Hipótesis de Riemann

Conjecture on zeros of the zeta function

Esta gráfica de la función zeta ( ζ ) de Riemann (aquí con argumento z) muestra ceros triviales donde ζ ( z ) = 0, un polo donde ζ ( z ) = , la línea crítica de ceros no triviales con Re( z ) = 1/2 y pendientes de valores absolutos. ${\displaystyle \infty }$

En matemáticas, la hipótesis de Riemann es la conjetura de que la función zeta de Riemann tiene sus ceros solo en los números enteros pares negativos y en los números complejos con parte real .1/2⁠ . Muchos lo consideran el problema no resuelto más importante en matemáticas puras . ^[1] Es de gran interés en la teoría de números porque implica resultados sobre la distribución de números primos . Fue propuesto por Bernhard Riemann  (1859), de quien recibe el nombre.

La hipótesis de Riemann y algunas de sus generalizaciones, junto con la conjetura de Goldbach y la conjetura de los primos gemelos , constituyen el octavo problema de Hilbert en la lista de veintitrés problemas no resueltos de David Hilbert ; también es uno de los Problemas del Premio del Milenio del Instituto de Matemáticas Clay , que ofrece un millón de dólares estadounidenses por la solución de cualquiera de ellos. El nombre también se utiliza para algunos análogos estrechamente relacionados, como la hipótesis de Riemann para curvas sobre cuerpos finitos .

La función zeta de Riemann ζ ( s ) es una función cuyo argumento s puede ser cualquier número complejo distinto de 1, y cuyos valores también son complejos. Tiene ceros en los enteros pares negativos; es decir, ζ ( s ) = 0 cuando s es uno de −2, −4, −6, .... Estos se denominan sus ceros triviales . La función zeta también es cero para otros valores de s , que se denominan ceros no triviales . La hipótesis de Riemann se ocupa de las ubicaciones de estos ceros no triviales y establece que:

La parte real de cada cero no trivial de la función zeta de Riemann  es1/2⁠ .

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen una parte real de la mitad?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Por lo tanto, si la hipótesis es correcta, todos los ceros no triviales se encuentran en la línea crítica que consiste en los números complejos .1/2⁠ + i t , donde t es un número real e i es la unidad imaginaria .

Función zeta de Riemann

La función zeta de Riemann se define para complejos con parte real mayor que 1 por la serie infinita absolutamente convergente

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$

Leonhard Euler ya consideró esta serie en la década de 1730 para valores reales de s, en conjunción con su solución al problema de Basilea . También demostró que es igual al producto de Euler

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots }$

donde el producto infinito se extiende sobre todos los números primos p . ^[2]

La hipótesis de Riemann analiza los ceros fuera de la región de convergencia de esta serie y el producto de Euler. Para que la hipótesis tenga sentido, es necesario continuar analíticamente la función para obtener una forma que sea válida para todos los complejos s . Debido a que la función zeta es meromórfica , todas las opciones de cómo realizar esta continuación analítica conducirán al mismo resultado, por el teorema de identidad . Un primer paso en esta continuación observa que la serie para la función zeta y la función eta de Dirichlet satisfacen la relación

${\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots ,}$

dentro de la región de convergencia para ambas series. Sin embargo, la serie de funciones zeta de la derecha converge no solo cuando la parte real de s es mayor que uno, sino de manera más general siempre que s tenga parte real positiva. Por lo tanto, la función zeta se puede redefinir como , extendiéndola desde Re( s ) > 1 a un dominio más grande: Re( s ) > 0 , excepto para los puntos donde es cero. Estos son los puntos donde puede ser cualquier entero distinto de cero; la función zeta también se puede extender a estos valores tomando límites (ver Función eta de Dirichlet § Problema de Landau con ζ ( s ) = η ( s )/0 y soluciones ), dando un valor finito para todos los valores de s con parte real positiva excepto para el polo simple en s  = 1. ${\displaystyle \eta (s)/(1-2/2^{s})}$ ${\displaystyle 1-2/2^{s}}$ ${\displaystyle s=1+2\pi in/\log 2}$ ${\displaystyle n}$

En la franja 0 < Re( s ) < 1 esta extensión de la función zeta satisface la ecuación funcional

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$

Luego se puede definir ζ ( s ) para todos los números complejos restantes distintos de cero s ( Re( s ) ≤ 0 y s ≠ 0) aplicando esta ecuación fuera de la tira y dejando que ζ ( s ) sea igual al lado derecho de la ecuación siempre que s tenga una parte real no positiva (y s ≠ 0).

Si s es un entero par negativo, entonces ζ ( s ) = 0 porque el factor sin( π s /2) se anula; estos son los ceros triviales de la función zeta. (Si s es un entero par positivo, este argumento no se aplica porque los ceros de la función seno se cancelan con los polos de la función gamma , ya que acepta argumentos enteros negativos).

El valor ζ (0) = −1/2 no está determinado por la ecuación funcional, sino que es el valor límite de ζ ( s ) cuando s se acerca a cero. La ecuación funcional también implica que la función zeta no tiene ceros con parte real negativa aparte de los ceros triviales, por lo que todos los ceros no triviales se encuentran en la franja crítica donde s tiene parte real entre 0 y 1.

• 
  Función zeta de Riemann a lo largo de la línea crítica con Re( s ) = 1/2. Los valores reales se muestran en el eje horizontal y los valores imaginarios en el eje vertical. Re( ζ (1/2 + it )), Im( ζ (1/2 + it )) se representa gráficamente con t entre −30 y 30. ^[3]
• Animación que muestra en 3D la franja crítica de la función zeta de Riemann (azul, donde s tiene una parte real entre 0 y 1), la línea crítica (roja, para la parte real de s igual a 0,5) y los ceros (cruce entre rojo y naranja): [ x , y , z ] = [Re( ζ ( r + it )), Im( ζ ( r + it )), t ] con 0,1 ≤ r ≤ 0,9 y 1 ≤ t ≤ 51
• 
  La parte real (roja) y la parte imaginaria (azul) de la función zeta de Riemann ζ ( s ) a lo largo de la línea crítica en el plano complejo con parte real Re( s ) = 1/2. Los primeros ceros no triviales , donde ζ( s ) es igual a cero, ocurren donde ambas curvas tocan el eje x horizontal, para números complejos con partes imaginarias Im( s ) iguales a ±14,135, ±21,022 y ±25,011.

Origen

... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

... es muy probable que todas las raíces sean reales. Por supuesto que aquí se desearía una prueba rigurosa; Por el momento, después de algunos intentos vanos y fugaces, he dejado de lado provisionalmente la búsqueda de este tema, ya que parece prescindible para el objetivo inmediato de mi investigación.

—  Enunciado de la hipótesis de Riemann, de (Riemann 1859). (Estaba analizando una variante de la función zeta, modificada de manera que la línea real pudiera corresponderse con la línea crítica.)

A la muerte de Riemann se encontró entre sus papeles una nota que decía: «Estas propiedades de ζ ( s ) (la función en cuestión) se deducen de una expresión de la misma que, sin embargo, no logré simplificar lo suficiente para publicarla». Todavía no tenemos la menor idea de cuál podría ser la expresión. En cuanto a las propiedades que simplemente enunció, transcurrieron unos treinta años antes de que pudiera demostrarlas todas, menos una [la propia hipótesis de Riemann].

—  Jacques Hadamard , El espíritu del matemático, VIII. Casos paradójicos de intuición

La motivación original de Riemann para estudiar la función zeta y sus ceros fue su aparición en su fórmula explícita para el número de primos π ( x ) menores o iguales a un número dado x , que publicó en su artículo de 1859 " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada ". Su fórmula se dio en términos de la función relacionada

${\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi (x^{1/2})+{\tfrac {1}{3}}\pi (x^{1/3})+{\tfrac {1}{4}}\pi (x^{1/4})+{\tfrac {1}{5}}\pi (x^{1/5})+{\tfrac {1}{6}}\pi (x^{1/6})+\cdots }$

que cuenta los primos y potencias de primos hasta x , contando una potencia de primo p ⁿ como 1 ⁄ n . El número de primos se puede recuperar a partir de esta función utilizando la fórmula de inversión de Möbius ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi (x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{1/n})\\&=\Pi (x)-{\frac {1}{2}}\Pi (x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\Pi (x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\Pi (x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\Pi (x^{1/6})-\cdots ,\end{aligned}}}$

donde μ es la función de Möbius . La fórmula de Riemann es entonces

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\log t}}}$

donde la suma está sobre los ceros no triviales de la función zeta y donde Π ₀ es una versión ligeramente modificada de Π que reemplaza su valor en sus puntos de discontinuidad por el promedio de sus límites superior e inferior:

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\Pi (x-\varepsilon )+\Pi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

La suma en la fórmula de Riemann no es absolutamente convergente, pero puede evaluarse tomando los ceros ρ en orden del valor absoluto de su parte imaginaria. La función li que aparece en el primer término es la función integral logarítmica (sin desplazamiento) dada por el valor principal de Cauchy de la integral divergente.

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\log t}}.}$

Los términos li( x ^ρ ) que involucran los ceros de la función zeta necesitan cierto cuidado en su definición ya que li tiene puntos de ramificación en 0 y 1, y se definen (para x  > 1) por continuación analítica en la variable compleja ρ en la región Re( ρ ) > 0, es decir, deben considerarse como Ei ( ρ log x ) . Los otros términos también corresponden a ceros: el término dominante li( x ) proviene del polo en s  = 1, considerado como un cero de multiplicidad −1, y los términos pequeños restantes provienen de los ceros triviales. Para algunos gráficos de las sumas de los primeros términos de esta serie, véase Riesel & Göhl (1970) o Zagier (1977).

Esta fórmula dice que los ceros de la función zeta de Riemann controlan las oscilaciones de los primos alrededor de sus posiciones "esperadas". Riemann sabía que los ceros no triviales de la función zeta estaban distribuidos simétricamente alrededor de la línea s = 1/2 + it , y sabía que todos sus ceros no triviales deben estar en el rango 0 ≤ Re( s ) ≤ 1. Comprobó que algunos de los ceros estaban en la línea crítica con parte real 1/2 y sugirió que todos lo estaban; esta es la hipótesis de Riemann.

El resultado ha captado la imaginación de la mayoría de los matemáticos porque es tan inesperado que conecta dos áreas aparentemente no relacionadas en las matemáticas; a saber, la teoría de números , que es el estudio de lo discreto, y el análisis complejo , que se ocupa de los procesos continuos.

—  (Burton 2006, pág. 376)

Consecuencias

Los usos prácticos de la hipótesis de Riemann incluyen muchas proposiciones que se sabe que son verdaderas bajo la hipótesis de Riemann y algunas que pueden demostrarse como equivalentes a la hipótesis de Riemann.

Distribución de números primos

La fórmula explícita de Riemann para el número de primos menores que un número dado establece que, en términos de una suma sobre los ceros de la función zeta de Riemann, la magnitud de las oscilaciones de los primos alrededor de su posición esperada está controlada por las partes reales de los ceros de la función zeta. En particular, el término de error en el teorema de los números primos está estrechamente relacionado con la posición de los ceros. Por ejemplo, si β es el límite superior de las partes reales de los ceros, entonces ^[4] , donde es la función de conteo de primos , es la función integral logarítmica , es el logaritmo natural de x , y aquí se utiliza la notación O mayúscula . Ya se sabe que 1/2 ≤  β  ≤ 1. ^[5] ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)=O\left(x^{\beta }\log x\right)}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle \log(x)}$

Correcciones a una estimación de la función de conteo de primos utilizando ceros de la función zeta. La magnitud del término de corrección está determinada por la parte real del cero que se agrega en la corrección.

