Umbra de Bernoulli

En cálculo umbral , la umbra de Bernoulli es una umbra, un símbolo formal, definido por la relación , donde es el operador de reducción de índice, ^[1] también conocido como operador de evaluación ^[2] y son números de Bernoulli , llamados momentos de la umbra. ^[3] Una umbra similar, definida como , donde también se usa a menudo y a veces también se llama umbra de Bernoulli. Están relacionadas por igualdad . Junto con la umbra de Euler, la umbra de Bernoulli es una de las umbras más importantes. ${\displaystyle B_{-}}$ ${\displaystyle \operatorname {eval} B_{-}^{n}=B_{n}^{-}}$ ${\displaystyle \operatorname {eval} }$ ${\displaystyle B_{n}^{-}}$ ${\displaystyle \operatorname {eval} B_{+}^{n}=B_{n}^{+}}$ ${\displaystyle B_{1}^{+}=1/2}$ ${\displaystyle B_{+}=B_{-}+1}$

En el campo de Levi-Civita , las umbras de Bernoulli se pueden representar por elementos con series de potencias y , con operador de índice descendente correspondiente a tomar el coeficiente de de la serie de potencias. Los numeradores de los términos se dan en OEIS A118050 ^[4] y los denominadores están en OEIS A118051. ^[5] Dado que los coeficientes de son distintos de cero, ambos son números infinitamente grandes, siendo infinitamente cercanos (pero no iguales, un poco más pequeños) a y siendo infinitamente cercanos (un poco más pequeños) a . ${\displaystyle B_{-}=\varepsilon ^{-1}-{\frac {1}{2}}-{\frac {\varepsilon }{24}}+{\frac {3\varepsilon ^{3}}{640}}-{\frac {1525\varepsilon ^{5}}{580608}}+\dotsb }$ ${\displaystyle B_{+}=\varepsilon ^{-1}+{\frac {1}{2}}-{\frac {\varepsilon }{24}}+{\frac {3\varepsilon ^{3}}{640}}-{\frac {1525\varepsilon ^{5}}{580608}}+\dotsb }$ ${\displaystyle 1=\varepsilon ^{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{-1}}$ ${\displaystyle B_{-}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{-1}-1/2}$ ${\displaystyle B_{+}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{-1}+1/2}$

En los campos de Hardy (que son generalizaciones del campo de Levi-Civita) umbra corresponde al germen en el infinito de la función mientras que corresponde al germen en el infinito de , donde es la función digamma inversa . ${\displaystyle B_{+}}$ ${\displaystyle \psi ^{-1}(\ln x)}$ ${\displaystyle B_{-}}$ ${\displaystyle \psi ^{-1}(\ln x)-1}$ ${\displaystyle \psi ^{-1}(x)}$

Gráfica de la función , cuyo germen en el infinito positivo corresponde a . ${\displaystyle \psi ^{-1}(\ln(x))}$ ${\displaystyle B_{+}}$

Exponenciación

Dado que los polinomios de Bernoulli son una generalización de los números de Bernoulli, la exponenciación de la umbra de Bernoulli se puede expresar mediante polinomios de Bernoulli :

${\displaystyle \operatorname {eval} (B_{-}+a)^{n}=B_{n}(a),}$

donde es un número real o complejo. Esto se puede generalizar aún más utilizando la función zeta de Hurwitz : ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \operatorname {eval} (B_{-}+a)^{p}=-p\zeta (1-p,a).}$

De la ecuación funcional de Riemann para la función Zeta se deduce que

${\displaystyle \operatorname {eval} \,B_{+}^{-p}=\operatorname {eval} {\frac {B_{+}^{p+1}2^{p}\pi ^{p+1}}{\sin(\pi p/2)\Gamma (p)(p+1)}}}$

Regla de la derivada

Dado que y son los únicos dos miembros de las secuencias y que difieren, se sigue la siguiente regla para cualquier función analítica : ${\displaystyle B_{1}^{+}=1/2}$ ${\displaystyle B_{1}^{-}=-1/2}$ ${\displaystyle B_{n}^{+}}$ ${\displaystyle B_{n}^{-}}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {eval} (f(B_{+}+x)-f(B_{-}+x))=\operatorname {eval} \Delta f(B_{-}+x)}$

Funciones elementales de la umbra de Bernoulli

Como regla general, la siguiente fórmula es válida para cualquier función analítica : ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \operatorname {eval} f(B_{-}+x)={\frac {D}{e^{D}-1}}f(x).}$

Esto permite derivar expresiones para funciones elementales de la umbra de Bernoulli.

