Fórmulas explícitas para funciones L

En matemáticas , las fórmulas explícitas para funciones L son relaciones entre sumas sobre los ceros de números complejos de una función L y sumas sobre potencias primas , introducidas por Riemann (1859) para la función zeta de Riemann . Estas fórmulas explícitas se han aplicado también a cuestiones sobre la delimitación del discriminante de un campo numérico algebraico y del conductor de un campo numérico .

La fórmula explícita de Riemann

En su artículo de 1859 " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada ", Riemann esbozó una fórmula explícita (no fue completamente probada hasta 1895 por von Mangoldt , ver más abajo) para la función normalizada de conteo de primos π ₀ ( x ), que es relacionado con la función de conteo de primos π ( x ) por ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle \pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}\left[\,\pi (x+h)+\pi (x-h)\,\right]\,,}$

que toma la media aritmética del límite por la izquierda y el límite por la derecha en discontinuidades. ^[a] Su fórmula fue dada en términos de la función relacionada

${\displaystyle f(x)=\pi _{0}(x)+{\frac {1}{2}}\,\pi _{0}(x^{1/2})+{\frac {1}{3}}\,\pi _{0}(x^{1/3})+\cdots }$

en el que una potencia prima p ⁿ cuenta como 1 ⁄ n de un primo. La función de conteo de primos normalizada se puede recuperar de esta función mediante

^[1] ${\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n}{\frac {1}{n}}\,\mu (n)\,f(x^{1/n})=f(x)-{\frac {1}{2}}\,f(x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\,f(x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\,f(x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\,f(x^{1/6})-\cdots ,}$

donde μ ( n ) es la función de Möbius . La fórmula de Riemann es entonces

${\displaystyle f(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log(2)+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{~t\,(t^{2}-1)~\log(t)~}}}$

que involucra una suma sobre los ceros no triviales ρ de la función zeta de Riemann. La suma no es absolutamente convergente , pero puede evaluarse tomando los ceros en orden del valor absoluto de su parte imaginaria. La función li que aparece en el primer término es la función integral logarítmica (sin compensación) dada por el valor principal de Cauchy de la integral divergente.

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\,\log(t)\,}}\,.}$

Los términos li( x ^ρ ) que involucran los ceros de la función zeta necesitan cierto cuidado en su definición ya que li tiene puntos de ramificación en 0 y 1, y se definen mediante continuación analítica en la variable compleja ρ en la región x > 1 y Re( ρ ) > 0 . Los otros términos también corresponden a ceros: el término dominante li( x ) proviene del polo en s = 1 , considerado como un cero de multiplicidad −1, y los términos pequeños restantes provienen de los ceros triviales. Esta fórmula dice que los ceros de la función zeta de Riemann controlan las oscilaciones de los números primos alrededor de sus posiciones "esperadas". (Para gráficos de las sumas de los primeros términos de esta serie, consulte Zagier 1977.)

La primera prueba rigurosa de la fórmula antes mencionada fue dada por von Mangoldt en 1895: comenzó con una prueba de la siguiente fórmula para la función de Chebyshev ψ  ^[2]

${\displaystyle \psi _{0}(x)={\dfrac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }\left(-{\dfrac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\right){\dfrac {x^{s}}{s}}\,ds=x-\sum _{\rho }{\frac {~x^{\rho }\,}{\rho }}-\log(2\pi )-{\dfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2})}$

donde el LHS es una transformada inversa de Mellin con

${\displaystyle \sigma >1\,,\quad \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p\,,\quad {\text{and}}\quad \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0}(\psi (x+h)+\psi (x-h))}$

y el RHS se obtiene a partir del teorema del residuo , para luego convertirlo en la fórmula que realmente esbozó el propio Riemann.

Esta serie también es condicionalmente convergente y la suma sobre ceros debe tomarse nuevamente en orden creciente de parte imaginaria: ^[3]

${\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=\lim _{T\to \infty }S(x,T)}$  dónde  ${\displaystyle S(x,T)=\sum _{\rho :\left|\Im \rho \right|\leq T}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}\,.}$

El error involucrado al truncar la suma a S ( x , T ) es siempre menor que ln( x ) en valor absoluto, y cuando se divide por el logaritmo natural de x , tiene un valor absoluto menor que x ⁄ T dividido por la distancia desde x a la potencia primaria más cercana. ^[4]

La fórmula explícita de Weil

Hay varias formas ligeramente diferentes de expresar la fórmula explícita. ^[5] La forma explícita de André Weil establece

