Conjetura de correlación de pares de Montgomery

Hugh Montgomery en Oberwolfach en 2008

En matemáticas , la conjetura de correlación de pares de Montgomery es una conjetura hecha por Hugh Montgomery  (1973) de que la correlación de pares entre pares de ceros de la función zeta de Riemann (normalizada para tener un espaciado promedio unitario) es

${\displaystyle 1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{\!2},}$

que, como le señaló Freeman Dyson , es lo mismo que la función de correlación de pares de matrices hermíticas aleatorias .

Conjetura

Suponiendo que la hipótesis de Riemann sea verdadera.

Sea fijo, entonces la conjetura establece ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$

${\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {\#\{(\gamma ,\gamma '):0<\gamma ,\gamma '\leq T{\text{ and }}2\pi \alpha /\log(T)\leq \gamma -\gamma '\leq 2\pi \beta /\log(T)\}}{{\frac {T}{2\pi }}\log {T}}}=\int \limits _{\alpha }^{\beta }1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{2}\mathrm {d} u}$

y donde cada uno es la parte imaginaria de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann , es decir . ${\displaystyle \gamma ,\gamma '}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\gamma }$

Explicación

De manera informal, esto significa que la probabilidad de encontrar un cero en un intervalo muy corto de longitud 2π L /log( T ) a una distancia 2π u /log( T ) de un cero 1/2+ iT es aproximadamente L veces la expresión anterior. (El factor 2π/log( T ) es un factor de normalización que puede considerarse informalmente como el espaciamiento promedio entre ceros con una parte imaginaria sobre T .) Andrew Odlyzko  (1987) demostró que la conjetura estaba respaldada por cálculos informáticos a gran escala de los ceros. La conjetura se ha extendido a correlaciones de más de dos ceros, y también a funciones zeta de representaciones automórficas (Rudnick y Sarnak 1996). En 1982, un estudiante de Montgomery, Ali Erhan Özlük, demostró la conjetura de correlación de pares para algunas de las funciones L de Dirichlet. AE Ozluk (1982)

La conexión con matrices unitarias aleatorias podría llevar a una demostración de la hipótesis de Riemann (RH). La conjetura de Hilbert-Pólya afirma que los ceros de la función Zeta de Riemann corresponden a los valores propios de un operador lineal e implica RH. Algunas personas piensan que este es un enfoque prometedor ( Andrew Odlyzko  (1987)).

Montgomery estaba estudiando la transformada de Fourier F ( x ) de la función de correlación de pares, y demostró (asumiendo la hipótesis de Riemann) que era igual a | x | para | x | < 1. Sus métodos no pudieron determinarla para | x | ≥ 1, pero conjeturó que era igual a 1 para estos x , lo que implica que la función de correlación de pares es como la anterior. También estaba motivado por la noción de que la hipótesis de Riemann no es un muro de ladrillos, y uno debería sentirse libre de hacer conjeturas más sólidas .

Conjetura F(α) o conjetura de correlación de pares fuerte

Sea nuevamente y represente ceros no triviales de la función zeta de Riemann. Montgomery introdujo la función ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\gamma '}$

${\displaystyle F(\alpha ):=F_{T}(\alpha )=\left({\frac {T}{2\pi }}\log(T)\right)^{-1}\sum \limits _{0<\gamma ,\gamma '\leq T}T^{i\alpha (\gamma -\gamma ')}w(\gamma -\gamma ')}$

para y alguna función de peso . ${\displaystyle T>2,\;\alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle w(u):={\tfrac {4}{(4+u^{2})}}}$

Montgomery y Goldston ^[1] demostraron bajo la hipótesis de Riemann, que para esta función converge uniformemente ${\displaystyle |\alpha |\leq 1}$

${\displaystyle F(\alpha )=T^{-2|\alpha |}\log(T)(1+{\mathcal {o}}(1))+|\alpha |+{\mathcal {o}}(1),\quad T\to \infty .}$

Montgomery conjeturó, lo que ahora se conoce como conjetura F(α) o conjetura de correlación de pares fuerte , que para nosotros existe convergencia uniforme ^[2] ${\displaystyle |\alpha |>1}$

${\displaystyle F(\alpha )=1+{\mathcal {o}}(1),\quad T\to \infty }$

porque en un intervalo acotado. ${\displaystyle \alpha }$

Cálculo numérico de Odlyzko

La línea real describe la función de correlación de dos puntos de la matriz aleatoria de tipo GUE. Los puntos azules describen los espaciamientos normalizados de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, los primeros 10 ⁵ ceros.

