Marcel Riesz

Matemático húngaro

Marcel Riesz ( en húngaro : Riesz Marcell [ˈriːs ˈmɒrt͡sɛll] ; 16 de noviembre de 1886 - 4 de septiembre de 1969) fue un matemático húngaro , conocido por su trabajo sobre métodos de suma , teoría del potencial y otras partes del análisis , así como teoría de números , ecuaciones diferenciales parciales y álgebras de Clifford . Pasó la mayor parte de su carrera en Lund , Suecia .

Marcel es el hermano menor de Frigyes Riesz , quien también fue un matemático importante y en ocasiones trabajaron juntos (ver Teorema de F. y M. Riesz ).

Biografía

Marcel Riesz nació en Győr , Austria-Hungría . Era el hermano menor del matemático Frigyes Riesz . En 1904, ganó el concurso Loránd Eötvös. ^[1] Tras ingresar en la Universidad de Budapest , también estudió en Gotinga, y el año académico 1910-11 lo pasó en París. Antes, en 1908, asistió al Congreso Internacional de Matemáticos de 1908 en Roma. Allí conoció a Gösta Mittag-Leffler , quien en tres años le ofrecería a Riesz venir a Suecia. ^[2]

Riesz obtuvo su doctorado en la Universidad Eötvös Loránd bajo la supervisión de Lipót Fejér . En 1911 se trasladó a Suecia, donde de 1911 a 1925 enseñó en la Universidad de Estocolmo .

De 1926 a 1952 fue profesor en la Universidad de Lund . Según Lars Gårding , Riesz llegó a Lund como una reconocida estrella de las matemáticas y, por un tiempo, su nombramiento pudo parecer un exilio. De hecho, en ese momento no había una escuela de matemáticas establecida en Lund. Sin embargo, Riesz logró cambiar el rumbo y hacer que el ambiente académico fuera más activo. ^{[3] [2]}

Jubilado de la Universidad de Lund , pasó 10 años en universidades de Estados Unidos. Como profesor investigador visitante trabajó en Maryland, Chicago, etc. ^{[3] [2]}

Tras diez años de intenso trabajo y poco descanso, sufrió una crisis nerviosa. Riesz regresó a Lund en 1962. Tras una larga enfermedad, falleció allí en 1969. ^{[3] [2]}

Riesz fue elegido miembro de la Real Academia Sueca de Ciencias en 1936. ^[3]

Trabajo matemático

Análisis clásico

El trabajo de Riesz como alumno de Fejér en Budapest estuvo dedicado a las series trigonométricas :

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left\{a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right\}.\,}$

Uno de sus resultados afirma que si

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|a_{n}|+|b_{n}|}{n^{2}}}<\infty ,\,}$

y si las medias de Fejer de la serie tienden a cero, entonces todos los coeficientes a _n y b _n son cero. ^[1]

Sus resultados sobre la sumabilidad de series trigonométricas incluyen una generalización del teorema de Fejér a medias de Cesàro de orden arbitrario. ^[4] También estudió la sumabilidad de series de potencias y de Dirichlet , y fue coautor de un libro Hardy & Riesz (1915) sobre estas últimas con GH Hardy . ^[1]

En 1916, introdujo la fórmula de interpolación de Riesz para polinomios trigonométricos , lo que le permitió dar una nueva prueba de la desigualdad de Bernstein . ^[5]

También introdujo la función de Riesz Riesz( x ), y demostró que la hipótesis de Riemann es equivalente al límite {{{1}}} cuando x → ∞, para cualquier ε > 0. ^[6]

Junto con su hermano Frigyes Riesz , demostró el teorema de F. y M. Riesz , que implica, en particular, que si μ es una medida compleja en el círculo unitario tal que

${\displaystyle \int z^{n}d\mu (z)=0,n=1,2,3\cdots ,\,}$

entonces la variación | μ | de μ y la medida de Lebesgue en el círculo son mutuamente absolutamente continuas . ^{[5] [7]}

Métodos analítico-funcionales

Parte del trabajo analítico de Riesz en la década de 1920 utilizó métodos de análisis funcional .

A principios de la década de 1920, trabajó en el problema del momento , al que introdujo el enfoque teórico del operador al demostrar el teorema de extensión de Riesz (que precedió al teorema de Hahn-Banach, estrechamente relacionado ). ^{[8] [9]}

Más tarde, ideó un teorema de interpolación para demostrar que la transformada de Hilbert es un operador acotado en L p (1 < p < ∞). La generalización del teorema de interpolación realizada por su alumno Olaf Thorin se conoce ahora como el teorema de Riesz-Thorin . ^{[2] [10]}

Riesz también estableció, independientemente de Andrey Kolmogorov , lo que ahora se llama el criterio de compacidad de Kolmogorov-Riesz en L _p : un subconjunto K  ⊂ L _p ( R ⁿ ) es precompacto si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes: (a) K está acotado;

