Teorema de von Staudt-Clausen

Determina la parte fraccionaria de los números de Bernoulli

En teoría de números , el teorema de von Staudt-Clausen es un resultado que determina la parte fraccionaria de los números de Bernoulli , encontrado independientemente por Karl von Staudt  (1840) y Thomas Clausen  (1840).

En concreto, si n es un entero positivo y sumamos 1/ p al número de Bernoulli B _{2 n} para cada primo p tal que p − 1 divide a 2 n , entonces obtenemos un entero; es decir,

${\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} .}$

Este hecho nos permite inmediatamente caracterizar los denominadores de los números de Bernoulli distintos de cero B _{2 n} como el producto de todos los primos p tales que p − 1 divide a 2 n ; en consecuencia, los denominadores no tienen cuadrados y son divisibles por 6.

Estos denominadores son

6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, ... (secuencia A002445 en la OEIS ).

La secuencia de números enteros es ${\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}}$

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, -6, 56, -528, 6193, -86579, 1425518, -27298230, ... (secuencia A000146 en la OEIS ).

Prueba

Una prueba del teorema de von Staudt-Clausen se desprende de una fórmula explícita para los números de Bernoulli que es:

${\displaystyle B_{2n}=\sum _{j=0}^{2n}{\frac {1}{j+1}}\sum _{m=0}^{j}{(-1)^{m}{j \choose m}m^{2n}}}$

y como corolario:

${\displaystyle B_{2n}=\sum _{j=0}^{2n}{\frac {j!}{j+1}}(-1)^{j}S(2n,j)}$

donde S ( n , j ) son los números de Stirling del segundo tipo .

Además se necesitan los siguientes lemas:

Sea p un número primo; entonces

1 . Si p – 1 divide a 2 n , entonces

${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}m^{2n}}\equiv {-1}{\pmod {p}}.}$

2 . Si p – 1 no divide a 2 n , entonces

${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}m^{2n}}\equiv 0{\pmod {p}}.}$

Prueba de (1) y (2) : Se tiene del pequeño teorema de Fermat ,

${\displaystyle m^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$

para m = 1, 2, ..., p – 1 .

Si p – 1 divide a 2 n , entonces se tiene

${\displaystyle m^{2n}\equiv 1{\pmod {p}}}$

para m = 1, 2, ..., p – 1. A partir de ahí, se tiene

${\displaystyle \sum _{m=1}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n}\equiv \sum _{m=1}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}{\pmod {p}},}$

de donde (1) se sigue inmediatamente.

Si p – 1 no divide a 2 n , entonces según el teorema de Fermat se tiene

${\displaystyle m^{2n}\equiv m^{2n-(p-1)}{\pmod {p}}.}$

Si se deja ℘ ​​= ⌊ 2 n / ( p – 1) ⌋ , entonces después de la iteración se tiene

${\displaystyle m^{2n}\equiv m^{2n-\wp (p-1)}{\pmod {p}}}$

para m = 1, 2, ..., p – 1 y 0 < 2 n – ℘( p – 1) < p – 1 .

A partir de entonces, uno tiene

${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n}\equiv \sum _{m=0}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n-\wp (p-1)}{\pmod {p}}.}$

El lema (2) ahora se deduce de lo anterior y del hecho de que S ( n , j ) = 0 para j > n .

(3) . Es fácil deducir que para a > 2 y b > 2 , ab divide ( ab – 1)! .

(4) Los números de Stirling del segundo tipo son números enteros .

Ahora estamos listos para demostrar el teorema.

Si j + 1 es compuesto y j > 3 , entonces de (3) , j + 1 divide a j ! .

Para j = 3 ,

${\displaystyle \sum _{m=0}^{3}(-1)^{m}{\binom {3}{m}}m^{2n}=3\cdot 2^{2n}-3^{2n}-3\equiv 0{\pmod {4}}.}$

Si j + 1 es primo, entonces usamos (1) y (2) , y si j + 1 es compuesto, entonces usamos (3) y (4) para deducir

${\displaystyle B_{2n}=I_{n}-\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}},}$

donde I _n es un número entero, como se desea. ^{[1] [2]}

Véase también

• La congruencia de Kummer

Referencias

1. H. Rademacher, Teoría analítica de números, Springer-Verlag, Nueva York, 1973.
2. TM Apostol, Introducción a la teoría analítica de números, Springer-Verlag, 1976.

• Clausen, Thomas (1840), "Teorema", Astronomische Nachrichten , 17 (22): 351–352, doi :10.1002/asna.18400172204
• Rado, R. (1934), "Una nueva demostración de un teorema de V. Staudt", J. London Math. Soc. , 9 (2): 85–88, doi :10.1112/jlms/s1-9.2.85
• von Staudt, cap. (1840), "Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 21 : 372–374, ISSN  0075-4102, ERAM  021.0672cj

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Teorema de von Staudt-Clausen". MundoMatemático .