En la década de 1980, motivado por la conjetura de Montgomery, Odlyzko comenzó un estudio numérico intensivo de las estadísticas de los ceros de ζ( s ). Confirmó la distribución de los espaciamientos entre ceros no triviales utilizando cálculos numéricos detallados y demostró que la conjetura de Montgomery sería verdadera y que la distribución concordaría con la distribución de espaciamientos de los valores propios de la matriz aleatoria GUE utilizando Cray X-MP . En 1987 informó los cálculos en el artículo Andrew Odlyzko  (1987).

Para el cero no trivial, 1/2 + iγ _n , sean los espaciamientos normalizados

${\displaystyle \delta _{n}={\frac {\gamma _{n+1}-\gamma _{n}}{2\pi }}\,{\log {\frac {\gamma _{n}}{2\pi }}}.}$

Entonces esperaríamos la siguiente fórmula como límite para : ${\displaystyle M,N\to \infty }$

${\displaystyle {\frac {1}{M}}\{(n,k)\mid N\leq n\leq N+M,\,k\geq 0,\,\delta _{n}+\delta _{n+1}+\cdots +\delta _{n+k}\in [\alpha ,\beta ]\}\sim \int _{\alpha }^{\beta }\left(1-{\biggl (}{\frac {\sin {\pi u}}{\pi u}}{\biggr )}^{2}\right)du}$

Basándose en un nuevo algoritmo desarrollado por Odlyzko y Arnold Schönhage que les permitió calcular un valor de ζ(1/2 + i t ) en un tiempo promedio de t ^ε pasos, Odlyzko calculó millones de ceros a alturas de alrededor de 10 ²⁰ y proporcionó cierta evidencia para la conjetura GUE. ^{[3] [4]}

La figura contiene los primeros 10 ⁵ ceros no triviales de la función zeta de Riemann. Cuantos más ceros se muestrean, más se aproxima su distribución a la forma de la matriz aleatoria GUE.

Véase también

• Par de Lehmer

Referencias

1. Goldston, DA; Montgomery, HL (1987). "Correlación de pares de ceros y primos en intervalos cortos". En Adolphson, AC; Conrey, JB; Ghosh, A.; Yager, RI (eds.). Teoría analítica de números y problemas diofánticos . Progress in Mathematics. Vol. 70. Birkhäuser Boston. págs. 183–203. doi :10.1007/978-1-4612-4816-3_10. ISBN 978-1-4612-9173-2.
2. Carneiro, Emanuel; Chandée, Vorrapan; Chirre, Andrés; Milinovich, Micah B. (febrero de 2022). "Sobre la conjetura de correlación de pares de Montgomery: una historia de tres integrales". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Diario de Crelle) (786). Walter de Gruyter (GmbH): 205–243. arXiv : 2108.09258 . doi :10.1515/crelle-2021-0084.
3. AM Odlyzko, "El 10 ²⁰ -ésimo cero de la función zeta de Riemann y 70 millones de sus vecinos", AT&T Bell Lab. Preimpresión (1989)
4. M. Mehta (1990), cap. 1

• Ozluk, AE (1982), Correlación de pares de ceros de funciones L de Dirichlet , Tesis doctoral, Ann Arbor: Univ. de Michigan, MR  2632180
• Katz, Nicholas M. ; Sarnak, Peter (1999), "Ceros de funciones zeta y simetría", Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 36 (1): 1–26, doi : 10.1090/S0273-0979-99-00766-1 , ISSN  0002-9904, MR  1640151
• Montgomery, Hugh L. (1973), "La correlación de pares de ceros de la función zeta", Teoría analítica de números , Proc. Sympos. Pure Math., vol. XXIV, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 181–193, MR  0337821
• Odlyzko, AM (1987), "Sobre la distribución de los espaciamientos entre ceros de la función zeta", Mathematics of Computation , 48 (177): 273–308, doi : 10.2307/2007890 , ISSN  0025-5718, JSTOR  2007890, MR  0866115
• Rudnick, Zeév; Sarnak, Peter (1996), "Ceros de funciones L principales y teoría de matrices aleatorias", Duke Mathematical Journal , 81 (2): 269–322, doi :10.1215/S0012-7094-96-08115-6, ISSN  0012-7094, MR  1395406