Anatoli Karatsuba

Matemático ruso (1937-2008)

Anatoly Alexeyevich Karatsuba (su primer nombre a menudo escrito Anatolii ) ( en ruso : Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба ; Grozni , Unión Soviética , 31 de enero de 1937 - Moscú , Rusia , 28 de septiembre de 2008 ^[1] ) fue un matemático ruso que trabajó en el campo de la teoría analítica de números , números p -ádicos y series de Dirichlet .

Durante la mayor parte de su vida estudiantil y profesional estuvo asociado con la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú , defendiendo allí un doctorado titulado "El método de sumas trigonométricas y teoremas de valores intermedios" en 1966. ^[2] Más tarde ocupó un puesto en el Instituto Steklov de Matemáticas de la Academia de Ciencias . ^[2]

Su libro de texto Fundamentos de la teoría analítica de números tuvo dos ediciones, en 1975 y 1983. ^[2]

El algoritmo Karatsuba es el algoritmo de dividir y vencer para la multiplicación más antiguo conocido y sigue siendo un caso especial de su generalización directa, el algoritmo de Toom-Cook . ^[3]

Los principales trabajos de investigación de Anatoly Karatsuba fueron publicados en más de 160 artículos de investigación y monografías. ^[4]

Su hija, Yekaterina Karatsuba, también matemática, construyó el método FEE .

Trabajo en informática

Como estudiante de la Universidad Estatal de Moscú Lomonosov, Karatsuba asistió al seminario de Andrey Kolmogorov y encontró soluciones a dos problemas planteados por Kolmogorov. Esto fue esencial para el desarrollo de la teoría de autómatas y dio inicio a una nueva rama de las matemáticas, la teoría de algoritmos rápidos.

Autómatas

En el artículo de Edward F. Moore ^[5] , un autómata (o máquina) se define como un dispositivo con estados, símbolos de entrada y símbolos de salida. Se demuestran nueve teoremas sobre la estructura de y se realizan experimentos con él . Más tarde, estas máquinas recibieron el nombre de máquinas de Moore . Al final del artículo, en el capítulo «Nuevos problemas», Moore formula el problema de mejorar las estimaciones que obtuvo en los teoremas 8 y 9: ${\displaystyle (n;m;p)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Teorema 8 (Moore). Dada una máquina arbitraria , tal que cada dos estados pueden distinguirse entre sí, existe un experimento de longitud que identifica el estado de al final de este experimento. ${\displaystyle (n;m;p)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle S}$

En 1957 Karatsuba demostró dos teoremas que resolvieron completamente el problema de Moore al mejorar la estimación de la duración del experimento en su Teorema 8 .

Teorema A (Karatsuba). Si una máquina es tal que cada uno de sus dos estados se puede distinguir entre sí, entonces existe un experimento ramificado de longitud como máximo , mediante el cual se puede hallar el estado al final del experimento. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (n;m;p)}$ ${\displaystyle (n-1)(n-2)/2+1}$ ${\displaystyle S}$

Teorema B (Karatsuba). Existe una máquina cuyos estados se pueden distinguir entre sí, de modo que la duración del experimento más corto para hallar el estado de la máquina al final del experimento es igual a . ${\displaystyle (n;m;p)}$ ${\displaystyle (n-1)(n-2)/2+1}$

Estos dos teoremas fueron demostrados por Karatsuba en su cuarto año como base de su proyecto de cuarto año; el artículo correspondiente fue enviado a la revista "Uspekhi Mat. Nauk" el 17 de diciembre de 1958 y publicado en junio de 1960. ^[6] Hasta el día de hoy (2011) este resultado de Karatsuba que más tarde adquirió el título de "teorema de Moore-Karatsuba", sigue siendo el único resultado no lineal preciso (el único orden no lineal preciso de la estimación) tanto en la teoría de autómatas como en los problemas similares de la teoría de la complejidad de los cálculos.

