Muchas otras identidades de Bernoulli se pueden escribir de forma compacta con este símbolo, por ejemplo

  ${\displaystyle (1-2\mathbf {B} )^{m}=(2-2^{m})B_{m}}$

• Sea n no negativo y par

  ${\displaystyle \zeta (n)={\frac {(-1)^{{\frac {n}{2}}-1}B_{n}(2\pi )^{n}}{2(n!)}}}$

• El n -ésimo cumulante de la distribución de probabilidad uniforme en el intervalo [−1, 0] esBn_​/norte⁠ .
• Sea n ? = ⁠1/¡no !⁠ y n ≥ 1 . Entonces B _n es el siguientedeterminante ( n + 1) × ( n + 1) : ^[46]

  ${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=n!{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &0&1\\2?&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\n?&(n-1)?&\cdots &1&0\\(n+1)?&n?&\cdots &2?&0\end{vmatrix}}\\[8pt]&=n!{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &0&1\\{\frac {1}{2!}}&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{n!}}&{\frac {1}{(n-1)!}}&\cdots &1&0\\{\frac {1}{(n+1)!}}&{\frac {1}{n!}}&\cdots &{\frac {1}{2!}}&0\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

  Por lo tanto, el determinante es σ _n (1) , el polinomio de Stirling en x = 1 .
• Para los números de Bernoulli pares, B _{2 p} viene dado por el determinante ( p + 1) × ( p + 1) :: ^[46]

  ${\displaystyle B_{2p}=-{\frac {(2p)!}{2^{2p}-2}}{\begin{vmatrix}1&0&0&\cdots &0&1\\{\frac {1}{3!}}&1&0&\cdots &0&0\\{\frac {1}{5!}}&{\frac {1}{3!}}&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{(2p+1)!}}&{\frac {1}{(2p-1)!}}&{\frac {1}{(2p-3)!}}&\cdots &{\frac {1}{3!}}&0\end{vmatrix}}}$

• Sea n ≥ 1. Entonces ( Leonhard Euler ) ^[47]

  ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}B_{n-k}+B_{n-1}=-B_{n}}$

• Sea n ≥ 1. Entonces ^[48]

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n+1}{k}}(n+k+1)B_{n+k}=0}$

• Sea n ≥ 0. Entonces ( Leopold Kronecker 1883)

  ${\displaystyle B_{n}=-\sum _{k=1}^{n+1}{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {n+1}{k}}\sum _{j=1}^{k}j^{n}}$

• Sea n ≥ 1 y m ≥ 1. Entonces ^[49]

  ${\displaystyle (-1)^{m}\sum _{r=0}^{m}{\binom {m}{r}}B_{n+r}=(-1)^{n}\sum _{s=0}^{n}{\binom {n}{s}}B_{m+s}}$

• Sea n ≥ 4 y

  ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{-1}}$

  El número armónico . Entonces (H. Miki 1978)

  ${\displaystyle {\frac {n}{2}}\sum _{k=2}^{n-2}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}{\frac {B_{k}}{k}}-\sum _{k=2}^{n-2}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}B_{k}=H_{n}B_{n}}$

• Sea n ≥ 4 . Yuri Matiyasevich encontrado (1997)

  ${\displaystyle (n+2)\sum _{k=2}^{n-2}B_{k}B_{n-k}-2\sum _{l=2}^{n-2}{\binom {n+2}{l}}B_{l}B_{n-l}=n(n+1)B_{n}}$

• Faber – Pandharipande – Zagier – Gessel identidad : para n ≥ 1 ,

  ${\displaystyle {\frac {n}{2}}\left(B_{n-1}(x)+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {B_{k}(x)}{k}}{\frac {B_{n-k}(x)}{n-k}}\right)-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}B_{k}(x)=H_{n-1}B_{n}(x).}$

  Elegir x = 0 o x = 1 da como resultado la identidad del número de Bernoulli en una u otra convención.
• La siguiente fórmula es verdadera para n ≥ 0 si B ₁ = B ₁ (1) = ⁠1/2⁠ , pero sólo para n ≥ 1 si B ₁ = B ₁ (0) = − ⁠1/2⁠ .