Von Koch (1901) demostró que la hipótesis de Riemann implica el límite "mejor posible" para el error del teorema de los números primos. Una versión precisa del resultado de von Koch, debida a Schoenfeld (1976), dice que la hipótesis de Riemann implica

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x),\qquad {\text{for all }}x\geq 2657,}$

Schoenfeld (1976) también demostró que la hipótesis de Riemann implica

${\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log ^{2}x,\qquad {\text{for all }}x\geq 73.2,}$

¿Dónde está la segunda función de Chebyshev ? ${\displaystyle \psi (x)}$

Dudek (2014) demostró que la hipótesis de Riemann implica que para todo existe un primo que satisface ${\displaystyle x\geq 2}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x}$.

La constante 4/ π puede reducirse a (1 +  ε ) siempre que se considere que x es suficientemente grande. Esta es una versión explícita de un teorema de Cramér .

Crecimiento de funciones aritméticas

La hipótesis de Riemann implica límites fuertes en el crecimiento de muchas otras funciones aritméticas , además de la función de conteo de números primos mencionada anteriormente.

Un ejemplo es la función de Möbius μ. La afirmación de que la ecuación

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

es válida para todo s con parte real mayor que 1/2, con la suma del lado derecho convergiendo, es equivalente a la hipótesis de Riemann. De esto también podemos concluir que si la función de Mertens está definida por

${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

Entonces la afirmación de que

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)}$

para cada ε positivo es equivalente a la hipótesis de Riemann ( JE Littlewood , 1912; ver por ejemplo: párrafo 14.25 en Titchmarsh (1986)). El determinante de la matriz de Redheffer de orden n es igual a M ( n ), por lo que la hipótesis de Riemann también puede enunciarse como una condición sobre el crecimiento de estos determinantes. El resultado de Littlewood ha sido mejorado varias veces desde entonces, por Edmund Landau , ^[6] Edward Charles Titchmarsh , ^[7] Helmut Maier y Hugh Montgomery , ^[8] y Kannan Soundararajan . ^[9] El resultado de Soundararajan es que, condicional a la hipótesis de Riemann,

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{1/2}\exp \left((\log x)^{1/2}(\log \log x)^{14}\right)\right).}$

La hipótesis de Riemann establece un límite bastante estricto para el crecimiento de M , ya que Odlyzko y te Riele (1985) refutaron la conjetura ligeramente más fuerte de Mertens.

${\displaystyle |M(x)|\leq {\sqrt {x}}.}$

Otro resultado estrechamente relacionado se debe a Björner (2011), de que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que la característica de Euler del complejo simplicial determinado por la red de números enteros bajo divisibilidad es para todos (véase álgebra de incidencia ). ${\displaystyle o(n^{1/2+\epsilon })}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

La hipótesis de Riemann es equivalente a muchas otras conjeturas sobre la tasa de crecimiento de otras funciones aritméticas aparte de μ( n ). Un ejemplo típico es el teorema de Robin , ^[10] que establece que si σ( n ) es la función sigma , dada por

${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d\mid n}d}$

entonces

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$

para todo n > 5040 si y sólo si la hipótesis de Riemann es verdadera, donde γ es la constante de Euler-Mascheroni .

Jeffrey Lagarias propuso un límite relacionado en 2002, al demostrar que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que:

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+\log(H_{n})e^{H_{n}}}$

para cada número natural n > 1, donde es el n- ésimo número armónico . ^[11] ${\displaystyle H_{n}}$

La hipótesis de Riemann también es verdadera si y sólo si la desigualdad

${\displaystyle {\frac {n}{\varphi (n)}}<e^{\gamma }\log \log n+{\frac {e^{\gamma }(4+\gamma -\log 4\pi )}{\sqrt {\log n}}}}$

es cierto para todos los n ≥ 120569# donde φ ( n ) es la función totient de Euler y 120569# es el producto de los primeros 120569 primos. ^[12]

Otro ejemplo fue encontrado por Jérôme Franel y ampliado por Landau (véase Franel y Landau (1924)). La hipótesis de Riemann es equivalente a varias afirmaciones que muestran que los términos de la sucesión de Farey son bastante regulares. Una de esas equivalencias es la siguiente: si F _n es la sucesión de Farey de orden n , comenzando con 1/ n y hasta 1/1, entonces la afirmación de que para todo ε > 0

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}|F_{n}(i)-{\tfrac {i}{m}}|=O\left(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)}$

es equivalente a la hipótesis de Riemann. Aquí

${\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}\varphi (i)}$

es el número de términos en la secuencia de Farey de orden n .

Para un ejemplo de la teoría de grupos , si g ( n ) es la función de Landau dada por el orden máximo de elementos del grupo simétrico S _n de grado n , entonces Massias, Nicolas y Robin (1988) demostraron que la hipótesis de Riemann es equivalente al límite

${\displaystyle \log g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}}$

para todos los n suficientemente grandes .

Hipótesis de Lindelöf y crecimiento de la función zeta

La hipótesis de Riemann también tiene varias consecuencias más débiles; una es la hipótesis de Lindelöf sobre la tasa de crecimiento de la función zeta en la línea crítica, que dice que, para cualquier ε > 0,

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon }),}$

como . ${\displaystyle t\to \infty }$

La hipótesis de Riemann también implica límites bastante precisos para la tasa de crecimiento de la función zeta en otras regiones de la franja crítica. Por ejemplo, implica que

${\displaystyle e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq 2e^{\gamma }}$

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1/|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq {\frac {12}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }}$

Por lo tanto, la tasa de crecimiento de ζ (1 +  it ) y su inversa se conocerían hasta un factor de 2. ^[13]

Conjetura de la gran brecha entre primos

El teorema de los números primos implica que, en promedio, la brecha entre el primo p y su sucesor es log  p . Sin embargo, algunas brechas entre primos pueden ser mucho más grandes que el promedio. Cramér demostró que, asumiendo la hipótesis de Riemann, cada brecha es O ( √ p  log  p ). Este es un caso en el que incluso el mejor límite que se puede demostrar utilizando la hipótesis de Riemann es mucho más débil de lo que parece cierto: la conjetura de Cramér implica que cada brecha es O ((log  p ) ² ), que, si bien es mayor que la brecha promedio, es mucho más pequeña que el límite implícito por la hipótesis de Riemann. La evidencia numérica apoya la conjetura de Cramér. ^[14]

Criterios analíticos equivalentes a la hipótesis de Riemann

Se han encontrado muchas afirmaciones equivalentes a la hipótesis de Riemann, aunque hasta ahora ninguna de ellas ha permitido avanzar mucho en su prueba (o refutación). Algunos ejemplos típicos son los siguientes (otros implican la función divisora ​​σ( n ).)

El criterio de Riesz fue dado por Riesz (1916), en el sentido de que el límite

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=O\left(x^{{\frac {1}{4}}+\epsilon }\right)}$

se cumple para todo ε > 0 si y solo si se cumple la hipótesis de Riemann. Véase también el criterio de Hardy-Littlewood .

Nyman (1950) demostró que la hipótesis de Riemann es verdadera si y sólo si el espacio de funciones de la forma

${\displaystyle f(x)=\sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\rho \left({\frac {\theta _{\nu }}{x}}\right)}$

donde ρ ( z ) es la parte fraccionaria de z , 0 ≤ θ _ν ≤ 1 , y

${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\theta _{\nu }=0,}$

es denso en el espacio de Hilbert L ² (0,1) de funciones integrables al cuadrado en el intervalo unitario. Beurling (1955) extendió esto al mostrar que la función zeta no tiene ceros con parte real mayor que 1/ p si y solo si este espacio de funciones es denso en L ^p (0,1). Este criterio de Nyman-Beurling fue reforzado por Baez-Duarte ^[15] para el caso donde . ${\displaystyle \theta _{\nu }\in \{1/k\}_{k\geq 1}}$

Salem (1953) demostró que la hipótesis de Riemann es verdadera si y sólo si la ecuación integral

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {z^{-\sigma -1}\varphi (z)}{{e^{x/z}}+1}}\,dz=0}$

no tiene soluciones acotadas no triviales para . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle 1/2<\sigma <1}$

El criterio de Weil es la afirmación de que la positividad de una determinada función es equivalente a la hipótesis de Riemann. Relacionado con esto está el criterio de Li , una afirmación de que la positividad de una determinada secuencia de números es equivalente a la hipótesis de Riemann.

Speiser (1934) demostró que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que , la derivada de , no tiene ceros en la franja ${\displaystyle \zeta '(s)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle 0<\Re (s)<{\frac {1}{2}}.}$

Que sólo tenga ceros simples en la línea crítica es equivalente a que su derivada no tenga ceros en la línea crítica. ${\displaystyle \zeta (s)}$

La secuencia de Farey proporciona dos equivalencias, debidas a Jerome Franel y Edmund Landau en 1924.

La constante de Bruijn-Newman, denotada por Λ y nombrada en honor a Nicolaas Govert de Bruijn y Charles M. Newman , se define como el único número real tal que la función

${\displaystyle H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)\,du}$,

que está parametrizada por un parámetro real λ , tiene una variable compleja z y se define utilizando una función de decrecimiento superexponencial

${\displaystyle \Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}}$.

tiene solo ceros reales si y solo si λ ≥ Λ. Dado que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que todos los ceros de H (0,  z ) son reales, la hipótesis de Riemann es equivalente a la conjetura de que . Brad Rodgers y Terence Tao descubrieron que la equivalencia es en realidad al demostrar que cero es el límite inferior de la constante. ^[16] Probar que cero también es el límite superior probaría, por lo tanto, la hipótesis de Riemann. A partir de abril de 2020, el límite superior es . ^[17] ${\displaystyle \Lambda \leq 0}$ ${\displaystyle \Lambda =0}$ ${\displaystyle \Lambda \leq 0.2}$

Consecuencias de la hipótesis generalizada de Riemann

Varias aplicaciones utilizan la hipótesis de Riemann generalizada para las series L de Dirichlet o las funciones zeta de cuerpos numéricos en lugar de solo la hipótesis de Riemann. Muchas propiedades básicas de la función zeta de Riemann se pueden generalizar fácilmente a todas las series L de Dirichlet, por lo que es plausible que un método que pruebe la hipótesis de Riemann para la función zeta de Riemann también funcione para la hipótesis de Riemann generalizada para las funciones L de Dirichlet. Varios resultados que primero se demostraron utilizando la hipótesis de Riemann generalizada recibieron posteriormente pruebas incondicionales sin utilizarla, aunque estas eran generalmente mucho más difíciles. Muchas de las consecuencias de la siguiente lista se tomaron de Conrad (2010).