Trabajo sobre teoría de números

Los principales trabajos de investigación de AA Karatsuba se publicaron en más de 160 artículos de investigación y monografías. ^{[7] [8] [9] [10]}

Elpag-método ádico

AAKaratsuba construyó un nuevo método -ádico en la teoría de sumas trigonométricas. ^[11] Las estimaciones de las llamadas sumas de la forma ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle S=\sum _{x=1}^{P}e^{2\pi i(a_{1}x/p^{n}+\cdots +a_{n}x^{n}/p)},\quad (a_{s},p)=1,\quad 1\leq s\leq n,}$

condujo ^[12] a los nuevos límites para los ceros de la serie de Dirichlet módulo una potencia de un número primo, a la fórmula asintótica para el número de congruencia de Waring de la forma ${\displaystyle L}$

${\displaystyle x_{1}^{n}+\dots +x_{t}^{n}\equiv N{\pmod {p^{k}}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq n,\quad P<p^{k},}$

a una solución del problema de distribución de partes fraccionarias de un polinomio con coeficientes enteros módulo . AA Karatsuba fue el primero en realizar ^[13] en la forma -ádica el «principio de incrustación» de Euler-Vinogradov y calcular un análogo -ádico de los números de Vinogradov al estimar el número de soluciones de una congruencia del tipo Waring. ${\displaystyle p^{k}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u}$

Supóngase que : y además : donde es un número primo. Karatsuba demostró que en ese caso para cualquier número natural existe un tal que para cualquier todo número natural puede representarse en la forma (1) para , y para existen tales que la congruencia (1) no tiene soluciones. ${\displaystyle x_{1}^{n}+\dots +x_{t}^{n}\equiv N{\pmod {Q}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq t,\quad (1)}$ ${\displaystyle P^{r}\leq Q<P^{r+1},\quad 1\leq r\leq {\frac {1}{12}}{\sqrt {n}},\quad Q=p^{k},\quad k\geq 4(r+1)n,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n\geq 144}$ ${\displaystyle p_{0}=p_{0}(n)}$ ${\displaystyle p_{0}>p_{0}(n)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle t\geq 20r+1}$ ${\displaystyle t<r}$ ${\displaystyle N}$

Este nuevo enfoque, descubierto por Karatsuba, condujo a una nueva prueba -ádica del teorema del valor medio de Vinogradov , que desempeña el papel central en el método de sumas trigonométricas de Vinogradov. ${\displaystyle p}$

Otro componente del método -ádico de AA Karatsuba es la transición de sistemas de ecuaciones incompletos a sistemas completos a expensas del cambio -ádico local de incógnitas. ^[14] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Sea un número natural arbitrario, . Determinar un entero mediante las desigualdades . Considerar el sistema de ecuaciones ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1\leq r\leq n}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m_{t}\leq r\leq m_{t+1}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}^{m_{1}}+\dots +x_{k}^{m_{1}}=y_{1}^{m_{1}}+\dots +y_{k}^{m_{1}}\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\x_{1}^{m_{s}}+\dots +x_{k}^{m_{s}}=y_{1}^{m_{s}}+\dots +y_{k}^{m_{s}}\\x_{1}^{n}+\dots +x_{k}^{n}=y_{1}^{n}+\dots +y_{k}^{n}\end{cases}}}$

${\displaystyle 1\leq x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\leq P,\quad 1\leq m_{1}<m_{2}<\dots <m_{s}<m_{s+1}=n.}$

Karatsuba demostró que el número de soluciones de este sistema de ecuaciones para satisface la estimación ${\displaystyle I_{k}}$ ${\displaystyle k\geq 6rn\log n}$

${\displaystyle I_{k}\ll P^{2k-\delta },\quad \delta =m_{1}+\dots +m_{t}+(s-t+1)r.}$

Para sistemas de ecuaciones incompletos, en los que las variables pasan por números con divisores primos pequeños, Karatsuba aplicó la traducción multiplicativa de variables. Esto condujo a una estimación esencialmente nueva de las sumas trigonométricas y a un nuevo teorema del valor medio para tales sistemas de ecuaciones.