${\displaystyle \operatorname {eval} \cos(zB_{-})=\operatorname {eval} \cos(zB_{+})={\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {eval} \cosh(zB_{-})=\operatorname {eval} \cosh(zB_{+})={\frac {z}{2}}\coth \left({\frac {z}{2}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {eval} e^{zB_{-}}={\frac {z}{e^{z}-1}}}$

${\displaystyle \operatorname {eval} \ln(B_{-}+z)=\psi (z)}$

Particularmente,

${\displaystyle \operatorname {eval} \ln B_{+}=-\gamma }$ ^[6]

${\displaystyle \operatorname {eval} {\frac {1}{\pi }}\ln \left({\frac {B_{+}-{\frac {z}{\pi }}}{B_{-}+{\frac {z}{\pi }}}}\right)=\cot z}$

${\displaystyle \operatorname {eval} {\frac {1}{\pi }}\ln \left({\frac {B_{-}+1/2+{\frac {z}{\pi }}}{B_{-}+1/2-{\frac {z}{\pi }}}}\right)=\tan z}$

${\displaystyle \operatorname {eval} \cos(aB_{-}+x)={\frac {a}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\cos \left({\frac {a}{2}}-x\right)}$

${\displaystyle \operatorname {eval} \sin(aB_{-}+x)={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {a}{2}}\right)\sin x-{\frac {a}{2}}\cos x}$

Particularmente,

${\displaystyle \operatorname {eval} \sin B_{-}=-1/2}$,

${\displaystyle \operatorname {eval} \sin B_{+}=1/2}$,

Relaciones entre funciones exponenciales y logarítmicas

La umbra de Bernoulli permite establecer relaciones entre funciones exponenciales, trigonométricas e hiperbólicas por un lado y logaritmos, funciones trigonométricas inversas e hiperbólicas inversas por el otro lado en forma cerrada:

${\displaystyle \operatorname {eval} \left(\cosh \left(2xB_{\pm }\right)-1\right)=\operatorname {eval} {\frac {x}{\pi }}\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\pi B_{\pm }}}\right)=\operatorname {eval} {\frac {x}{\pi }}\operatorname {arcoth} \left({\frac {\pi B_{\pm }}{x}}\right)=x\coth(x)-1}$

${\displaystyle \operatorname {eval} {\frac {z}{2\pi }}\ln \left({\frac {B_{+}-{\frac {z}{2\pi }}}{B_{-}+{\frac {z}{2\pi }}}}\right)=\operatorname {eval} \cos(zB_{-})=\operatorname {eval} \cos(zB_{+})={\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\right)}$

Referencias

1. Taylor, Brian D. (1998). "Ecuaciones diferenciales mediante el cálculo umbral clásico". Ensayos matemáticos en honor a Gian-Carlo Rota . pp. 397–411. CiteSeerX  10.1.1.11.7516 . doi :10.1007/978-1-4612-4108-9_21. ISBN . 978-1-4612-8656-1.
2. Di Nardo, E. (14 de febrero de 2022). "Un nuevo enfoque para las correcciones de Sheppard". arXiv : 1004.4989 [math.ST].
3. "El cálculo umbral clásico: secuencias de Sheffer" (PDF) . Apuntes del Seminario Interdisciplinare di Matematica . 8 : 101–130. 2009.
4. Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A118050", La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros , OEIS Foundation
5. Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A118051", La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros , OEIS Foundation
6. Yu, Yiping (2010). "Operador de Bernoulli y función zeta de Riemann". arXiv : 1011.3352 [math.NT].