• En 1913, Grönwall demostró que la hipótesis de Riemann generalizada implica que la lista de Gauss de campos cuadráticos imaginarios con número de clase 1 está completa, aunque Baker, Stark y Heegner posteriormente dieron pruebas incondicionales de esto sin utilizar la hipótesis de Riemann generalizada.
• En 1917, Hardy y Littlewood demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica una conjetura de Chebyshev que dice que los primos 3 módulo 4 son más comunes que los primos 1 módulo 4 en cierto sentido. (Para resultados relacionados, véase Teorema de los números primos § Carrera de los números primos ). $${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^{p}=+\infty ,}$$
• En 1923, Hardy y Littlewood demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica una forma débil de la conjetura de Goldbach para números impares: que todo número impar suficientemente grande es la suma de tres primos, aunque en 1937 Vinogradov dio una prueba incondicional. En 1997 Deshouillers , Effinger, te Riele y Zinoviev demostraron que la hipótesis generalizada de Riemann implica que todo número impar mayor que 5 es la suma de tres primos. En 2013 Harald Helfgott demostró la conjetura ternaria de Goldbach sin la dependencia de GRH, sujeta a algunos cálculos extensos completados con la ayuda de David J. Platt.
• En 1934, Chowla demostró que la hipótesis de Riemann generalizada implica que el primer primo en la progresión aritmética a módulo m es como máximo Km ² log( m ) ² para alguna constante fija K .
• En 1967, Hooley demostró que la hipótesis de Riemann generalizada implica la conjetura de Artin sobre las raíces primitivas .
• En 1973, Weinberger demostró que la hipótesis de Riemann generalizada implica que la lista de números idealistas de Euler está completa.
• Weinberger (1973) demostró que la hipótesis de Riemann generalizada para las funciones zeta de todos los cuerpos numéricos algebraicos implica que cualquier cuerpo numérico con número de clase 1 es euclidiano o un cuerpo numérico cuadrático imaginario de discriminante −19, −43, −67 o −163.
• En 1976, G. Miller demostró que la hipótesis generalizada de Riemann implica que se puede comprobar si un número es primo en tiempo polinómico mediante la prueba de Miller . En 2002, Manindra Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena demostraron este resultado de manera incondicional utilizando la prueba de primalidad AKS .
• Odlyzko (1990) analizó cómo se puede utilizar la hipótesis de Riemann generalizada para brindar estimaciones más precisas de discriminantes y números de clase de campos numéricos.
• Ono y Soundararajan (1997) demostraron que la hipótesis de Riemann generalizada implica que la forma cuadrática integral de Ramanujan x ² + y ² + 10 z ² representa todos los números enteros que representa localmente, con exactamente 18 excepciones.
• En 2021, Alexander (Alex) Dunn y Maksym Radziwill demostraron la conjetura de Patterson sobre las sumas de Gauss cúbicas , bajo el supuesto del GRH. ^{[18] [19]}

Excluido medio

Algunas consecuencias de la RH son también consecuencias de su negación, y por lo tanto son teoremas. En su discusión del teorema de Hecke, Deuring, Mordell, Heilbronn, Ireland y Rosen (1990, p. 359) dicen:

El método de prueba es realmente asombroso. Si la hipótesis generalizada de Riemann es verdadera, entonces el teorema es verdadero. Si la hipótesis generalizada de Riemann es falsa, entonces el teorema es verdadero. Por lo tanto, ¡el teorema es verdadero!

Se debe tener cuidado de entender qué se quiere decir cuando se afirma que la hipótesis de Riemann generalizada es falsa: se debe especificar exactamente qué clase de serie de Dirichlet tiene un contraejemplo.

Teorema de Littlewood

Se trata del signo del error en el teorema de los números primos . Se ha calculado que π ( x ) < li( x ) para todo x ≤ 10 ²⁵ (véase esta tabla ), y no se conoce ningún valor de x para el cual π ( x ) > li( x ).

En 1914, Littlewood demostró que hay valores arbitrariamente grandes de x para los cuales

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)+{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x,}$

y que también hay valores arbitrariamente grandes de x para los cuales

${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x)-{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x.}$

Por lo tanto, la diferencia π ( x ) − li( x ) cambia de signo infinitas veces. El número de Skewes es una estimación del valor de x correspondiente al primer cambio de signo.

La prueba de Littlewood se divide en dos casos: se supone que la RH es falsa (aproximadamente media página de Ingham 1932, Cap. V), y se supone que la RH es verdadera (aproximadamente una docena de páginas). Stanisław Knapowski (1962) continuó con esto con un artículo sobre el número de veces que cambia de signo en el intervalo . ${\displaystyle \Delta (n)}$ ${\displaystyle \Delta (n)}$

Conjetura del número de clase de Gauss

Esta es la conjetura (enunciada por primera vez en el artículo 303 de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss ) de que sólo hay un número finito de cuerpos cuadráticos imaginarios con un número de clase dado. Una forma de demostrarla sería mostrar que, como el discriminante D → −∞, el número de clase h ( D ) → ∞ .

La siguiente secuencia de teoremas que involucran la hipótesis de Riemann se describe en Ireland & Rosen 1990, págs. 358-361:

Teorema (Hecke; 1918)  —  Sea D < 0 el discriminante de un cuerpo numérico cuadrático imaginario K . Supongamos la hipótesis de Riemann generalizada para las funciones L de todos los caracteres de Dirichlet cuadráticos imaginarios. Entonces existe una constante absoluta C tal que $${\displaystyle h(D)>C{\frac {\sqrt {|D|}}{\log |D|}}.}$$

Teorema (Deuring; 1933)  :  Si la RH es falsa entonces h ( D ) > 1 si | D | es suficientemente grande.

Teorema (Mordell; 1934)  —  Si la RH es falsa entonces h ( D ) → ∞ cuando D → −∞ .

Teorema (Heilbronn; 1934)  :  Si la RH generalizada es falsa para la función L de algún carácter de Dirichlet cuadrático imaginario, entonces h ( D ) → ∞ cuando D → −∞ .

(En el trabajo de Hecke y Heilbronn, las únicas funciones L que ocurren son aquellas asociadas a caracteres cuadráticos imaginarios, y es solo para esas funciones L que se pretende que GRH sea verdadero o GRH sea falso ; una falla de GRH para la función L de un carácter cúbico de Dirichlet significaría, estrictamente hablando, que GRH es falso, pero ese no era el tipo de falla de GRH que Heilbronn tenía en mente, por lo que su suposición era más restringida que simplemente que GRH es falso ).

En 1935, Carl Siegel reforzó el resultado sin utilizar RH o GRH de ninguna manera. ^{[20] [21]}

Crecimiento del totiente de Euler

En 1983, JL Nicolas demostró que para una cantidad infinita de n , donde φ ( n ) es la función totiente de Euler y γ es la constante de Euler . Ribenboim señala que: "El método de prueba es interesante, ya que la desigualdad se muestra primero bajo el supuesto de que la hipótesis de Riemann es verdadera, y en segundo lugar bajo el supuesto contrario". ^[22] $${\displaystyle \varphi (n)<e^{-\gamma }{\frac {n}{\log \log n}}}$$

Generalizaciones y analogías

Serie L de Dirichlet y otros campos numéricos

La hipótesis de Riemann se puede generalizar reemplazando la función zeta de Riemann por las funciones L globales, formalmente similares, pero mucho más generales . En este contexto más amplio, se espera que los ceros no triviales de las funciones L globales tengan una parte real 1/2. Son estas conjeturas, en lugar de la hipótesis clásica de Riemann solo para la función zeta de Riemann, las que explican la verdadera importancia de la hipótesis de Riemann en matemáticas.

La hipótesis de Riemann generalizada extiende la hipótesis de Riemann a todas las funciones L de Dirichlet . En particular, implica la conjetura de que los ceros de Siegel (ceros de funciones L entre 1/2 y 1) no existen.

La hipótesis de Riemann extendida extiende la hipótesis de Riemann a todas las funciones zeta de Dedekind de cuerpos numéricos algebraicos . La hipótesis de Riemann extendida para la extensión abeliana de los racionales es equivalente a la hipótesis de Riemann generalizada. La hipótesis de Riemann también se puede extender a las funciones L de los caracteres de Hecke de cuerpos numéricos.

La gran hipótesis de Riemann la extiende a todas las funciones zeta automórficas , como las transformadas de Mellin de las formas propias de Hecke .

Campos de funciones y funciones zeta de variedades sobre campos finitos

Artin (1924) introdujo funciones zeta globales de cuerpos de funciones (cuadráticas) y conjeturó un análogo de la hipótesis de Riemann para ellas, que fue probada por Hasse en el caso del género 1 y por Weil (1948) en general. Por ejemplo, el hecho de que la suma de Gauss , del carácter cuadrático de un cuerpo finito de tamaño q (con q impar), tenga valor absoluto es en realidad un ejemplo de la hipótesis de Riemann en el contexto de cuerpos de funciones. Esto llevó a Weil (1949) a conjeturar una afirmación similar para todas las variedades algebraicas ; las conjeturas de Weil resultantes fueron probadas por Pierre Deligne  (1974, 1980). ${\displaystyle {\sqrt {q}}}$

Funciones zeta aritméticas de esquemas aritméticos y sus factores L

Las funciones zeta aritméticas generalizan las funciones zeta de Riemann y Dedekind, así como las funciones zeta de variedades sobre cuerpos finitos a todo esquema aritmético o a un esquema de tipo finito sobre números enteros. La función zeta aritmética de un esquema aritmético equidimensional regular conexo de dimensión n de Kronecker se puede factorizar en el producto de factores L definidos apropiadamente y un factor auxiliar Jean-Pierre Serre  (1969–1970). Suponiendo una ecuación funcional y una continuación meromórfica, la hipótesis de Riemann generalizada para el factor L establece que sus ceros dentro de la franja crítica se encuentran en la línea central. En consecuencia, la hipótesis de Riemann generalizada para la función zeta aritmética de un esquema aritmético equidimensional regular conexo establece que sus ceros dentro de la franja crítica se encuentran en líneas verticales y sus polos dentro de la franja crítica se encuentran en líneas verticales . Esto es conocido para esquemas de característica positiva y se desprende de Pierre Deligne  (1974, 1980), pero sigue siendo totalmente desconocido en característica cero. ${\displaystyle \Re (s)\in (0,n)}$ ${\displaystyle \Re (s)=1/2,3/2,\dots ,n-1/2}$ ${\displaystyle \Re (s)=1,2,\dots ,n-1}$

Funciones zeta de Selberg

Selberg (1956) introdujo la función zeta de Selberg de una superficie de Riemann. Estas funciones son similares a la función zeta de Riemann: tienen una ecuación funcional y un producto infinito similar al producto de Euler, pero aplicado a geodésicas cerradas en lugar de primos. La fórmula de la traza de Selberg es análoga para estas funciones a las fórmulas explícitas de la teoría de números primos. Selberg demostró que las funciones zeta de Selberg satisfacen el análogo de la hipótesis de Riemann, con las partes imaginarias de sus ceros relacionadas con los valores propios del operador laplaciano de la superficie de Riemann.

Funciones zeta de Ihara

La función zeta de Ihara de un grafo finito es análoga a la función zeta de Selberg , que fue introducida por primera vez por Yasutaka Ihara en el contexto de subgrupos discretos del grupo lineal especial p-ádico de dos por dos. Un grafo finito regular es un grafo de Ramanujan , un modelo matemático de redes de comunicación eficientes, si y solo si su función zeta de Ihara satisface el análogo de la hipótesis de Riemann como lo señaló T. Sunada .

Conjetura de correlación de pares de Montgomery

Montgomery (1973) sugirió la conjetura de correlación de pares según la cual las funciones de correlación de los ceros (adecuadamente normalizados) de la función zeta deberían ser las mismas que las de los valores propios de una matriz hermítica aleatoria . Odlyzko (1987) demostró que esto está respaldado por cálculos numéricos a gran escala de estas funciones de correlación.

Montgomery demostró que (asumiendo la hipótesis de Riemann) al menos 2/3 de todos los ceros son simples, y una conjetura relacionada es que todos los ceros de la función zeta son simples (o más generalmente no tienen relaciones lineales enteras no triviales entre sus partes imaginarias). Las funciones zeta de Dedekind de cuerpos de números algebraicos, que generalizan la función zeta de Riemann, a menudo tienen múltiples ceros complejos. ^[23] Esto se debe a que las funciones zeta de Dedekind se factorizan como un producto de potencias de funciones L de Artin , por lo que los ceros de las funciones L de Artin a veces dan lugar a múltiples ceros de funciones zeta de Dedekind. Otros ejemplos de funciones zeta con múltiples ceros son las funciones L de algunas curvas elípticas : estas pueden tener múltiples ceros en el punto real de su línea crítica; la conjetura de Birch-Swinnerton-Dyer predice que la multiplicidad de este cero es el rango de la curva elíptica.