El problema de Hua Luogeng sobre el exponente de convergencia de la integral singular en el problema de Terry

${\displaystyle p}$El método -ádico de AAKaratsuba incluye las técnicas de estimación de la medida del conjunto de puntos con valores pequeños de funciones en términos de los valores de sus parámetros (coeficientes, etc.) y, a la inversa, las técnicas de estimación de esos parámetros en términos de la medida de este conjunto en las métricas reales y -ádicas. Este aspecto del método de Karatsuba se manifestó especialmente claro en la estimación de integrales trigonométricas, lo que llevó a la solución del problema de Hua Luogeng . En 1979 Karatsuba, junto con sus estudiantes GI Arkhipov y VN Chubarikov obtuvieron una solución completa ^[15] del problema de Hua Luogeng de encontrar el exponente de convergencia de la integral: ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \vartheta _{0}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int \limits _{0}^{1}e^{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\cdots +\alpha _{1}x)}dx{\biggr |}^{2k}d\alpha _{n}\ldots d\alpha _{1},}$

donde es un número fijo. ${\displaystyle n\geq 2}$

En este caso, el exponente de convergencia significa el valor , tal que converge para y diverge para , donde es arbitrariamente pequeño. Se demostró que la integral converge para y diverge para . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \vartheta _{0}}$ ${\displaystyle 2k>\gamma +\varepsilon }$ ${\displaystyle 2k<\gamma -\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \vartheta _{0}}$ ${\displaystyle 2k>{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n)+1}$ ${\displaystyle 2k\leq {\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n)+1}$

Al mismo tiempo, se resolvió un problema similar para la integral: donde son números enteros que satisfacen las condiciones: ${\displaystyle \vartheta _{1}=\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int _{0}^{1}e^{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\alpha _{m}x^{m}+\cdots +\alpha _{r}x^{r})}dx{\biggr |}^{2k}d\alpha _{n}d\alpha _{m}\ldots d\alpha _{r},}$ ${\displaystyle n,m,\ldots ,r}$ ${\displaystyle 1\leq r<\ldots <m<n,\quad r+\ldots +m+n<{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

Karatsuba y sus estudiantes demostraron que la integral converge, si y diverge, si . ${\displaystyle \vartheta _{1}}$ ${\displaystyle 2k>n+m+\ldots +r}$ ${\displaystyle 2k\leq n+m+\ldots +r}$

Las integrales y surgen en el estudio del llamado problema de Prouhet-Tarry-Escott . Karatsuba y sus estudiantes obtuvieron una serie de nuevos resultados relacionados con el análogo multidimensional del problema de Tarry. En particular, demostraron que si es un polinomio en variables ( ) de la forma : con el término libre cero, , es el vector -dimensional, que consiste en los coeficientes de , entonces la integral : converge para , donde es el mayor de los números . Este resultado, al no ser definitivo, generó una nueva área en la teoría de integrales trigonométricas, relacionada con la mejora de los límites del exponente de convergencia (IA Ikromov, MA Chahkiev y otros). ${\displaystyle \vartheta _{0}}$ ${\displaystyle \vartheta _{1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\geq 2}$ ${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{r})\,=\,\sum \limits _{\nu _{1}=0}^{n_{1}}\cdots \sum \limits _{\nu _{r}=0}^{n_{r}}\alpha (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})x_{1}^{\nu _{1}}\ldots x_{r}^{\nu _{r}},}$ ${\displaystyle m=(n_{1}+1)\ldots (n_{r}+1)-1}$ ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \vartheta _{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int \limits _{0}^{1}\cdots \int \limits _{0}^{1}e^{2\pi iF(x_{1},\ldots ,x_{r})}dx_{1}\ldots dx_{r}{\biggr |}^{2k}d{\bar {\alpha }}}$ ${\displaystyle 2k>mn}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$ ${\displaystyle \vartheta _{2}}$

Sumas trigonométricas múltiples

En 1966-1980, Karatsuba desarrolló ^{[16] [17]} (con la participación de sus estudiantes GI Arkhipov y VN Chubarikov) la teoría de las sumas trigonométricas múltiples de Hermann Weyl , es decir, las sumas de la forma

${\displaystyle S=S(A)=\sum _{x_{1}=1}^{P_{1}}\dots \sum _{x_{r}=1}^{P_{r}}e^{2\pi iF(x_{1},\dots ,x_{r})}}$, dónde , ${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{r})=\sum _{t_{1}=1}^{n_{1}}\dots \sum _{t_{r}=1}^{n_{r}}\alpha (t_{1},\dots ,t_{r})x_{1}^{t_{1}}\dots x_{r}^{t_{r}}}$

${\displaystyle A}$es un sistema de coeficientes reales . El punto central de esa teoría, como en la teoría de las sumas trigonométricas de Vinogradov, es el siguiente teorema del valor medio . ${\displaystyle \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})}$

