Stanislaw Knapowski

Matemático polaco

Stanisław Knapowski (19 de mayo de 1931 – 28 de septiembre de 1967) fue un matemático polaco que trabajó en el campo de los números primos y la teoría de números . Knapowski publicó 53 artículos a pesar de morir con tan solo 36 años. ^[1]

Vida y educación

Stanisław Knapowski era hijo de Zofia Krysiewicz y Roch Knapowski. Su padre, Roch Knapowski, era abogado en Poznań, pero más tarde enseñó en la Universidad de Poznań . La familia se mudó a la provincia de Kielce , en el sureste de Polonia, después de la invasión alemana de 1939, pero regresó a Poznań después de la guerra. ^[1]

Stanisław terminó sus estudios de bachillerato en 1949, destacando en matemáticas, y continuó sus estudios en la Universidad de Poznań. Más tarde, en 1952, continuó sus estudios en la Universidad de Wrocław y obtuvo su maestría en 1954.

Knapowski fue nombrado asistente en la Universidad Adam Mickiewicz de Poznań bajo la dirección de Władysław Orlicz y trabajó para obtener su doctorado. Estudió bajo la dirección de Pál Turán comenzando en Lublin en 1956. Publicó muchos de sus artículos con Turán y Turán escribió una breve biografía de su vida y obra en 1971 después de su muerte. ^[2] Knapowski comenzó a trabajar en esta área y terminó su doctorado en 1957 “Zastosowanie metod Turaná w analitycznej teorii liczb” (“Ciertas aplicaciones de los métodos de Turan en la teoría analítica de números”).

Knapowski pasó un año en Cambridge, donde trabajó con Louis J. Mordell y asistió a clases de JWS Cassels y Albert Ingham . Visitó Bélgica, Francia y los Países Bajos.

Knapowski regresó a Poznań para terminar otra tesis para completar una calificación postdoctoral necesaria para dar clases en una universidad alemana. ^{[1] [2]} "Sobre nuevas "fórmulas explícitas " en la teoría de números primos" en 1960. ^[3] En 1962 la Sociedad Matemática Polaca le otorgó su Premio Mazurkiewicz y se trasladó a la Universidad de Tulane en Nueva Orleans , Estados Unidos. Después de un regreso muy breve a Polonia, se fue de nuevo y enseñó en Marburgo en Alemania, Gainesville, Florida y Miami, Florida . ^{[2] [4]}

Vida personal; y muerte

Knapowski era un buen pianista clásico y un ávido conductor. Murió en un accidente de tráfico en el que perdió el control de su coche al salir del aeropuerto de Miami. ^[2]

Trabajar

Knapowski amplió el trabajo de otros en varios campos de la teoría de números , el teorema de los números primos , la aritmética modular y la geometría no euclidiana .

Número de veces que Δ(norte) el signo primo cambia

El error relativo de y la integral logarítmica como aproximaciones a la función de conteo de primos . Ambos errores relativos disminuyen a cero a medida que crece, pero la convergencia a cero es mucho más rápida para la integral logarítmica. ${\displaystyle {\tfrac {n}{\log n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Li} (n)}$ ${\displaystyle n}$

Los matemáticos trabajan en pruebas de primalidad para desarrollar formas más sencillas de encontrar números primos cuando encontrarlos por división de prueba no es práctico. Esto tiene muchas aplicaciones en ciberseguridad. No existe una fórmula para calcular números primos. Sin embargo, la distribución de primos se puede modelar estadísticamente. El teorema de los números primos , que se demostró a fines del siglo XIX, dice que la probabilidad de que un número elegido al azar sea primo es inversamente proporcional a su número de dígitos ( logaritmo ). A principios del siglo XIX, Adrien-Marie Legendre y Carl Friedrich Gauss sugirieron que a medida que se hace grande, el número de primos hasta se acerca asintóticamente a , donde es el logaritmo natural de . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x/\log x}$ ${\displaystyle \log x}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \operatorname {li} (n)=\int _{0}^{n}{\frac {dt}{\log t}}}$

donde la integral se evalúa en , también se ajusta a la distribución. ${\displaystyle t=n}$

La función de conteo de primos se define como el número de primos no mayor que . ^[5] ${\displaystyle \pi (n)}$ ${\displaystyle n}$

Y ${\displaystyle \Delta (n)=\pi (n)-\operatorname {li} (n)}$

Bernhard Riemann afirmó que siempre era negativo, pero JE Littlewood lo desmintió más tarde. En 1914, JE Littlewood demostró que hay valores arbitrariamente grandes de x para los cuales ${\displaystyle \Delta (n)}$

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {Li} (x)+{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x,}$

y que también hay valores arbitrariamente grandes de x para los cuales

${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {Li} (x)-{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x.}$

Por lo tanto, la diferencia π ( x ) − Li( x ) cambia de signo infinitas veces.