Otras funciones zeta

Existen muchos otros ejemplos de funciones zeta con análogos de la hipótesis de Riemann, algunos de los cuales han sido probados. Las funciones zeta de Goss de cuerpos de funciones tienen una hipótesis de Riemann, probada por Sheats (1998). La conjetura principal de la teoría de Iwasawa , probada por Barry Mazur y Andrew Wiles para cuerpos ciclotómicos , y Wiles para cuerpos totalmente reales , identifica los ceros de una función L p -ádica con los valores propios de un operador, por lo que puede considerarse como un análogo de la conjetura de Hilbert–Pólya para funciones L p -ádicas . ^[24]

Pruebas intentadas

Varios matemáticos han abordado la hipótesis de Riemann, pero ninguno de sus intentos ha sido aceptado como prueba. Watkins (2021) enumera algunas soluciones incorrectas.

Teoría de operadores

Hilbert y Pólya sugirieron que una forma de derivar la hipótesis de Riemann sería encontrar un operador autoadjunto , de cuya existencia se seguiría el enunciado sobre las partes reales de los ceros de ζ ( s ) cuando se aplica el criterio sobre valores propios reales . Algo de apoyo para esta idea proviene de varios análogos de las funciones zeta de Riemann cuyos ceros corresponden a valores propios de algún operador: los ceros de una función zeta de una variedad sobre un cuerpo finito corresponden a valores propios de un elemento de Frobenius en un grupo de cohomología étale , los ceros de una función zeta de Selberg son valores propios de un operador laplaciano de una superficie de Riemann, y los ceros de una función zeta p-ádica corresponden a vectores propios de una acción de Galois en grupos de clases ideales .

Odlyzko (1987) demostró que la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann comparte algunas propiedades estadísticas con los valores propios de matrices aleatorias extraídas del conjunto unitario gaussiano . Esto respalda en cierta medida la conjetura de Hilbert-Pólya .

En 1999, Michael Berry y Jonathan Keating conjeturaron que existe alguna cuantificación desconocida del hamiltoniano clásico H = xp de modo que, y aún más fuertemente, los ceros de Riemann coinciden con el espectro del operador . Esto contrasta con la cuantificación canónica , que conduce al principio de incertidumbre de Heisenberg y a los números naturales como espectro del oscilador armónico cuántico . El punto crucial es que el hamiltoniano debería ser un operador autoadjunto de modo que la cuantificación sería una realización del programa de Hilbert-Pólya. En conexión con este problema mecánico cuántico, Berry y Connes habían propuesto que la inversa del potencial del hamiltoniano está conectada a la semiderivada de la función entonces, en el enfoque de Hilbert-Polya Esto produce un hamiltoniano cuyos valores propios son el cuadrado de la parte imaginaria de los ceros de Riemann, y también que el determinante funcional de este operador hamiltoniano es simplemente la función Xi de Riemann . De hecho, la función Xi de Riemann sería proporcional al determinante funcional ( producto de Hadamard ). Sin embargo, este operador no es útil en la práctica ya que incluye la función inversa (función implícita) del potencial pero no el potencial en sí. La analogía con la hipótesis de Riemann sobre cuerpos finitos sugiere que el espacio de Hilbert que contiene vectores propios correspondientes a los ceros podría ser algún tipo de primer grupo de cohomología del espectro Spec ( Z ) de los números enteros. Deninger (1998) describió algunos de los intentos de encontrar dicha teoría de cohomología. ^[25] ${\displaystyle {\hat {H}}}$ $${\displaystyle \zeta (1/2+i{\hat {H}})=0}$$ ${\displaystyle 1/2+i{\hat {H}}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$ $${\displaystyle N(s)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Arg} \xi (1/2+i{\sqrt {s}})}$$ $${\displaystyle V^{-1}(x)={\sqrt {4\pi }}{\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}}.}$$ $${\displaystyle \det(H+1/4+s(s-1))}$$ $${\displaystyle {\frac {\xi (s)}{\xi (0)}}={\frac {\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1/4)}}.}$$

Zagier (1981) construyó un espacio natural de funciones invariantes en el semiplano superior que tiene valores propios bajo el operador laplaciano que corresponden a ceros de la función zeta de Riemann, y señaló que en el improbable caso de que uno pudiera demostrar la existencia de un producto interno definido positivo adecuado en este espacio, se seguiría la hipótesis de Riemann. Cartier (1982) analizó un ejemplo relacionado, donde debido a un extraño error un programa de computadora enumeraba ceros de la función zeta de Riemann como valores propios del mismo operador laplaciano .

Schumayer y Hutchinson (2011) examinaron algunos de los intentos de construir un modelo físico adecuado relacionado con la función zeta de Riemann.

Teorema de Lee-Yang

El teorema de Lee-Yang establece que los ceros de ciertas funciones de partición en la mecánica estadística se encuentran todos en una "línea crítica" con su parte real igual a 0, y esto ha llevado a algunas especulaciones sobre una relación con la hipótesis de Riemann. ^[26]

El resultado de Turán

Pál Turán  (1948) demostró que si las funciones no tienen ceros cuando la parte real de s es mayor que uno entonces donde λ( n ) es la función de Liouville dada por (−1) ^r si n tiene r factores primos. Demostró que esto a su vez implicaría que la hipótesis de Riemann es verdadera. Pero Haselgrove (1958) demostró que T ( x ) es negativo para infinitos x (y también refutó la conjetura de Pólya estrechamente relacionada ), y Borwein, Ferguson y Mossinghoff (2008) demostraron que el más pequeño de tales x es 72 185 376 951 205 . Spira (1968) demostró mediante cálculo numérico que la serie finita de Dirichlet anterior para N = 19 tiene un cero con parte real mayor que 1. Turán también demostró que una suposición algo más débil, la inexistencia de ceros con parte real mayor que 1+ N ^−1/2+ε para N grande en la serie finita de Dirichlet anterior, también implicaría la hipótesis de Riemann, pero Montgomery (1983) demostró que para todos los N suficientemente grandes estas series tienen ceros con parte real mayor que 1 + (log log N )/(4 log N ) . Por lo tanto, el resultado de Turán es vacuamente verdadero y no puede ayudar a probar la hipótesis de Riemann. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{-s}}$$ $${\displaystyle T(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n}}\geq 0{\text{ for }}x>0,}$$

Geometría no conmutativa

Connes  (1999, 2000) ha descrito una relación entre la hipótesis de Riemann y la geometría no conmutativa , y ha demostrado que un análogo adecuado de la fórmula de traza de Selberg para la acción del grupo de clases idèle sobre el espacio de clases adèle implicaría la hipótesis de Riemann. Algunas de estas ideas se desarrollan en Lapidus (2008).

Espacios de Hilbert de funciones enteras

Louis de Branges  (1992) demostró que la hipótesis de Riemann se seguiría de una condición de positividad en un cierto espacio de Hilbert de funciones enteras . Sin embargo, Conrey y Li (2000) demostraron que las condiciones de positividad necesarias no se satisfacen. A pesar de este obstáculo, de Branges ha seguido trabajando en un intento de prueba de la hipótesis de Riemann en la misma línea, pero esto no ha sido ampliamente aceptado por otros matemáticos. ^[27]

Cuasicristales

La hipótesis de Riemann implica que los ceros de la función zeta forman un cuasicristal , una distribución con soporte discreto cuya transformada de Fourier también tiene soporte discreto. Dyson (2009) sugirió intentar probar la hipótesis de Riemann clasificando, o al menos estudiando, cuasicristales unidimensionales.

Funciones zeta aritméticas de modelos de curvas elípticas sobre cuerpos numéricos

Cuando se pasa de la dimensión geométrica uno, por ejemplo, un cuerpo numérico algebraico , a la dimensión geométrica dos, por ejemplo, un modelo regular de una curva elíptica sobre un cuerpo numérico, la parte bidimensional de la hipótesis generalizada de Riemann para la función zeta aritmética del modelo trata de los polos de la función zeta. En la dimensión uno, el estudio de la integral zeta en la tesis de Tate no conduce a nueva información importante sobre la hipótesis de Riemann. Por el contrario, en la dimensión dos, el trabajo de Ivan Fesenko sobre la generalización bidimensional de la tesis de Tate incluye una representación integral de una integral zeta estrechamente relacionada con la función zeta. En esta nueva situación, no posible en la dimensión uno, los polos de la función zeta se pueden estudiar a través de la integral zeta y los grupos de Adele asociados. La conjetura relacionada de Fesenko  (2010) sobre la positividad de la cuarta derivada de una función de contorno asociada a la integral zeta implica esencialmente la parte polar de la hipótesis generalizada de Riemann. Suzuki (2011) demostró que esto último, junto con algunos supuestos técnicos, implica la conjetura de Fesenko.

Funciones zeta múltiples

La prueba de Deligne de la hipótesis de Riemann sobre cuerpos finitos utilizó las funciones zeta de variedades de productos, cuyos ceros y polos corresponden a sumas de ceros y polos de la función zeta original, para acotar las partes reales de los ceros de la función zeta original. Por analogía, Kurokawa (1992) introdujo funciones zeta múltiples cuyos ceros y polos corresponden a sumas de ceros y polos de la función zeta de Riemann. Para hacer que la serie converja, la restringió a sumas de ceros o polos, todos con parte imaginaria no negativa. Hasta ahora, los límites conocidos de los ceros y polos de las funciones zeta múltiples no son lo suficientemente fuertes como para proporcionar estimaciones útiles para los ceros de la función zeta de Riemann.

Ubicación de los ceros

Número de ceros

La ecuación funcional combinada con el principio de argumento implica que el número de ceros de la función zeta con parte imaginaria entre 0 y T está dado por

${\displaystyle N(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\xi (s))={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)s(s-1)/2)}$

para s = 1/2+i T , donde el argumento se define variándolo continuamente a lo largo de la línea con Im( s )= T , comenzando con el argumento 0 en ∞+i T . Esta es la suma de un término grande pero bien entendido

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-s/2}s(s-1)/2)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+7/8+O(1/T)}$

y un término pequeño pero bastante misterioso

${\displaystyle S(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\zeta (1/2+iT))=O(\log T).}$

Por lo tanto, la densidad de ceros con parte imaginaria cerca de T es aproximadamente log( T )/(2 π ), y la función S describe las pequeñas desviaciones con respecto a esto. La función S ( t ) salta en 1 en cada cero de la función zeta, y para t ≥ 8 decrece monótonamente entre ceros con derivada cercana a −log t .

Trudgian (2014) demostró que, si , entonces ${\displaystyle T>e}$

${\displaystyle |N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$.

Karatsuba (1996) demostró que cada intervalo ( T , T + H ] para contiene al menos ${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$

${\displaystyle H(\log T)^{\frac {1}{3}}e^{-c{\sqrt {\log \log T}}}}$

puntos donde la función S ( t ) cambia de signo.

Selberg (1946) demostró que los momentos promedio de potencias pares de S están dados por

${\displaystyle \int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={\frac {(2k)!}{k!(2\pi )^{2k}}}T(\log \log T)^{k}+O(T(\log \log T)^{k-1/2}).}$

Esto sugiere que S ( T )/(log log T ) ^1/2 se asemeja a una variable aleatoria gaussiana con media 0 y varianza 2 π ² (Ghosh (1983) demostró este hecho). En particular, | S ( T )| suele estar en algún lugar alrededor de (log log T ) ^1/2 , pero ocasionalmente es mucho mayor. El orden exacto de crecimiento de S ( T ) no se conoce. No ha habido una mejora incondicional del límite original de Riemann S ( T )=O(log T ), aunque la hipótesis de Riemann implica el límite ligeramente más pequeño S ( T )=O(log T /log log T ). ^[13] El verdadero orden de magnitud puede ser algo menor que esto, ya que las funciones aleatorias con la misma distribución que S ( T ) tienden a tener un crecimiento del orden de log( T ) ^1/2 . En la otra dirección no puede ser demasiado pequeña: Selberg (1946) demostró que S ( T ) ≠ o((log T ) ^1/3 /(log log T ) ^7/3 ) , y asumiendo la hipótesis de Riemann, Montgomery demostró que S ( T ) ≠ o((log T ) ^1/2 /(log log T ) ^1/2 ) .

