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Función de Chebyshev

La función de Chebyshev , con x < 50
La función , para x < 10 4
La función , para x < 10 7

En matemáticas , la función de Chebyshev es una función escalarizante ( función de Chebyshev ) o una de dos funciones relacionadas. La primera función de Chebyshev ϑ   ( x ) o θ  ( x ) viene dada por

donde denota el logaritmo natural , con la suma extendiéndose sobre todos los números primos p que son menores o iguales a x .

La segunda función de Chebyshev ψ  ( x ) se define de manera similar, con la suma extendiéndose sobre todas las potencias primas que no excedan  x

donde Λ es la función de von Mangoldt . Las funciones de Chebyshev, especialmente la segunda ψ  ( x ) , se utilizan a menudo en pruebas relacionadas con números primos , porque normalmente es más sencillo trabajar con ellas que con la función de conteo de primos , π  ( x ) (ver la fórmula exacta a continuación). Ambas funciones de Chebyshev son asintóticas a  x , una afirmación equivalente al teorema de los números primos .

La función de Tchebycheff , función de utilidad de Chebyshev o función escalarizadora ponderada de Tchebycheff se utiliza cuando uno tiene varias funciones para minimizar y desea "escalarizarlas" a una sola función:

[1]

Al minimizar esta función para diferentes valores de , se obtiene cada punto en un frente de Pareto , incluso en las partes no convexas. [1] A menudo, las funciones que se deben minimizar no son sino para algunos escalares . Entonces [2]

Las tres funciones llevan el nombre de Pafnuty Chebyshev .

Relaciones

Se puede ver que la segunda función de Chebyshev está relacionada con la primera al escribirla como

donde k es el único entero tal que p kx y x < p k  + 1 . Los valores de k se dan en OEIS : A206722 . Una relación más directa se da por

Esta última suma tiene sólo un número finito de términos no nulos, como

La segunda función de Chebyshev es el logaritmo del mínimo común múltiplo de los números enteros de 1 a  n .

Los valores de mcm(1, 2, ..., n ) para la variable entera n se dan en OEIS : A003418 .

Relaciones entreψ(incógnita)/incógnitayϑ(incógnita)/incógnita

El siguiente teorema relaciona los dos cocientes y . [3]

Teorema: Para , tenemos

Esta desigualdad implica que

En otras palabras, si uno de los dos tiende a un límite , entonces también lo hace el otro, y los dos límites son iguales.

Prueba: Como , encontramos que

Pero de la definición de tenemos la desigualdad trivial

entonces

Por último, divide por para obtener la desigualdad del teorema.

Asintóticas y límites

Se conocen los siguientes límites para las funciones de Chebyshev: [1] [2] (en estas fórmulas p k es el k -ésimo número primo; p 1 = 2 , p 2 = 3 , etc.)

Además, bajo la hipótesis de Riemann ,

para cualquier ε > 0 .

Existen límites superiores tanto para ϑ   ( x ) como para ψ  ( x ) tales que [4] [3]

para cualquier x > 0 .

Una explicación de la constante 1.03883 se da en OEIS : A206431 .

La fórmula exacta

En 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt demostró [4] una expresión explícita para ψ  ( x ) como suma de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann :

(El valor numérico de ζ (0)/ζ  (0) es log(2π) .) Aquí ρ recorre los ceros no triviales de la función zeta, y ψ 0 es lo mismo que ψ , excepto que en sus discontinuidades de salto (las potencias primas) toma el valor intermedio entre los valores de la izquierda y la derecha:

De la serie de Taylor para el logaritmo , el último término de la fórmula explícita puede entenderse como una suma de /ω sobre los ceros triviales de la función zeta, ω = −2, −4, −6, ... , es decir

De manera similar, el primer término, x = x1/1 , corresponde al polo simple de la función zeta en 1. Al ser un polo en lugar de un cero, se explica el signo opuesto del término.

Propiedades

Un teorema de Erhard Schmidt establece que, para alguna constante positiva explícita K , hay infinitos números naturales x tales que

y un número infinito de números naturales x tales que

[5] [6]

En notación o minúscula , lo anterior se puede escribir como

Hardy y Littlewood [7] prueban el resultado más fuerte, que

Relación con los primordiales

La primera función de Chebyshev es el logaritmo del primorial de x , denotado x  # :

Esto demuestra que el primorial x  # es asintóticamente igual a e (1 +  o (1)) x , donde " o " es la notación o minúscula (ver notación O grande ) y junto con el teorema de los números primos establece el comportamiento asintótico de p n  # .

Relación con la función de conteo de primos

La función de Chebyshev se puede relacionar con la función de conteo de primos de la siguiente manera. Definir

Entonces

La transición de Π a la función de conteo de primos , π , se realiza a través de la ecuación

Ciertamente π  ( x ) ≤ x , por lo que, a modo de aproximación, esta última relación puede reformularse en la forma

La hipótesis de Riemann

La hipótesis de Riemann establece que todos los ceros no triviales de la función zeta tienen parte real .1/2 . En este caso, | x ρ | = x , y se puede demostrar que

Por lo anterior, esto implica

Función de suavizado

La diferencia entre la función de Chebyshev suavizada y x2 ​/2 para x < 10 6

La función de suavizado se define como

Obviamente

Notas

  1. ^ ab Joshua Knowles (2 de mayo de 2014). "Conceptos, algoritmos y medidas de rendimiento de optimización multiobjetivo" (PDF) . Universidad de Manchester. pág. 34.
  2. ^ Ho-Huu, V.; Hartjes, S.; Visser, HG; Curran, R. (2018). "Un algoritmo MOEA/D mejorado para problemas de optimización bi-objetivo con frentes de Pareto complejos y su aplicación a la optimización estructural" (PDF) . Sistemas expertos con aplicaciones . Universidad Tecnológica de Delft. Página 6 ecuación (2). doi :10.1016/j.eswa.2017.09.051.
  3. ^ Apostol, Tom M. (2010). Introducción a la teoría analítica de números . Springer. págs. 75–76.
  4. ^ Rosser, J. Barkley ; Schoenfeld, Lowell (1962). "Fórmulas aproximadas para algunas funciones de números primos". Illinois J. Math . 6 : 64–94.

Referencias

Enlaces externos