Stanley Skewes luego agregó un límite superior al número natural más pequeño : ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}$

Knapowski continuó con este tema y publicó un artículo sobre el número de veces que cambia el signo en el intervalo . ^[6] ${\displaystyle \Delta (n)}$ ${\displaystyle \Delta (n)}$

Aritmética modular

Knapowski trabajó en otras áreas de la teoría de números . Una de ellas era la distribución de números primos en diferentes clases de residuos módulo . ${\displaystyle k}$

La aritmética modular modifica la aritmética habitual utilizando únicamente los números , para un número natural llamado módulo. Cualquier otro número natural puede ser representado en este sistema reemplazándolo por su residuo después de la división por . ^[7] ${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

La distribución de los números primos parece aleatoria, sin un patrón. Tome una lista de números primos consecutivos y divídalos por otro primo (como 7) y conserve sólo el resto (esto se llama reducirlos módulo 7). El resultado es una secuencia de números enteros del 1 al 6. Knapowski trabajó para determinar los parámetros de esta distribución modular ^[8]

Otras áreas de investigación

• Geometría no euclidiana ^[9]
• Sobre los números primos en progresión aritmética ^[10]
• Función de Möbius ^[11]
• Sobre un teorema de Hecke ^[12]
• Sobre el teorema de Linnik relativo a los L-ceros excepcionales” (1961)
• Teoría comparativa de números primos ^[8]
• Sobre el teorema de Siegel ^[13]

Referencias

1. "Biografía de Stanislaw Knapowski". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk . Archivado desde el original el 8 de julio de 2018 . Consultado el 4 de enero de 2019 .
2. Turán, Paul (1971). "Stanisław Knapowski (19 V 193 - 28 IX 1967)". Coloquio Mathematicum . 23 (2): 309–321. doi : 10.4064/cm-23-2-309-321 . ISSN  0010-1354.
3. Knapowski, Stanisław (1960). «Sobre nuevas «fórmulas explícitas» en la teoría de números primos II» (PDF) . Acta Arithmetica . 6 : 23–35. doi :10.4064/aa-6-1-23-35. Archivado (PDF) desde el original el 23 de julio de 2018. Consultado el 9 de enero de 2019 .
4. Browkin, J. (2017). "Stanisław Knapowski". Wiadomości Matematyczne . 14 (1). doi : 10.14708/wm.v14i1.1966. ISSN  2543-991X.
5. Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2012) [2001]. Números primos: una perspectiva computacional . Springer. pág. 5. ISBN 9781468493160.
6. Knapowski, Stanisław (1962). "Sobre los cambios de signo de la diferencia π(x)-li(x)". Acta Arithmetica . 7 (2): 107–119. doi : 10.4064/aa-7-2-107-119 . ISSN  0065-1036.
7. Kraft, James S.; Washington, Lawrence C. (2014). Teoría elemental de números. Libros de texto de matemáticas. CRC Press. p. 96, Proposición 5.3. ISBN 978-1-4987-0269-0.
8. Knapowski, Stanisław (1955). "Sobre los mayores factores primos de ciertos productos". Annales Polonici Mathematici . 2 (1): 56–63. doi : 10.4064/ap-2-1-56-63 . ISSN  0066-2216.
9. Coxeter, HSM; Kulczycki, S.; Knapowski, S. (1962). "Geometría no euclidiana". The American Mathematical Monthly . 69 (9): 937. doi :10.2307/2311278. ISSN  0002-9890. JSTOR  2311278.
10. Knapowski, Estanislao (1958). "Sobre números primos en progresión aritmética". Acta Aritmética . 4 (1): 57–70. doi :10.4064/aa-4-1-57-70. ISSN  0065-1036.
11. Knapowski, Estanislao (1958). "Sobre la función de Möbius". Acta Aritmética . 4 (3): 209–216. doi :10.4064/aa-4-3-209-216. ISSN  0065-1036.
12. Knapowski, S. (1969). "Sobre un teorema de Hecke". Journal of Number Theory . 1 (2): 235–251. Bibcode :1969JNT.....1..235K. doi : 10.1016/0022-314X(69)90043-2 . ​​ISSN  0022-314X.
13. Knapowski, Stanisław (1968). "Sobre el teorema de Siegel". Acta Aritmética . 14 (4): 417–424. doi : 10.4064/aa-14-4-417-424 . ISSN  0065-1036.