Los cálculos numéricos confirman que S crece muy lentamente: | S ( T )| < 1 para T < 280 , | S ( T )| < 2 para T  <  6 800 000 , y el mayor valor de | S ( T )| encontrado hasta ahora no es mucho mayor que 3. ^[28]

La estimación de Riemann S ( T ) = O(log T ) implica que las brechas entre ceros están limitadas, y Littlewood mejoró esto ligeramente, mostrando que las brechas entre sus partes imaginarias tienden a 0.

Teorema de Hadamard y de la Vallée-Poussin

Hadamard (1896) y de la Vallée-Poussin (1896) demostraron independientemente que ningún cero podía estar en la línea Re( s ) = 1. Junto con la ecuación funcional y el hecho de que no hay ceros con parte real mayor que 1, esto demostró que todos los ceros no triviales deben estar en el interior de la franja crítica 0 < Re( s ) < 1 . Este fue un paso clave en sus primeras demostraciones del teorema de los números primos .

Las dos pruebas originales de que la función zeta no tiene ceros con la parte real 1 son similares y dependen de demostrar que si ζ (1 +  it ) se anula, entonces ζ (1 + 2 it ) es singular, lo cual no es posible. Una forma de hacer esto es usando la desigualdad

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|\geq 1}$

para σ > 1, t real, y mirando el límite como σ → 1. Esta desigualdad se deduce tomando la parte real del logaritmo del producto de Euler para ver que

${\displaystyle |\zeta (\sigma +it)|=\exp \Re \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n(\sigma +it)}}{n}}=\exp \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n\sigma }\cos(t\log p^{n})}{n}},}$

donde la suma es sobre todas las potencias primas p ⁿ , de modo que

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|=\exp \sum _{p^{n}}p^{-n\sigma }{\frac {3+4\cos(t\log p^{n})+\cos(2t\log p^{n})}{n}}}$

que es al menos 1 porque todos los términos de la suma son positivos, debido a la desigualdad

${\displaystyle 3+4\cos(\theta )+\cos(2\theta )=2(1+\cos(\theta ))^{2}\geq 0.}$

Regiones libres de cero

La búsqueda informática más extensa realizada por Platt y Trudgian ^[17] para encontrar contraejemplos de la hipótesis de Riemann la ha verificado para . Más allá de eso, las regiones sin ceros se conocen como desigualdades relativas a σ + i t , que pueden ser ceros. La versión más antigua es de De la Vallée-Poussin (1899-1900), quien demostró que existe una región sin ceros que satisface 1 − σ ≥ ⁠ ${\displaystyle |t|\leq 3.0001753328\cdot 10^{12}}$do/registro( t )⁠ para alguna constante positivaC. En otras palabras, los ceros no pueden estar demasiado cerca de la líneaσ = 1:hay una región libre de ceros cerca de esta línea. Esto ha sido ampliado por varios autores utilizando métodos comoel teorema del valor medio de Vinogradov.

El artículo más reciente ^[29] de Mossinghoff, Trudgian y Yang es de diciembre de 2022 y proporciona cuatro regiones libres de cero que mejoraron los resultados anteriores de Kevin Ford de 2002, los propios Mossinghoff y Trudgian de 2015 y la ligera mejora de Ford de Pace Nielsen de octubre de 2022:

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.558691\log |t|}}}$cuando sea , ${\displaystyle |t|\geq 2}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{55.241(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}}$siempre que (región más grande conocida en el límite ), ${\displaystyle |t|\geq 3}$ ${\displaystyle 3.0001753328\cdot 10^{12}\leq |t|\leq \exp(64.1)\approx 6.89\cdot 10^{27}}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.04962-{\frac {0.0196}{1.15+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+\log \log t}}}{0.685+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+1.155\cdot \log \log t}}}$siempre que (región más grande conocida en el límite ) y ${\displaystyle |t|\geq 1.88\cdot 10^{14}}$ ${\displaystyle \exp(64.1)\leq |t|\leq \exp(1000)\approx 1.97\cdot 10^{434}}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.05035}{{\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096}}+{\frac {0.0349}{({\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096)^{2}}}}$siempre que (la región más grande conocida en su propio límite) ${\displaystyle |t|\geq \exp(1000)}$

El artículo también presenta una mejora de la segunda región libre de ceros, cuyos límites son desconocidos debido a que simplemente se supone que son "suficientemente grandes" para cumplir con los requisitos de la prueba del artículo. Esta región es ${\displaystyle |t|}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{48.1588(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}}$.

Ceros en la línea crítica

Hardy (1914) y Hardy & Littlewood (1921) demostraron que hay infinitos ceros en la línea crítica, al considerar momentos de ciertas funciones relacionadas con la función zeta. Selberg (1942) demostró que al menos una (pequeña) proporción positiva de ceros se encuentra en la línea. Levinson (1974) mejoró esto a un tercio de los ceros al relacionar los ceros de la función zeta con los de su derivada, y Conrey (1989) lo mejoró aún más a dos quintos. En 2020, Pratt, Robles, Zaharescu y Zeindler ^[30] ampliaron esta estimación a cinco doceavos al considerar suavizadores extendidos que pueden acomodar derivadas de orden superior de la función zeta y sus sumas de Kloosterman asociadas.

La mayoría de los ceros se encuentran cerca de la línea crítica. Más precisamente, Bohr y Landau (1914) demostraron que para cualquier ε positivo, el número de ceros con parte real al menos 1/2+ε y parte imaginaria en entre -T y T es . Combinado con los hechos de que los ceros en la franja crítica son simétricos respecto de la línea crítica y que el número total de ceros en la franja crítica es , casi todos los ceros no triviales están dentro de una distancia ε de la línea crítica. Ivić (1985) da varias versiones más precisas de este resultado, llamadas estimaciones de densidad cero , que limitan el número de ceros en regiones con parte imaginaria como máximo T y parte real al menos 1/2+ε. ${\displaystyle O(T)}$ ${\displaystyle \Theta (T\log T)}$

Conjeturas de Hardy-Littlewood

En 1914 Godfrey Harold Hardy demostró que tiene infinitos ceros reales. ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$

Las siguientes dos conjeturas de Hardy y John Edensor Littlewood sobre la distancia entre ceros reales de y sobre la densidad de ceros de en el intervalo para suficientemente grandes , y y con el menor valor posible de , donde es un número arbitrariamente pequeño, abren dos nuevas direcciones en la investigación de la función zeta de Riemann: ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$ ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$ ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

1. Para cualquier existe un límite inferior tal que para y el intervalo contiene un cero de orden impar de la función . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ ${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{4}}+\varepsilon }}$ ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$

Sea el número total de ceros reales, y el número total de ceros de orden impar de la función que se encuentra en el intervalo . ${\displaystyle N(T)}$ ${\displaystyle N_{0}(T)}$ ${\displaystyle ~\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)~}$ ${\displaystyle (0,T]~}$

2. Para cualquier existe y algún , tal que para y la desigualdad es verdadera. ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ ${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$ ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ ${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{2}}+\varepsilon }}$ ${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH}$

Conjetura de la función zeta de Selberg

Atle Selberg (1942) investigated the problem of Hardy–Littlewood 2 and proved that for any ε > 0 there exists such ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$ and c = c(ε) > 0, such that for ${\displaystyle T\geq T_{0}}$ and ${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$ the inequality ${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}$ is true. Selberg conjectured that this could be tightened to ${\displaystyle H=T^{0.5}}$. A. A. Karatsuba (1984a, 1984b, 1985) proved that for a fixed ε satisfying the condition 0 < ε < 0.001, a sufficiently large T and ${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$, ${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$, the interval (T, T+H) contains at least cH log(T) real zeros of the Riemann zeta function ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$ and therefore confirmed the Selberg conjecture. The estimates of Selberg and Karatsuba can not be improved in respect of the order of growth as T → ∞.

Karatsuba (1992) proved that an analog of the Selberg conjecture holds for almost all intervals (T, T+H], ${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$, where ε is an arbitrarily small fixed positive number. The Karatsuba method permits to investigate zeros of the Riemann zeta function on "supershort" intervals of the critical line, that is, on the intervals (T, T+H], the length H of which grows slower than any, even arbitrarily small degree T. In particular, he proved that for any given numbers ε, ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ satisfying the conditions ${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$ almost all intervals (T, T+H] for ${\displaystyle H\geq \exp {\{(\log T)^{\varepsilon }\}}}$ contain at least ${\displaystyle H(\log T)^{1-\varepsilon _{1}}}$ zeros of the function ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$. This estimate is quite close to the one that follows from the Riemann hypothesis.

Numerical calculations

The function

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\zeta (s)}$

has the same zeros as the zeta function in the critical strip, and is real on the critical line because of the functional equation, so one can prove the existence of zeros exactly on the real line between two points by checking numerically that the function has opposite signs at these points. Usually one writes

${\displaystyle \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)=Z(t)e^{-i\theta (t)}}$

where Hardy's Z function and the Riemann–Siegel theta function θ are uniquely defined by this and the condition that they are smooth real functions with θ(0) = 0. By finding many intervals where the function Z changes sign one can show that there are many zeros on the critical line. To verify the Riemann hypothesis up to a given imaginary part T of the zeros, one also has to check that there are no further zeros off the line in this region. This can be done by calculating the total number of zeros in the region using Turing's method and checking that it is the same as the number of zeros found on the line. This allows one to verify the Riemann hypothesis computationally up to any desired value of T (provided all the zeros of the zeta function in this region are simple and on the critical line).

These calculations can also be used to estimate ${\displaystyle \pi (x)}$ for finite ranges of ${\displaystyle x}$. For example, using the latest result from 2020 (zeros up to height ${\displaystyle 3\times 10^{12}}$), it has been shown that

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x),\qquad {\text{for }}2657\leq x\leq 1.101\times 10^{26}.}$

In general, this inequality holds if

${\displaystyle x\geq 2657}$ and ${\displaystyle {\frac {9.06}{\log {\log {x}}}}{\sqrt {\frac {x}{\log {x}}}}\leq T,}$

where ${\displaystyle T}$ is the largest known value such that the Riemann hypothesis is true for all zeros ${\displaystyle \rho }$ with ${\displaystyle \Im {\left(\rho \right)}\in \left(0,T\right]}$.^[31]

Some calculations of zeros of the zeta function are listed below, where the "height" of a zero is the magnitude of its imaginary part, and the height of the nth zero is denoted by γ_n. So far all zeros that have been checked are on the critical line and are simple. (A multiple zero would cause problems for the zero finding algorithms, which depend on finding sign changes between zeros.) For tables of the zeros, see Haselgrove & Miller (1960) or Odlyzko.

Gram points

A Gram point is a point on the critical line 1/2 + it where the zeta function is real and non-zero. Using the expression for the zeta function on the critical line, ζ(1/2 + it) = Z(t)e ^− iθ(t), where Hardy's function, Z, is real for real t, and θ is the Riemann–Siegel theta function, we see that zeta is real when sin(θ(t)) = 0. This implies that θ(t) is an integer multiple of π, which allows for the location of Gram points to be calculated fairly easily by inverting the formula for θ. They are usually numbered as g_n for n = 0, 1, ..., where g_n is the unique solution of θ(t) = nπ.

Gram observed that there was often exactly one zero of the zeta function between any two Gram points; Hutchinson called this observation Gram's law. There are several other closely related statements that are also sometimes called Gram's law: for example, (−1)ⁿZ(g_n) is usually positive, or Z(t) usually has opposite sign at consecutive Gram points. The imaginary parts γ_n of the first few zeros (in blue) and the first few Gram points g_n are given in the following table

This is a polar plot of the first 20 real values r_n of the zeta function along the critical line, ζ(1/2 + it), with t running from 0 to 50. The values of r_n in this range are the first 10 non-trivial Riemann zeta function zeros and the first 10 Gram points, each labeled by n. Fifty red points have been plotted between each r_n, and the zeros are projected onto concentric magenta rings scaled to show the relative distance between their values of t. Gram's law states that the curve usually crosses the real axis once between zeros.