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi (1)+\Phi (0)-\sum _{\rho }\Phi (\rho )\\&=\sum _{p,m}{\frac {\log(p)}{p^{m/2}}}{\Big (}F(\log(p^{m}))+F(-\log(p^{m})){\Big )}-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)\Psi (t)\,dt\end{aligned}}}$

dónde

• ρ recorre los ceros no triviales de la función zeta
• p corre sobre números primos positivos
• m recorre enteros positivos
• F es una función suave cuyas derivadas están disminuyendo rápidamente
• ${\displaystyle \varphi }$es una transformada de Fourier de F : $${\displaystyle \varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{itx}\,dx}$$
• ${\displaystyle \Phi (1/2+it)=\varphi (t)}$
• ${\displaystyle \Psi (t)=-\log(\pi )+\operatorname {Re} (\psi (1/4+it/2))}$, donde está la función digamma Γ ′ /Γ . ${\displaystyle \psi }$

En términos generales, la fórmula explícita dice que la transformada de Fourier de los ceros de la función zeta es el conjunto de potencias primas más algunos factores elementales. Dicho esto, la fórmula surge de que la transformada de Fourier es un operador unitario, de modo que un producto escalar en el dominio del tiempo es igual al producto escalar de las transformadas de Fourier en el dominio de la frecuencia.

Los términos de la fórmula surgen de la siguiente manera.

• Los términos del lado derecho provienen de la derivada logarítmica de con los términos correspondientes al primo p provenientes del factor de Euler de p , y el término al final que involucra Ψ proveniente del factor gamma (el factor de Euler en el infinito). $${\displaystyle \zeta ^{*}(s)=\Gamma (s/2)\pi ^{-s/2}\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$$
• El lado izquierdo es una suma de todos los ceros de ζ  ^* contados con multiplicidades, por lo que los polos en 0 y 1 se cuentan como ceros de orden −1.

La fórmula explícita de Weil puede entenderse así. El objetivo es poder escribir que:

${\displaystyle {\frac {d}{du}}\left[\sum _{n\leq e^{|u|}}\Lambda (n)+{\frac {1}{2}}\ln(1-e^{-2|u|})\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {d\ln(1-e^{-2|u|})}{du}}=e^{u}-\sum _{\rho }e^{\rho u},}$

donde Λ es la función de von Mangoldt .

De modo que la transformada de Fourier de los ceros no triviales es igual a la potencia de los primos simetrizados más un término menor. Por supuesto, las sumas involucradas no son convergentes, pero el truco consiste en usar la propiedad unitaria de la transformada de Fourier, que es que conserva el producto escalar:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(u)g^{*}(u)\,du=\int _{-\infty }^{\infty }F(t)G^{*}(t)\,dt}$

¿Dónde están las transformadas de Fourier ? A primera vista, parece ser una fórmula sólo para funciones, pero de hecho, en muchos casos también funciona cuando es una distribución. Por lo tanto, al establecer dónde está el delta de Dirac y elegir cuidadosamente una función y su transformada de Fourier, obtenemos la fórmula anterior. ${\displaystyle F,G}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g(u)=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\left[\delta (u+\ln n)+\delta (u-\ln n)\right],}$$ ${\displaystyle \delta (u)}$ ${\displaystyle f}$

Fórmulas explícitas para otras funciones aritméticas.

La fórmula de Riemann-Weil ^[6] se puede generalizar a funciones aritméticas distintas a la función de von Mangoldt . Por ejemplo para la función de Möbius tenemos

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(\rho )}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dxg(x)e^{-(2n+1/2)x}.}$

También para la función Liouville tenemos

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (2\rho )}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{\zeta (1/2)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x).}$

Para la función de Euler-Phi, la fórmula explícita dice

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{3x/2}+\sum _{\rho }{\frac {h(\gamma )\zeta (\rho -1)}{\zeta '(\rho )}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (-2n-1)}{\zeta '(-2n)}}\int _{-\infty }^{\infty }dx\,g(x)e^{-x(2n+1/2)}.}$

Suponiendo que la función zeta de Riemann solo tiene ceros simples. En todos los casos la suma está relacionada con la parte imaginaria de los ceros de Riemann y la función h está relacionada con la función de prueba g mediante una transformada de Fourier . ${\textstyle \rho ={\frac {1}{2}}+i\gamma }$ ${\textstyle g(u)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }h(x)\exp(-iux)}$

Para la función divisora ​​de orden cero . ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{0}(n)f(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }f(mn)}$

El uso de una función de prueba de la forma para algún a positivo convierte la fórmula de suma de Poisson en una fórmula que involucra la transformada de Mellin. Aquí y es un parámetro real. ${\displaystyle g(x)=f(ye^{x})e^{ax}}$

Generalizaciones

La función zeta de Riemann se puede reemplazar por una función L de Dirichlet de un carácter de Dirichlet χ. La suma de las potencias primas obtiene factores adicionales de χ ( p ^m ), y los términos Φ(1) y Φ(0) desaparecen porque la serie L no tiene polos. 