Sean números naturales, , . Además, sea el cubo de dimensión 1 de la forma :: , , en el espacio euclidiano : y :: . : Entonces, para cualquier y el valor se puede estimar de la siguiente manera ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r},P_{1},\dots ,P_{r}}$ ${\displaystyle P_{1}=\min(P_{1},\dots ,P_{r})}$ ${\displaystyle m=(n_{1}+1)\dots (n_{r}+1)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 0\leq \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})<1}$ ${\displaystyle 0\leq t_{1}\leq n_{1},\dots ,0\leq t_{r}\leq n_{r}}$ ${\displaystyle J=J(P_{1},\dots ,P_{r};n_{1},\dots ,n_{r};K,r)={\underset {\Omega }{\int \dots \int }}|S(A)|^{2K}dA}$ ${\displaystyle \tau \geq 0}$ ${\displaystyle K\geq K_{\tau }=m\tau }$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J\leq K_{\tau }^{2m\tau }\varkappa ^{4\varkappa ^{2}\Delta (\tau )}2^{8m\varkappa \tau }(P_{1}\dots P_{r})^{2K}P^{-\varkappa \Delta (\tau )}}$, :

donde , , , , y los números naturales son tales que: :: , . ${\displaystyle \varkappa =n_{1}\nu _{1}+\dots +n_{r}\nu _{r}}$ ${\displaystyle \gamma \varkappa =1}$ ${\displaystyle \Delta (\tau )={\frac {m}{2}}(1-(1-\gamma )^{\tau })}$ ${\displaystyle P=(P_{1}^{n_{1}}\dots P_{r}^{n_{r}})^{\gamma }}$ ${\displaystyle \nu _{1},\dots ,\nu _{r}}$ ${\displaystyle -1<{\frac {P_{s}}{P_{1}}}-\nu _{s}\leq 0}$ ${\displaystyle s=1,\dots ,r}$

El teorema del valor medio y el lema sobre la multiplicidad de intersecciones de paralelepípedos multidimensionales forman la base de la estimación de una suma trigonométrica múltiple, que fue obtenida por Karatsuba (el caso bidimensional fue derivado por GI Arkhipov ^[18] ). Denotando por el mínimo común múltiplo de los números con la condición , para que la estimación se cumpla ${\displaystyle Q_{0}}$ ${\displaystyle q(t_{1},\dots ,t_{r})}$ ${\displaystyle t_{1}+\dots t_{r}\geq 1}$ ${\displaystyle Q_{0}\geq P^{1/6}}$

${\displaystyle |S(A)|\leq (5n^{2n})^{r\nu (Q_{0})}(\tau (Q_{0}))^{r-1}P_{1}\dots P_{r}Q^{-0.1\mu }+2^{8r}(r\mu ^{-1})^{r-1}P_{1}\dots P_{r}P^{-0.05\mu }}$,

donde es el número de divisores del entero , y es el número de divisores primos distintos del número . ${\displaystyle \tau (Q)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \nu (Q)}$ ${\displaystyle Q}$

La estimación de la función Hardy en el problema de Waring

Aplicando su forma -ádica del método de Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov para estimar sumas trigonométricas, en la que la suma se toma sobre números con divisores primos pequeños, Karatsuba obtuvo ^[19] una nueva estimación de la conocida función de Hardy en el problema de Waring (para ): ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G(n)}$ ${\displaystyle n\geq 400}$

${\displaystyle \!G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n.}$

Análogo multidimensional del problema de Waring

En su investigación posterior del problema de Waring, Karatsuba obtuvo ^[20] la siguiente generalización bidimensional de ese problema:

Consideremos el sistema de ecuaciones

${\displaystyle x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\dots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i}}$ , , ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$

donde se dan enteros positivos con el mismo orden o crecimiento, , y son incógnitas, que también son enteros positivos. Este sistema tiene soluciones, si , y si , entonces existen tales , que el sistema no tiene soluciones. ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle N_{0}\to +\infty }$ ${\displaystyle x_{\varkappa },y_{\varkappa }}$ ${\displaystyle k>cn^{2}\log n}$ ${\displaystyle k<c_{1}n^{2}}$ ${\displaystyle N_{i}}$