(b) para cada ε > 0 existe R > 0 de modo que

${\displaystyle \int _{|x|>R}|f(x)|^{p}dx<\epsilon ^{p}\,}$

para cada f ∈ K ;

(c) para cada ε > 0 existe ρ > 0 de modo que

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x+y)-f(x)|^{p}dx<\epsilon ^{p}\,}$

para cada y ∈ R ⁿ con | y | <  ρ , y cada f ∈ K . ^[11]

Teoría del potencial, ecuaciones diferenciales parciales y álgebras de Clifford

Después de 1930, los intereses de Riesz se desplazaron hacia la teoría de potenciales y ecuaciones diferenciales parciales . Hizo uso de "potenciales generalizados", generalizaciones de la integral de Riemann-Liouville . ^[2] En particular, Riesz descubrió el potencial de Riesz , una generalización de la integral de Riemann-Liouville a una dimensión mayor que uno. ^[3]

En los años 1940 y 1950, Riesz trabajó en las álgebras de Clifford . Sus notas de clase de 1958, cuya versión completa no se publicó hasta 1993 (Riesz (1993)), fueron calificadas por el físico David Hestenes como "la partera del renacimiento" de las álgebras de Clifford. ^[12]

Estudiantes

Los estudiantes de doctorado de Riesz en Estocolmo incluyen a Harald Cramér y Einar Carl Hille . ^[3] En Lund, Riesz supervisó las tesis de Otto Frostman , Lars Gårding , Lars Hörmander y Olof Thorin . ^[2]

Publicaciones

• Hardy, GH ; Riesz, M. (1915). La teoría general de las series de Dirichlet. Cambridge University Press. JFM  45.0387.03.
• Riesz, Marcel (1988). Documentos recopilados. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-18115-6.Sr. 0962287  .
• Riesz, Marcel (1993) [1958]. Números de Clifford y espinores. Teorías fundamentales de la física. Vol. 54. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. ISBN 978-0-7923-2299-3.Señor 1247961  .

Referencias

1. Horváth, Jean (1982). "L'œuvre mathématique de Marcel Riesz. I" [La obra matemática de Marcel Riesz. I]. Actas del Seminario de Historia de las Matemáticas (en francés). 3 : 83–121. MR  0651728.
2. Peetre, Jaak (1988). Espacios de funciones y aplicaciones (Lund, 1986). Lecture Notes in Math. Vol. 1302. Berlín: Springer. págs. 1–10. doi :10.1007/BFb0078859. MR  0942253.
3. Gårding, Lars (1970). "Marcel Riesz in memoriam". Acta Mathematica . 124 : x–xi. doi : 10.1007/BF02394565 . ISSN  0001-5962. MR  0256837.
4. Teorema III.5.1 en Zygmund, Antoni (1968). Series trigonométricas (2.ª ed.). Cambridge University Press (publicado en 1988). ISBN 978-0-521-35885-9.Sr. 0933759  .
5. Horvath, Jean (1983). "L'œuvre mathématique de Marcel Riesz. II" [La obra matemática de Marcel Riesz. II]. Actas del Seminario de Historia de las Matemáticas (en francés). 4 : 1–59. MR  0704360. Zbl  0508.01015.
6. §14.32 en Titchmarsh, EC (1986). La teoría de la función zeta de Riemann (Segunda edición). Nueva York: The Clarendon Press, Oxford University Press. ISBN 0-19-853369-1.Sr. 0882550  .
7. Putnam, CR (1980). "El teorema de F. y M. Riesz revisitado". Teoría de operadores de ecuaciones integrales . 3 (4): 508–514. doi :10.1007/bf01702313. MR  0595749. S2CID  121969600.
8. Kjeldsen, Tinne Hoff (1993). "La historia temprana del problema del momento". Historia de las Matemáticas . 20 (1): 19–44. doi : 10.1006/hmat.1993.1004 . SEÑOR  1205676.
9. Akhiezer, NI (1965). El problema del momento clásico y algunas cuestiones relacionadas en el análisis . Oliver y Boyd.
10. Gårding, Lars (1997). Algunos puntos de análisis y su historia . Serie de conferencias universitarias. Vol. 11. Providence, RI: American Mathematical Society. págs. 31–35. ISBN 0-8218-0757-9.Sr. 1469493  .
11. Hanche-Olsen, Harald; Holden, Helge (2010). "El teorema de compacidad de Kolmogorov-Riesz". Exposiciones Mathematicae . 28 (4): 385–394. arXiv : 0906.4883 . doi : 10.1016/j.exmath.2010.03.001. SEÑOR  2734454.
12. Hestenes, David (2011). "El legado de Grassmann". En Petsche, Hans-Joachim; Lewis, Albert C.; Liesen, Jörg; Russ, Steve (eds.). Del pasado al futuro: la obra de Grassmann en el contexto de la conferencia del bicentenario de Grassmann (PDF) . Springer.

Enlaces externos

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Marcel Riesz", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews
• Marcel Riesz en el Proyecto de Genealogía Matemática