De manera más general, la función zeta de Riemann y la serie L pueden reemplazarse por la función zeta de Dedekind de un campo numérico algebraico o una serie L de Hecke . La suma de los primos luego se reemplaza por una suma de los ideales primos.

Aplicaciones

El uso original de Riemann de la fórmula explícita fue dar una fórmula exacta para el número de primos menores que un número dado. Para hacer esto, tome F (log( y )) como y ^1/2 /log( y ) para 0 ≤  y  ≤  x y 0 en otros lugares. Entonces el término principal de la suma de la derecha es el número de primos menores que x . El término principal de la izquierda es Φ (1); que resultan ser los términos dominantes del teorema de los números primos , y la corrección principal es la suma de ceros no triviales de la función zeta. (Existe un problema técnico menor al utilizar este caso, ya que la función F no satisface la condición de suavidad).

Conjetura de Hilbert-Pólya

Según la conjetura de Hilbert-Pólya , los ceros complejos ρ deberían ser los valores propios de algún operador lineal T. La suma de los ceros de la fórmula explícita viene entonces (al menos formalmente) dada por una traza:

${\displaystyle \sum _{\rho }F(\rho )=\operatorname {Tr} (F({\widehat {T}})).\!}$

Weil (1952) desarrolló las fórmulas explícitas para una amplia clase de funciones L, quien fue el primero en extender la idea a las funciones zeta locales y formuló una versión de una hipótesis de Riemann generalizada en este contexto, como una declaración de positividad para una función generalizada sobre un grupo topológico . Un trabajo más reciente de Alain Connes ha ido mucho más allá en el trasfondo del análisis funcional, proporcionando una fórmula de traza cuya validez es equivalente a una hipótesis de Riemann tan generalizada. Meyer (2005) dio un punto de vista ligeramente diferente, quien derivó la fórmula explícita de Weil a través del análisis armónico de espacios adélicos .

Ver también

• Fórmula de traza de Selberg
• Función zeta de Selberg

Notas a pie de página

1. La función de conteo de primos original se puede recuperar fácilmente mediante para todos ${\displaystyle ~\pi (x)=\pi _{0}(x+1)~}$ ${\displaystyle ~x\geq 3~.}$

Referencias

1. Li, Xian-Jin (abril de 2004). "Fórmulas explícitas para funciones $ L $ de Dirichlet y Hecke". Revista de Matemáticas de Illinois . 48 (2): 491–503. doi : 10.1215/ijm/1258138394 . ISSN  0019-2082.
2. Weisstein, Eric W. Fórmula explícita en MathWorld.
3. Ingham (1990) p.77
4. Confundido acerca de la fórmula explícita para ψ0(x)
5. "la fórmula explícita de Riemann-Weil". empslocal.ex.ac.uk . Consultado el 14 de junio de 2023 .
6. "la fórmula explícita de Riemann-Weil". empslocal.ex.ac.uk . Consultado el 14 de junio de 2023 .

• Ingham, AE (1990) [1932], La distribución de números primos , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, vol. 30, reeditado con un prólogo de RC Vaughan (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39789-6, SEÑOR  1074573, Zbl  0715.11045
• Lang, Serge (1994), Teoría algebraica de números , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 110 (2ª ed.), Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-94225-4, Zbl  0811.11001
• Riemann, Bernhard (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Monatsberichte der Berliner Akademie
• Weil, André (1952), "Sur les "formules explicites" de la théorie des nombres premiers" [Sobre las "fórmulas explícitas" en la teoría de los números primos], Comm. Sém. Matemáticas. Univ. Lund [Med. Universidad de Lund. Estera. Sem.] (en francés), Tomo Supplémentaire: 252–265, MR  0053152, Zbl  0049.03205
• von Mangoldt, Hans (1895), "Zu Riemanns Abhandlung "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse"" [Sobre el artículo de Riemann "El número de números primos menores que una magnitud determinada"], Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 114 : 255–305, ISSN  0075-4102, JFM  26.0215.03, MR  1580379
• Meyer, Ralf (2005), "Sobre una representación del grupo de clases idele relacionado con números primos y ceros de funciones L ", Duke Math. J. , 127 (3): 519–595, arXiv : math/0311468 , doi : 10.1215/s0012-7094-04-12734-4, ISSN  0012-7094, MR  2132868, S2CID  119176169, Zbl  1079.11044
• Zagier, Don (1977), "Los primeros 50 millones de números primos", The Mathematical Intelligencer , 1 (T2): 7–19, doi :10.1007/bf03351556, S2CID  37866599

Otras lecturas

• Edwards, HM (1974), Función zeta de Riemann , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 58, Nueva York-Londres: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0, Zbl  0315.10035
• Riesel, Hans (1994), Números primos y métodos informáticos de factorización , Progress in Mathematics, vol. 126 (2ª ed.), Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5, Zbl  0821.11001