The first failure of Gram's law occurs at the 127th zero and the Gram point g₁₂₆, which are in the "wrong" order.

A Gram point t is called good if the zeta function is positive at 1/2 + it. The indices of the "bad" Gram points where Z has the "wrong" sign are 126, 134, 195, 211, ... (sequence A114856 in the OEIS). A Gram block is an interval bounded by two good Gram points such that all the Gram points between them are bad. A refinement of Gram's law called Rosser's rule due to Rosser, Yohe & Schoenfeld (1969) says that Gram blocks often have the expected number of zeros in them (the same as the number of Gram intervals), even though some of the individual Gram intervals in the block may not have exactly one zero in them. For example, the interval bounded by g₁₂₅ and g₁₂₇ is a Gram block containing a unique bad Gram point g₁₂₆, and contains the expected number 2 of zeros although neither of its two Gram intervals contains a unique zero. Rosser et al. checked that there were no exceptions to Rosser's rule in the first 3 million zeros, although there are infinitely many exceptions to Rosser's rule over the entire zeta function.

Gram's rule and Rosser's rule both say that in some sense zeros do not stray too far from their expected positions. The distance of a zero from its expected position is controlled by the function S defined above, which grows extremely slowly: its average value is of the order of (log log T)^1/2, which only reaches 2 for T around 10²⁴. This means that both rules hold most of the time for small T but eventually break down often. Indeed, Trudgian (2011) showed that both Gram's law and Rosser's rule fail in a positive proportion of cases. To be specific, it is expected that in about 66% one zero is enclosed by two successive Gram points, but in 17% no zero and in 17% two zeros are in such a Gram-interval on the long run Hanga (2020).

Arguments for and against the Riemann hypothesis

Mathematical papers about the Riemann hypothesis tend to be cautiously noncommittal about its truth. Of authors who express an opinion, most of them, such as Riemann (1859) and Bombieri (2000), imply that they expect (or at least hope) that it is true. The few authors who express serious doubt about it include Ivić (2008), who lists some reasons for skepticism, and Littlewood (1962), who flatly states that he believes it false, that there is no evidence for it and no imaginable reason it would be true. The consensus of the survey articles (Bombieri 2000, Conrey 2003, and Sarnak 2005) is that the evidence for it is strong but not overwhelming, so that while it is probably true there is reasonable doubt.

Some of the arguments for and against the Riemann hypothesis are listed by Sarnak (2005), Conrey (2003), and Ivić (2008), and include the following:

• Several analogues of the Riemann hypothesis have already been proved. The proof of the Riemann hypothesis for varieties over finite fields by Deligne (1974) is possibly the single strongest theoretical reason in favor of the Riemann hypothesis. This provides some evidence for the more general conjecture that all zeta functions associated with automorphic forms satisfy a Riemann hypothesis, which includes the classical Riemann hypothesis as a special case. Similarly Selberg zeta functions satisfy the analogue of the Riemann hypothesis, and are in some ways similar to the Riemann zeta function, having a functional equation and an infinite product expansion analogous to the Euler product expansion. But there are also some major differences; for example, they are not given by Dirichlet series. The Riemann hypothesis for the Goss zeta function was proved by Sheats (1998). In contrast to these positive examples, some Epstein zeta functions do not satisfy the Riemann hypothesis even though they have an infinite number of zeros on the critical line.^[13] These functions are quite similar to the Riemann zeta function, and have a Dirichlet series expansion and a functional equation, but the ones known to fail the Riemann hypothesis do not have an Euler product and are not directly related to automorphic representations.
• At first, the numerical verification that many zeros lie on the line seems strong evidence for it. But analytic number theory has had many conjectures supported by substantial numerical evidence that turned out to be false. See Skewes number for a notorious example, where the first exception to a plausible conjecture related to the Riemann hypothesis probably occurs around 10³¹⁶; a counterexample to the Riemann hypothesis with imaginary part this size would be far beyond anything that can currently be computed using a direct approach. The problem is that the behavior is often influenced by very slowly increasing functions such as log log T, that tend to infinity, but do so so slowly that this cannot be detected by computation. Such functions occur in the theory of the zeta function controlling the behavior of its zeros; for example the function S(T) above has average size around (log log T)^1/2. As S(T) jumps by at least 2 at any counterexample to the Riemann hypothesis, one might expect any counterexamples to the Riemann hypothesis to start appearing only when S(T) becomes large. It is never much more than 3 as far as it has been calculated, but is known to be unbounded, suggesting that calculations may not have yet reached the region of typical behavior of the zeta function.
• Denjoy's probabilistic argument for the Riemann hypothesis^[33] is based on the observation that if μ(x) is a random sequence of "1"s and "−1"s then, for every ε > 0, the partial sums $${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$$ (the values of which are positions in a simple random walk) satisfy the bound $${\displaystyle M(x)=O(x^{1/2+\varepsilon })}$$ with probability 1. The Riemann hypothesis is equivalent to this bound for the Möbius function μ and the Mertens function M derived in the same way from it. In other words, the Riemann hypothesis is in some sense equivalent to saying that μ(x) behaves like a random sequence of coin tosses. When μ(x) is nonzero its sign gives the parity of the number of prime factors of x, so informally the Riemann hypothesis says that the parity of the number of prime factors of an integer behaves randomly. Such probabilistic arguments in number theory often give the right answer, but tend to be very hard to make rigorous, and occasionally give the wrong answer for some results, such as Maier's theorem.
• The calculations in Odlyzko (1987) show that the zeros of the zeta function behave very much like the eigenvalues of a random Hermitian matrix, suggesting that they are the eigenvalues of some self-adjoint operator, which would imply the Riemann hypothesis. All attempts to find such an operator have failed.
• There are several theorems, such as Goldbach's weak conjecture for sufficiently large odd numbers, that were first proved using the generalized Riemann hypothesis, and later shown to be true unconditionally. This could be considered as weak evidence for the generalized Riemann hypothesis, as several of its "predictions" are true.
• Lehmer's phenomenon,^[34] where two zeros are sometimes very close, is sometimes given as a reason to disbelieve the Riemann hypothesis. But one would expect this to happen occasionally by chance even if the Riemann hypothesis is true, and Odlyzko's calculations suggest that nearby pairs of zeros occur just as often as predicted by Montgomery's conjecture.
• Patterson suggests that the most compelling reason for the Riemann hypothesis for most mathematicians is the hope that primes are distributed as regularly as possible.^[35]

Notes

1. Bombieri (2000).
2. Euler, Leonhard (1744). Variae observationes circa series infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, pp. 160–188, Theorems 7 and 8. In Theorem 7 Euler proves the formula in the special case ${\displaystyle s=1}$, and in Theorem 8 he proves it more generally. In the first corollary to his Theorem 7 he notes that ${\displaystyle \zeta (1)=\log \infty }$, and makes use of this latter result in his Theorem 19, in order to show that the sum of the inverses of the prime numbers is ${\displaystyle \log \log \infty }$.
3. Values for ζ can be found by calculating, e.g., ζ(1/2 − 30i).("Wolframalpha computational intelligence". wolframalpha.com. Wolfram. Retrieved 2 October 2022.
4. Ingham (1932), Theorem 30, p. 83; Montgomery & Vaughan (2007), p. 430.
5. Ingham (1932), p. 82.
6. Landau, Edmund (1924), "Über die Möbiussche Funktion", Rend. Circ. Mat. Palermo, 48 (2): 277–280, doi:10.1007/BF03014702, S2CID 123636883
7. Titchmarsh, Edward Charles (1927), "A consequence of the Riemann hypothesis", J. London Math. Soc., 2 (4): 247–254, doi:10.1112/jlms/s1-2.4.247
8. Maier, Helmut; Montgomery, Hugh (2009), "The sum of the Möbius function", Bull. London Math. Soc., 41 (2): 213–226, doi:10.1112/blms/bdn119, hdl:2027.42/135214, S2CID 121272525
9. Soundararajan, Kannan (2009), "Partial sums of the Möbius function", J. Reine Angew. Math., 2009 (631): 141–152, arXiv:0705.0723, doi:10.1515/CRELLE.2009.044, S2CID 16501321
10. Robin (1984).
11. Lagarias, Jeffrey C. (2002), "An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis", The American Mathematical Monthly, 109 (6): 534–543, arXiv:math/0008177, doi:10.2307/2695443, ISSN 0002-9890, JSTOR 2695443, MR 1908008, S2CID 15884740
12. Broughan (2017), Corollary 5.35.
13. Titchmarsh (1986).
14. Nicely (1999).
15. Baez-Duarte, Luis (2005). "A general strong Nyman-Beurling criterion for the Riemann hypothesis". Publications de l'Institut Mathématique. Nouvelle Série. 78 (92): 117–125. arXiv:math/0505453. doi:10.2298/PIM0578117B. S2CID 17406178.
16. Rodgers & Tao (2020).
17. Platt & Trudgian (2021).
18. "Caltech Mathematicians Solve 19th Century Number Riddle". California Institute of Technology. October 31, 2022.
19. Dunn, Alexander; Radziwiłł, Maksym (2021). "Bias in cubic Gauss sums: Patterson's conjecture". arXiv:2109.07463 [math.NT].
20. Goldfeld, Dorian (1985). "Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields". Bulletin of the American Mathematical Society. 13 (1): 23–37. doi:10.1090/S0273-0979-1985-15352-2. ISSN 0273-0979.
21. Siegel, Carl (1935). "Über die Classenzahl quadratischer Zahlkörper". Acta Arithmetica. 1 (1): 83–86. ISSN 0065-1036. Retrieved 8 April 2024.
22. Ribenboim (1996), p. 320.
23. Radziejewski (2007).
24. Wiles (2000).
25. Leichtnam (2005).
26. Knauf (1999).
27. Sarnak (2005).
28. Odlyzko (2002).
29. Mossinghoff, Michael J.; Trudgian, Timothy S.; Yang, Andrew (2022-12-13). "Explicit zero-free regions for the Riemann zeta-function". arXiv:2212.06867 [math.NT].
30. Pratt, Kyle; Robles, Nicolas; Zaharescu, Alexandru; Zeindler, Dirk (2020). "More than five-twelfths of the zeros of ζ are on the critical line". Res Math Sci. 7. arXiv:1802.10521. doi:10.1007/s40687-019-0199-8. S2CID 202542332.
31. Johnston, David R. (29 July 2022). "Improving bounds on prime counting functions by partial verification of the Riemann hypothesis". The Ramanujan Journal. 59 (4): 1307–1321. arXiv:2109.02249. doi:10.1007/s11139-022-00616-x. S2CID 237420836.
32. Weisstein, Eric W., "Riemann Zeta Function Zeros", MathWorld: "ZetaGrid is a distributed computing project attempting to calculate as many zeros as possible. It had reached 1029.9 billion zeros as of Feb. 18, 2005."
33. Edwards (1974).
34. Lehmer (1956).
35. p. 75: "One should probably add to this list the 'Platonic' reason that one expects the natural numbers to be the most perfect idea conceivable, and that this is only compatible with the primes being distributed in the most regular fashion possible..."