El problema de Artin de la representación local del cero mediante una forma

Emil Artin había planteado el problema de la representación -ádica del cero mediante una forma de grado arbitrario d . Artin inicialmente conjeturó un resultado, que ahora se describiría como el cuerpo p-ádico siendo un cuerpo C 2 ; en otras palabras, la representación no trivial del cero ocurriría si el número de variables fuera al menos d ² . Se demostró que este no era el caso mediante un ejemplo de Guy Terjanian . Karatsuba demostró que, para tener una representación no trivial del cero mediante una forma, el número de variables debería crecer más rápido que polinómicamente en el grado d ; este número de hecho debería tener un crecimiento casi exponencial, dependiendo del grado. Karatsuba y su estudiante Arkhipov demostraron, ^[21] que para cualquier número natural existe , tal que para cualquier hay una forma con coeficientes enteros de grado menor que , cuyo número de variables es , , ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n_{0}=n_{0}(r)}$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{k})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\geq 2^{u}}$

${\displaystyle u={\frac {n}{(\log _{2}n)(\log _{2}\log _{2}n)\dots \underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)} _{r}\underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)^{3}} _{r+1}}}}$

que solo tiene una representación trivial del cero en los números 2-ádicos. También obtuvieron un resultado similar para cualquier módulo primo impar . ${\displaystyle p}$

Estimaciones de sumas cortas de Kloosterman

Karatsuba desarrolló ^{[22] [23] [24]} (1993—1999) un nuevo método para estimar sumas cortas de Kloosterman , es decir, sumas trigonométricas de la forma

${\displaystyle \sum \limits _{n\in A}\exp {{\biggl (}2\pi i\,{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr )}},}$

donde recorre un conjunto de números, coprimos con , el número de elementos en el que es esencialmente menor que , y el símbolo denota la clase de congruencia, inversa a módulo : . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \|A\|}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n^{*}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle nn^{*}\equiv 1(\mod m)}$

Hasta principios de los años 1990, las estimaciones de este tipo eran conocidas, principalmente, para sumas en las que el número de sumandos era mayor que ( HD Kloosterman , IM Vinogradov , H. Salié, L. Carlitz , S. Uchiyama, A. Weil ). La única excepción eran los módulos especiales de la forma , donde es un primo fijo y el exponente aumenta hasta el infinito (este caso fue estudiado por AG Postnikov mediante el método de Vinogradov). El método de Karatsuba permite estimar sumas de Kloosterman donde el número de sumandos no excede ${\displaystyle {\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle m=p^{\alpha }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle m^{\varepsilon },}$

y en algunos casos incluso

${\displaystyle \exp {\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon }\}},}$

donde es un número fijo arbitrariamente pequeño. El artículo final de Karatsuba sobre este tema ^[25] fue publicado póstumamente. ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Varios aspectos del método de Karatsuba han encontrado aplicaciones en los siguientes problemas de teoría analítica de números:

• encontrar asíntotas de las sumas de partes fraccionarias de la forma :  : donde recorre, uno tras otro, los números enteros que satisfacen la condición , y recorre los primos que no dividen al módulo (Karatsuba); ${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}'{\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}},{\sum _{p\leq x}}'{\biggl \{}{\frac {ap^{*}+bp}{m}}{\biggr \}},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n,m)=1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$

• encontrar un límite inferior para el número de soluciones de desigualdades de la forma :  : en los números enteros , , coprimos con , (Karatsuba); ${\displaystyle \alpha <{\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}}\leq \beta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1\leq n\leq x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$
• la precisión de aproximación de un número real arbitrario en el segmento por partes fraccionarias de la forma: ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle {\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}},}$ :donde , , (Karatsuba); ${\displaystyle 1\leq n\leq x}$ ${\displaystyle (n,m)=1}$ ${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$

• una constante más precisa en el teorema de Brun-Titchmarsh  : ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q}}}},}$ :donde es el número de primos , no mayores que y pertenecientes a la progresión aritmética ( J. Friedlander , H. Iwaniec ); ${\displaystyle \pi (x;q,l)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {q}}}$

• un límite inferior para el mayor divisor primo del producto de números de la forma:

${\displaystyle n^{3}+2}$, ( Doctora Heath-Brown ); ${\displaystyle N<n\leq 2N}$

• demostrando que hay infinitos números primos de la forma:

${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$ ( J. Friedlander , H. Iwaniec );

• Propiedades combinatorias del conjunto de números:

${\displaystyle n^{*}{\pmod {m}}}$ ${\displaystyle 1\leq n\leq m^{\varepsilon }}$ (A.A. Glibichuk).