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{k}}{n-k+2}}={\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$

• Sea n ≥ 0. Entonces

  ${\displaystyle -1+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {2^{n-k+1}}{n-k+1}}B_{k}(1)=2^{n}}$

  y

  ${\displaystyle -1+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {2^{n-k+1}}{n-k+1}}B_{k}(0)=\delta _{n,0}}$

• Una relación de reciprocidad de M. B. Gelfand: ^[50]

  ${\displaystyle (-1)^{m+1}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {B_{m+1+j}}{m+1+j}}+(-1)^{k+1}\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}{\frac {B_{k+1+j}}{k+1+j}}={\frac {k!m!}{(k+m+1)!}}}$

Véase también

• Polinomio de Bernoulli
• Polinomios de Bernoulli de segundo tipo
• Umbra de Bernoulli
• Número de campana
• Número de Euler
• Número de Genocchi
• Las congruencias de Kummer
• Número de Poli-Bernoulli
• Función zeta de Hurwitz
• Suma de Euler
• Polinomio de Stirling
• Sumas de potencias

Notas

1. Traducción del texto: "... Y si [uno] fuera a proceder paso a paso hacia poderes superiores, uno podría proporcionar, con poca dificultad, la siguiente lista:
   Sumas de poderes
   ${\displaystyle \textstyle \int n=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n}$
   

   ⋮

   ${\displaystyle \textstyle \int n^{10}=\sum _{k=1}^{n}k^{10}={\frac {1}{11}}n^{11}+{\frac {1}{2}}n^{10}+{\frac {5}{6}}n^{9}-1n^{7}+1n^{5}-{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {5}{66}}n}$
   En efecto, si se ha examinado diligentemente la ley de progresión aritmética, también se podrá continuar con la misma sin estos cálculos tortuosos: Pues si se toma como exponente de cualquier potencia o, la suma de todos resulta o y así sucesivamente, el exponente de su potencia disminuye continuamente en 2 hasta llegar a o . Las letras mayúsculas, etc., denotan en orden los coeficientes de los últimos términos para , etc., es decir . " [Nota: El texto de la ilustración contiene algunos errores tipográficos: ensperexit debería leer inspexerit , ambabimus debería leer ambagibus , quosque debería leer quousque , y en el texto original de Bernoulli Sumtâ debería leer Sumptâ o Sumptam .] ${\displaystyle \textstyle c}$ ${\displaystyle \textstyle n^{c}}$
   ${\displaystyle \textstyle \int n^{c}=\sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {1}{c+1}}n^{c+1}+{\frac {1}{2}}n^{c}+{\frac {c}{2}}An^{c-1}+{\frac {c(c-1)(c-2)}{2\cdot 3\cdot 4}}Bn^{c-3}+{\frac {c(c-1)(c-2)(c-3)(c-4)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}}Cn^{c-5}+{\frac {c(c-1)(c-2)(c-3)(c-4)(c-5)(c-6)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}}Dn^{c-7}+\cdots }$
   ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle A,B,C,D,}$ ${\displaystyle \textstyle \int n^{2},\int n^{4},\int n^{6},\int n^{8}}$
   ${\displaystyle \textstyle A={\frac {1}{6}},B=-{\frac {1}{30}},C={\frac {1}{42}},D=-{\frac {1}{30}}}$
   
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2. El Proyecto de Genealogía Matemática (sin fecha) muestra a Leibniz como asesor académico de Jakob Bernoulli. Véase también Miller (2017).
3. Esta fórmula fue descubierta (o quizás redescubierta) por Giorgio Pietrocola. Su demostración está disponible en italiano (Pietrocola 2008).

Referencias

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7. Donald Knuth (2022), Noticias recientes (2022): Matemáticas concretas y Bernoulli.

   Pero el año pasado estudié detenidamente el manifiesto de Bernoulli de Peter Luschny, donde ofrece más de una docena de buenas razones por las que el valor de $B_1$ debería ser en realidad más la mitad. Explica que algunos matemáticos de principios del siglo XX habían cambiado unilateralmente las convenciones, porque algunas de sus fórmulas resultaban un poco más bonitas cuando se utilizaba el valor negativo. Fue su elección bien intencionada pero en última instancia mala la que había llevado a lo que me habían enseñado en los años 50. […] A estas alturas, lamentablemente, se han escrito cientos de libros que utilizan la convención “menos la mitad”. Peor aún, todos los principales sistemas de software para matemáticas simbólicas tienen esa aberración del siglo XX profundamente arraigada. Sin embargo, Luschny me convenció de que todos nos hemos equivocado y de que ya es hora de volver a la definición correcta antes de que la situación empeore.

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External links

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