References

• Artin, Emil (1924), "Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil", Mathematische Zeitschrift, 19 (1): 207–246, doi:10.1007/BF01181075, S2CID 117936362
• Backlund, R. J. (1914), "Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann", C. R. Acad. Sci. Paris, 158: 1979–1981
• Beurling, Arne (1955), "A closure problem related to the Riemann zeta-function", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 41 (5): 312–314, Bibcode:1955PNAS...41..312B, doi:10.1073/pnas.41.5.312, MR 0070655, PMC 528084, PMID 16589670
• Björner, Anders (2011), "A cell complex in number theory", Advances in Applied Mathematics, 46 (1–4): 71–85, arXiv:1101.5704, doi:10.1016/j.aam.2010.09.007
• Bohr, H.; Landau, E. (1914), "Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-Funktion und die L-Funktionen", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 37 (1): 269–272, doi:10.1007/BF03014823, S2CID 121145912
• Bombieri, Enrico (2000), The Riemann Hypothesis – official problem description (PDF), Clay Mathematics Institute, archived from the original (PDF) on 2015-12-22, retrieved 2008-10-25 Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, eds. (2008), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-72126-2, ISBN 978-0-387-72125-5
• Borwein, Peter; Ferguson, Ron; Mossinghoff, Michael J. (2008), "Sign changes in sums of the Liouville function", Mathematics of Computation, 77 (263): 1681–1694, Bibcode:2008MaCom..77.1681B, doi:10.1090/S0025-5718-08-02036-X, MR 2398787
• de Branges, Louis (1992), "The convergence of Euler products", Journal of Functional Analysis, 107 (1): 122–210, doi:10.1016/0022-1236(92)90103-P, MR 1165869
• Broughan, Kevin (2017), Equivalents of the Riemann Hypothesis, Cambridge University Press, ISBN 978-1108290784
• Burton, David M. (2006), Elementary Number Theory, Tata McGraw-Hill Publishing Company Limited, ISBN 978-0-07-061607-3
• Cartier, P. (1982), "Comment l'hypothèse de Riemann ne fut pas prouvée", Seminar on Number Theory, Paris 1980–81 (Paris, 1980/1981), Progr. Math., vol. 22, Boston, MA: Birkhäuser Boston, pp. 35–48, MR 0693308
• Connes, Alain (1999), "Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function", Selecta Mathematica, New Series, 5 (1): 29–106, arXiv:math/9811068, doi:10.1007/s000290050042, MR 1694895, S2CID 55820659
• Connes, Alain (2000), "Noncommutative geometry and the Riemann zeta function", Mathematics: frontiers and perspectives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 35–54, MR 1754766
• Connes, Alain (2016), "An Essay on the Riemann Hypothesis", in Nash, J. F.; Rassias, Michael (eds.), Open Problems in Mathematics, New York: Springer, pp. 225–257, arXiv:1509.05576, doi:10.1007/978-3-319-32162-2_5, ISBN 978-3-319-32160-8
• Conrey, J. B. (1989), "More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line", J. Reine Angew. Math., 1989 (399): 1–26, doi:10.1515/crll.1989.399.1, MR 1004130, S2CID 115910600
• Conrey, J. Brian (2003), "The Riemann Hypothesis" (PDF), Notices of the American Mathematical Society: 341–353 Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Conrey, J. B.; Li, Xian-Jin (2000), "A note on some positivity conditions related to zeta and L-functions", International Mathematics Research Notices, 2000 (18): 929–940, arXiv:math/9812166, doi:10.1155/S1073792800000489, MR 1792282, S2CID 14678312
• Deligne, Pierre (1974), "La conjecture de Weil. I", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 43: 273–307, doi:10.1007/BF02684373, MR 0340258, S2CID 123139343
• Deligne, Pierre (1980), "La conjecture de Weil : II", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 52: 137–252, doi:10.1007/BF02684780, S2CID 189769469
• Deninger, Christopher (1998), "Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998), Documenta Mathematica, pp. 163–186, MR 1648030
• Dudek, Adrian W. (2014-08-21), "On the Riemann hypothesis and the difference between primes", International Journal of Number Theory, 11 (3): 771–778, arXiv:1402.6417, Bibcode:2014arXiv1402.6417D, doi:10.1142/S1793042115500426, ISSN 1793-0421, S2CID 119321107
• Dyson, Freeman (2009), "Birds and frogs" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 56 (2): 212–223, MR 2483565
• Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0, MR 0466039
• Fesenko, Ivan (2010), "Analysis on arithmetic schemes. II", Journal of K-theory, 5 (3): 437–557, doi:10.1017/is010004028jkt103
• Ford, Kevin (2002), "Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 85 (3): 565–633, arXiv:1910.08209, doi:10.1112/S0024611502013655, MR 1936814, S2CID 121144007
• Franel, J.; Landau, E. (1924), "Les suites de Farey et le problème des nombres premiers" (Franel, 198–201); "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel (Landau, 202–206)", Göttinger Nachrichten: 198–206
• Ghosh, Amit (1983), "On the Riemann zeta function—mean value theorems and the distribution of |S(T)|", J. Number Theory, 17: 93–102, doi:10.1016/0022-314X(83)90010-0
• Gourdon, Xavier (2004), The 1013 first zeros of the Riemann Zeta function, and zeros computation at very large height (PDF)
• Gram, J. P. (1903), "Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann", Acta Mathematica, 27: 289–304, doi:10.1007/BF02421310, S2CID 115327214
• Hadamard, Jacques (1896), "Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques", Bulletin de la Société Mathématique de France, 14: 199–220, doi:10.24033/bsmf.545 Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Hanga, Catalin (2020), Random matrix models for Gram's law (phd), University of York
• Hardy, G. H. (1914), "Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann", C. R. Acad. Sci. Paris, 158: 1012–1014, JFM 45.0716.04 Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1921), "The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line", Math. Z., 10 (3–4): 283–317, doi:10.1007/BF01211614, S2CID 126338046
• Haselgrove, C. B. (1958), "A disproof of a conjecture of Pólya", Mathematika, 5 (2): 141–145, doi:10.1112/S0025579300001480, ISSN 0025-5793, MR 0104638, Zbl 0085.27102 Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Haselgrove, C. B.; Miller, J. C. P. (1960), Tables of the Riemann zeta function, Royal Society Mathematical Tables, Vol. 6, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-06152-0, MR 0117905 Review
• Hutchinson, J. I. (1925), "On the Roots of the Riemann Zeta-Function", Transactions of the American Mathematical Society, 27 (1): 49–60, doi:10.2307/1989163, JSTOR 1989163
• Ingham, A.E. (1932), The Distribution of Prime Numbers, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, vol. 30, Cambridge University Press. Reprinted 1990, ISBN 978-0-521-39789-6, MR1074573
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York: Springer, ISBN 0-387-97329-X
• Ivić, A. (1985), The Riemann Zeta Function, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80634-9, MR 0792089 (Reprinted by Dover 2003)
• Ivić, Aleksandar (2008), "On some reasons for doubting the Riemann hypothesis", in Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (eds.), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, pp. 131–160, arXiv:math.NT/0311162, ISBN 978-0-387-72125-5
• Karatsuba, A. A. (1984a), "Zeros of the function ζ(s) on short intervals of the critical line", Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. (in Russian), 48 (3): 569–584, MR 0747251
• Karatsuba, A. A. (1984b), "Distribution of zeros of the function ζ(1/2 + it)", Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. (in Russian), 48 (6): 1214–1224, MR 0772113
• Karatsuba, A. A. (1985), "Zeros of the Riemann zeta-function on the critical line", Trudy Mat. Inst. Steklov. (in Russian) (167): 167–178, MR 0804073
• Karatsuba, A. A. (1992), "On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line", Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat. (in Russian), 56 (2): 372–397, Bibcode:1993IzMat..40..353K, doi:10.1070/IM1993v040n02ABEH002168, MR 1180378
• Karatsuba, A. A.; Voronin, S. M. (1992), The Riemann zeta-function, de Gruyter Expositions in Mathematics, vol. 5, Berlin: Walter de Gruyter & Co., doi:10.1515/9783110886146, ISBN 978-3-11-013170-3, MR 1183467
• Keating, Jonathan P.; Snaith, N. C. (2000), "Random matrix theory and ζ(1/2 + it)", Communications in Mathematical Physics, 214 (1): 57–89, Bibcode:2000CMaPh.214...57K, doi:10.1007/s002200000261, MR 1794265, S2CID 11095649
• Knapowski, S. (1962), "On sign-changes of the difference ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} x}$", Acta Arithmetica, 7: 107–119, doi:10.4064/aa-7-2-107-119, MR 0133308
• Knauf, Andreas (1999), "Number theory, dynamical systems and statistical mechanics", Reviews in Mathematical Physics, 11 (8): 1027–1060, Bibcode:1999RvMaP..11.1027K, doi:10.1142/S0129055X99000325, MR 1714352
• von Koch, Niels Helge (1901), "Sur la distribution des nombres premiers", Acta Mathematica, 24: 159–182, doi:10.1007/BF02403071, S2CID 119914826
• Kurokawa, Nobushige (1992), "Multiple zeta functions: an example", Zeta functions in geometry (Tokyo, 1990), Adv. Stud. Pure Math., vol. 21, Tokyo: Kinokuniya, pp. 219–226, MR 1210791
• Lapidus, Michel L. (2008), In search of the Riemann zeros, Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/mbk/051, ISBN 978-0-8218-4222-5, MR 2375028
• Lavrik, A. F. (2001) [1994], "Zeta-function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Lehmer, D. H. (1956), "Extended computation of the Riemann zeta-function", Mathematika, 3 (2): 102–108, doi:10.1112/S0025579300001753, MR 0086083
• Leichtnam, Eric (2005), "An invitation to Deninger's work on arithmetic zeta functions", Geometry, spectral theory, groups, and dynamics, Contemp. Math., vol. 387, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 201–236, doi:10.1090/conm/387/07243, ISBN 978-0-8218-3710-8, MR 2180209.
• Levinson, N. (1974), "More than one-third of the zeros of Riemann's zeta function are on σ = 1/2", Advances in Mathematics, 13 (4): 383–436, doi:10.1016/0001-8708(74)90074-7, MR 0564081
• Littlewood, J. E. (1962), "The Riemann hypothesis", The scientist speculates: an anthology of partly baked idea, New York: Basic books
• van de Lune, J.; te Riele, H. J. J.; Winter, D. T. (1986), "On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. IV", Mathematics of Computation, 46 (174): 667–681, doi:10.2307/2008005, JSTOR 2008005, MR 0829637
• Massias, J.-P.; Nicolas, Jean-Louis; Robin, G. (1988), "Évaluation asymptotique de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique", Acta Arithmetica, 50 (3): 221–242, doi:10.4064/aa-50-3-221-242, MR 0960551
• Mazur, Barry; Stein, William (2015), Prime Numbers and the Riemann Hypothesis
• Montgomery, Hugh L. (1973), "The pair correlation of zeros of the zeta function", Analytic number theory, Proc. Sympos. Pure Math., vol. XXIV, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 181–193, MR 0337821 Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Montgomery, Hugh L. (1983), "Zeros of approximations to the zeta function", in Erdős, Paul (ed.), Studies in pure mathematics. To the memory of Paul Turán, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, pp. 497–506, ISBN 978-3-7643-1288-6, MR 0820245
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007), Multiplicative Number Theory I. Classical Theory, Cambridge studies in advanced mathematics, vol. 97, Cambridge University Press.ISBN 978-0-521-84903-6
• Nicely, Thomas R. (1999), "New maximal prime gaps and first occurrences", Mathematics of Computation, 68 (227): 1311–1315, Bibcode:1999MaCom..68.1311N, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0, MR 1627813.
• Nyman, Bertil (1950), On the One-Dimensional Translation Group and Semi-Group in Certain Function Spaces, PhD Thesis, University of Uppsala: University of Uppsala, MR 0036444
• Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J. (1985), "Disproof of the Mertens conjecture", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1985 (357): 138–160, doi:10.1515/crll.1985.357.138, MR 0783538, S2CID 13016831, archived from the original on 2012-07-11
• Odlyzko, A. M. (1987), "On the distribution of spacings between zeros of the zeta function", Mathematics of Computation, 48 (177): 273–308, doi:10.2307/2007890, JSTOR 2007890, MR 0866115
• Odlyzko, A. M. (1990), "Bounds for discriminants and related estimates for class numbers, regulators and zeros of zeta functions: a survey of recent results", Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux, Série 2, 2 (1): 119–141, doi:10.5802/jtnb.22, MR 1061762
• Odlyzko, A. M. (1992), The 1020-th zero of the Riemann zeta function and 175 million of its neighbors (PDF) This unpublished book describes the implementation of the algorithm and discusses the results in detail.
• Odlyzko, A. M. (1998), The 1021st zero of the Riemann zeta function (PDF)
• Ono, Ken; Soundararajan, K. (1997), "Ramanujan's ternary quadratic form", Inventiones Mathematicae, 130 (3): 415–454, Bibcode:1997InMat.130..415O, doi:10.1007/s002220050191, S2CID 122314044
• Patterson, S. J. (1988), An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 14, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511623707, ISBN 978-0-521-33535-5, MR 0933558
• Platt, Dave; Trudgian, Tim (January 2021), "The Riemann hypothesis is true up to ${\displaystyle 3\cdot 10^{12}}$", Bulletin of the London Mathematical Society, 53 (3), Wiley: 792–797, arXiv:2004.09765, doi:10.1112/blms.12460, S2CID 234355998
• Radziejewski, Maciej (2007), "Independence of Hecke zeta functions of finite order over normal fields", Transactions of the American Mathematical Society, 359 (5): 2383–2394, doi:10.1090/S0002-9947-06-04078-5, MR 2276625, There are infinitely many nonisomorphic algebraic number fields whose Dedekind zeta functions have infinitely many nontrivial multiple zeros.
• Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
• Riemann, Bernhard (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Monatsberichte der Berliner Akademie. In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). Original manuscript (with English translation). Reprinted in (Borwein et al. 2008) and (Edwards 1974)
• Riesel, Hans; Göhl, Gunnar (1970), "Some calculations related to Riemann's prime number formula", Mathematics of Computation, 24 (112): 969–983, doi:10.2307/2004630, JSTOR 2004630, MR 0277489
• Riesz, M. (1916), "Sur l'hypothèse de Riemann", Acta Mathematica, 40: 185–190, doi:10.1007/BF02418544
• Robin, G. (1984), "Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série, 63 (2): 187–213, MR 0774171
• Rodgers, Brad; Tao, Terence (2020), "The de Bruijn–Newman constant is non-negative", Forum of Mathematics, 8: e6, 62, arXiv:1801.05914, doi:10.1017/fmp.2020.6, MR 4089393; see also announcement on Tao's blog, January 19, 2018
• Rosser, J. Barkley; Yohe, J. M.; Schoenfeld, Lowell (1969), "Rigorous computation and the zeros of the Riemann zeta-function. (With discussion)", Information Processing 68 (Proc. IFIP Congress, Edinburgh, 1968), Vol. 1: Mathematics, Software, Amsterdam: North-Holland, pp. 70–76, MR 0258245
• Rudin, Walter (1973), Functional Analysis, 1st edition (January 1973), New York: McGraw-Hill, ISBN 0-070-54225-2
• Salem, Raphaël (1953), "Sur une proposition équivalente à l'hypothèse de Riemann", Les Comptes rendus de l'Académie des sciences, 236: 1127–1128, MR 0053148
• Sarnak, Peter (2005), Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis (2004) (PDF), Clay Mathematics Institute, retrieved 2015-07-28 Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Schoenfeld, Lowell (1976), "Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II", Mathematics of Computation, 30 (134): 337–360, doi:10.2307/2005976, JSTOR 2005976, MR 0457374
• Schumayer, Daniel; Hutchinson, David A. W. (2011), "Physics of the Riemann Hypothesis", Reviews of Modern Physics, 83 (2): 307–330, arXiv:1101.3116, Bibcode:2011RvMP...83..307S, doi:10.1103/RevModPhys.83.307, S2CID 119290777
• Selberg, Atle (1942), "On the zeros of Riemann's zeta-function", SKR. Norske Vid. Akad. Oslo I., 10: 59 pp, MR 0010712
• Selberg, Atle (1946), "Contributions to the theory of the Riemann zeta-function", Arch. Math. Naturvid., 48 (5): 89–155, MR 0020594
• Selberg, Atle (1956), "Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series", J. Indian Math. Soc., New Series, 20: 47–87, MR 0088511
• Serre, Jean-Pierre (1969–1970), "Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures)", Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 19
• Sheats, Jeffrey T. (1998), "The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for F_q[T]", Journal of Number Theory, 71 (1): 121–157, arXiv:math/9801158, doi:10.1006/jnth.1998.2232, MR 1630979, S2CID 119703557
• Siegel, C. L. (1932), "Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie", Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. Und Phys. Abt. B: Studien 2: 45–80 Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
• Speiser, Andreas (1934), "Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion", Mathematische Annalen, 110: 514–521, doi:10.1007/BF01448042, JFM 60.0272.04, S2CID 119413347, archived from the original on 2015-06-27
• Spira, Robert (1968), "Zeros of sections of the zeta function. II", Mathematics of Computation, 22 (101): 163–173, doi:10.2307/2004774, JSTOR 2004774, MR 0228456
• Stein, William; Mazur, Barry (2007), What is Riemann's Hypothesis? (PDF), archived from the original (PDF) on 2009-03-27
• Suzuki, Masatoshi (2011), "Positivity of certain functions associated with analysis on elliptic surfaces", Journal of Number Theory, 131 (10): 1770–1796, doi:10.1016/j.jnt.2011.03.007
• Titchmarsh, Edward Charles (1935), "The Zeros of the Riemann Zeta-Function", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 151 (873), The Royal Society: 234–255, Bibcode:1935RSPSA.151..234T, doi:10.1098/rspa.1935.0146, JSTOR 96545, S2CID 263711590
• Titchmarsh, Edward Charles (1936), "The Zeros of the Riemann Zeta-Function", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 157 (891), The Royal Society: 261–263, arXiv:1004.4143, Bibcode:1936RSPSA.157..261T, doi:10.1098/rspa.1936.0192, JSTOR 96692
• Titchmarsh, Edward Charles (1986), The theory of the Riemann zeta-function (2nd ed.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853369-6, MR 0882550
• Trudgian, Timothy S. (2014), "An improved upper bound for the argument of the Riemann zeta function on the critical line II", J. Number Theory, 134: 280–292, arXiv:1208.5846, doi:10.1016/j.jnt.2013.07.017
• Trudgian, Timothy (2011), "On the success and failure of Gram's Law and the Rosser Rule", Acta Arithmetica, 125 (3): 225–256, doi:10.4064/aa148-3-2
• Turán, Paul (1948), "On some approximative Dirichlet-polynomials in the theory of the zeta-function of Riemann", Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd., 24 (17): 36, MR 0027305 Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Turing, Alan M. (1953), "Some calculations of the Riemann zeta-function", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 3: 99–117, doi:10.1112/plms/s3-3.1.99, MR 0055785
• de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1896), "Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers", Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 20: 183–256
• de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1899–1900), "Sur la fonction ζ(s) de Riemann et la nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée", Mem. Couronnes Acad. Sci. Belg., 59 (1) Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Weil, André (1948), Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent, Actualités Sci. Ind., no. 1041 = Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 7 (1945), Hermann et Cie., Paris, MR 0027151
• Weil, André (1949), "Numbers of solutions of equations in finite fields", Bulletin of the American Mathematical Society, 55 (5): 497–508, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4, MR 0029393 Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil ISBN 0-387-90330-5
• Weinberger, Peter J. (1973), "On Euclidean rings of algebraic integers", Analytic number theory ( St. Louis Univ., 1972), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 24, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 321–332, MR 0337902
• Wiles, Andrew (2000), "Twenty years of number theory", Mathematics: frontiers and perspectives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 329–342, ISBN 978-0-8218-2697-3, MR 1754786
• Zagier, Don (1977), "The first 50 million prime numbers" (PDF), Math. Intelligencer, 1, Springer: 7–19, doi:10.1007/BF03039306, MR 0643810, S2CID 189886510, archived from the original (PDF) on 2009-03-27
• Zagier, Don (1981), "Eisenstein series and the Riemann zeta function", Automorphic forms, representation theory and arithmetic (Bombay, 1979), Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math., vol. 10, Tata Inst. Fundamental Res., Bombay, pp. 275–301, MR 0633666