La función zeta de Riemann

Los ceros de Selberg

En 1984 Karatsuba demostró, ^{[26] [27]} que para un fijo que satisface la condición , un y suficientemente grande , , el intervalo contiene al menos ceros reales de la función zeta de Riemann . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <0.001}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$ ${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$ ${\displaystyle (T,T+H)}$ ${\displaystyle cH\ln T}$ ${\displaystyle \zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}}$

El caso especial fue demostrado por Atle Selberg a principios de 1942. ^[28] Las estimaciones de Atle Selberg y Karatsuba no se pueden mejorar con respecto al orden de crecimiento como . ${\displaystyle H\geq T^{1/2+\varepsilon }}$ ${\displaystyle T\to +\infty }$

Distribución de ceros de la función zeta de Riemann en los intervalos cortos de la recta crítica

Karatsuba también obtuvo ^[29] una serie de resultados sobre la distribución de ceros de en intervalos «cortos» de la línea crítica. Demostró que un análogo de la conjetura de Selberg se cumple para «casi todos» los intervalos , , donde es un número positivo fijo arbitrariamente pequeño. Karatsuba desarrolló (1992) un nuevo enfoque para investigar los ceros de la función zeta de Riemann en intervalos «supercortos» de la línea crítica, es decir, en los intervalos , cuya longitud crece más lentamente que cualquier grado, incluso arbitrariamente pequeño . En particular, demostró que para cualquier número dado , que satisface las condiciones casi todos los intervalos para contienen al menos ceros de la función . Esta estimación es bastante cercana a la que se desprende de la hipótesis de Riemann . ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$ ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle H\geq \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}}$ ${\displaystyle H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}}$ ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$

Ceros de combinaciones lineales de la serie L de Dirichlet

Karatsuba desarrolló un nuevo método ^{[30] [31]} para investigar los ceros de funciones que pueden representarse como combinaciones lineales de series de Dirichlet ${\displaystyle L}$ . El ejemplo más simple de una función de ese tipo es la función Davenport-Heilbronn, definida por la igualdad

${\displaystyle f(s)={\tfrac {1}{2}}(1-i\kappa )L(s,\chi )+{\tfrac {1}{2}}(1\,+\,i\kappa )L(s,{\bar {\chi }}),}$

donde es un carácter no principal módulo ( , , , , , para cualquier ), ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \chi (1)=1}$ ${\displaystyle \chi (2)=i}$ ${\displaystyle \chi (3)=-i}$ ${\displaystyle \chi (4)=-1}$ ${\displaystyle \chi (5)=0}$ ${\displaystyle \chi (n+5)=\chi (n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}-2}{{\sqrt {5}}-1}}.}$

Porque la hipótesis de Riemann no es cierta, sin embargo la línea crítica contiene anormalmente muchos ceros. ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle Re\ s={\tfrac {1}{2}}}$

Karatsuba demostró (1989) que el intervalo , , contiene al menos ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle H=T^{27/82+\varepsilon }}$

${\displaystyle H(\ln T)^{1/2}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

ceros de la función . Karatsuba obtuvo resultados similares también para combinaciones lineales que contienen un número arbitrario (finito) de sumandos; el exponente de grado se reemplaza aquí por un número menor , que depende solo de la forma de la combinación lineal. ${\displaystyle f{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \beta }$

La frontera de ceros de la función zeta y el problema multidimensional de los divisores de Dirichlet

A Karatsuba le corresponde un nuevo resultado innovador ^[32] en el problema multidimensional de los divisores de Dirichlet, que está relacionado con la búsqueda del número de soluciones de la desigualdad en los números naturales como . Pues existe una fórmula asintótica de la forma ${\displaystyle D_{k}(x)}$ ${\displaystyle x_{1}*\ldots *x_{k}\leq x}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$ ${\displaystyle x\to +\infty }$ ${\displaystyle D_{k}(x)}$

${\displaystyle D_{k}(x)=xP_{k-1}(\ln x)+R_{k}(x)}$,

donde es un polinomio de grado , cuyos coeficientes dependen de y se pueden encontrar explícitamente y es el término restante, todas las estimaciones conocidas de las cuales (hasta 1960) eran de la forma ${\displaystyle P_{k-1}(u)}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R_{k}(x)}$