Popular expositions

• Sabbagh, Karl (2003a), The greatest unsolved problem in mathematics, Farrar, Straus and Giroux, New York, ISBN 978-0-374-25007-2, MR 1979664
• Sabbagh, Karl (2003b), Dr. Riemann's zeros, Atlantic Books, London, ISBN 978-1-843-54101-1
• du Sautoy, Marcus (2003), The music of the primes, HarperCollins Publishers, ISBN 978-0-06-621070-4, MR 2060134
• Rockmore, Dan (2005), Stalking the Riemann hypothesis, Pantheon Books, ISBN 978-0-375-42136-5, MR 2269393
• Derbyshire, John (2003), Prime Obsession, Joseph Henry Press, Washington, DC, ISBN 978-0-309-08549-6, MR 1968857
• Watkins, Matthew (2015), Mystery of the Prime Numbers, Liberalis Books, ISBN 978-1782797814, MR 0000000
• Frenkel, Edward (2014), The Riemann Hypothesis Numberphile, Mar 11, 2014 (video)
• Nahin, Paul J. (2021). In Pursuit of Zeta-3: The World's Most Mysterious Unsolved Math Problem. Princeton University Press. ISBN 978-0691206073.

Note: Derbyshire 2003, Rockmore 2005, Sabbagh 2003a, Sabbagh 2003b, Sautoy 2003, and Watkins 2015 are non-technical. Edwards 1974, Patterson 1988, Borwein/Choi/Rooney/Weirathmueller 2008, Mazur/Stein 2015, Broughan 2017, and Nahin 2021 give mathematical introductions. Titchmarsh 1986, Ivić 1985, and Karatsuba/Voronin 1992 are advanced monographs.

External links

• Media related to Riemann hypothesis at Wikimedia Commons

• Mathematics portal

• American Institute of Mathematics, Riemann hypothesis
• Zeroes database, 103 800 788 359 zeroes
• Apostol, Tom, Where are the zeros of zeta of s? Poem about the Riemann hypothesis, sung by John Derbyshire.
• Borwein, Peter, The Riemann Hypothesis (PDF), archived from the original (PDF) on 2009-03-27 (Slides for a lecture)
• Conrad, K. (2010), Consequences of the Riemann hypothesis
• Conrey, J. Brian; Farmer, David W, Equivalences to the Riemann hypothesis, archived from the original on 2010-03-16
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2004), Computation of zeros of the Zeta function (Reviews the GUE hypothesis, provides an extensive bibliography as well).
• Odlyzko, Andrew, Home page including papers on the zeros of the zeta function and tables of the zeros of the zeta function
• Odlyzko, Andrew (2002), Zeros of the Riemann zeta function: Conjectures and computations (PDF) Slides of a talk
• Pegg, Ed (2004), Ten Trillion Zeta Zeros, Math Games website, archived from the original on 2004-11-02, retrieved 2004-10-20. A discussion of Xavier Gourdon's calculation of the first ten trillion non-trivial zeros
• Rubinstein, Michael, algorithm for generating the zeros, archived from the original on 2007-04-27.
• du Sautoy, Marcus (2006), Prime Numbers Get Hitched, Seed Magazine, archived from the original on 2017-09-22, retrieved 2006-03-27{{citation}}: CS1 maint: unfit URL (link)
• Watkins, Matthew R. (2021-02-27), Proposed (dis)proofs of the Riemann Hypothesis, archived from the original on December 9, 2022
• Zetagrid (2002) Un proyecto de computación distribuida que intentó refutar la hipótesis de Riemann; cerrado en noviembre de 2005