${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq x^{1-\alpha (k)}(c\ln x)^{k}}$,

donde , son algunas constantes positivas absolutas. ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{ak+b}}}$ ${\displaystyle a,b,c}$

Karatsuba obtuvo una estimación más precisa de , en la que el valor era del orden de y disminuía mucho más lentamente que en las estimaciones anteriores. La estimación de Karatsuba es uniforme en y ; en particular, el valor puede crecer a medida que crece (como una potencia del logaritmo de ). (Un resultado de aspecto similar, pero más débil, fue obtenido en 1960 por un matemático alemán, Richert, cuyo artículo permaneció desconocido para los matemáticos soviéticos al menos hasta mediados de los años setenta). ${\displaystyle R_{k}(x)}$ ${\displaystyle \alpha (k)}$ ${\displaystyle k^{-2/3}}$ ${\displaystyle \alpha (k)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

La prueba de la estimación de se basa en una serie de afirmaciones, esencialmente equivalentes al teorema sobre el límite de ceros de la función zeta de Riemann, obtenido por el método de Vinogradov, es decir, el teorema que afirma que no tiene ceros en la región ${\displaystyle R_{k}(x)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle Re\ s\geq 1-{\frac {c}{(\ln |t|)^{2/3}(\ln \ln |t|)^{1/3}}},\quad |t|>10}$.

Karatsuba encontró ^[33] (2000) la relación hacia atrás de las estimaciones de los valores con el comportamiento de cerca de la línea . En particular, demostró que si es una función arbitraria no creciente que satisface la condición , tal que para todas las estimaciones ${\displaystyle R_{k}(x)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle Re\ s=1}$ ${\displaystyle \alpha (y)}$ ${\displaystyle 1/y\leq \alpha (y)\leq 1/2}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq x^{1-\alpha (k)}(c\ln x)^{k}}$

se cumple, entonces no tiene ceros en la región ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle Re\ s\geq 1-c_{1}\,{\frac {\alpha (\ln |t|)}{\ln \ln |t|}},\quad |t|\geq e^{2}}$

( son algunas constantes absolutas). ${\displaystyle c,c_{1}}$

Estimaciones desde abajo del máximo del módulo de la función zeta en pequeñas regiones del dominio crítico y en pequeños intervalos de la línea crítica

Karatsuba introdujo y estudió ^[34] las funciones y , definidas por las igualdades ${\displaystyle F(T;H)}$ ${\displaystyle G(s_{0};\Delta )}$

${\displaystyle F(T;H)=\max _{|t-T|\leq H}{\bigl |}\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}{\bigr |},\quad G(s_{0};\Delta )=\max _{|s-s_{0}|\leq \Delta }|\zeta (s)|.}$

Aquí tenemos un número positivo suficientemente grande, , , , . La estimación de los valores y de abajo muestra cómo pueden tomarse valores grandes (en módulo) en intervalos cortos de la línea crítica o en pequeñas vecindades de puntos que se encuentran en la franja crítica . El caso fue estudiado anteriormente por Ramachandra; el caso , donde es una constante suficientemente grande, es trivial. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle 0<H\ll \ln \ln T}$ ${\displaystyle s_{0}=\sigma _{0}+iT}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\leq \sigma _{0}\leq 1}$ ${\displaystyle 0<\Delta <{\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle 0\leq Re\ s\leq 1}$ ${\displaystyle H\gg \ln \ln T}$ ${\displaystyle \Delta >c}$ ${\displaystyle c}$

Karatsuba demostró, en particular, que si los valores y superan ciertas constantes suficientemente pequeñas, entonces las estimaciones ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle F(T;H)\geq T^{-c_{1}},\quad G(s_{0};\Delta )\geq T^{-c_{2}},}$

espera, donde están ciertas constantes absolutas. ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

Comportamiento del argumento de la función zeta en la recta crítica

Karatsuba obtuvo una serie de nuevos resultados ^{[35] [36]} relacionados con el comportamiento de la función , que se denomina argumento de la función zeta de Riemann en la línea crítica (aquí es el incremento de una rama continua arbitraria de a lo largo de la línea discontinua que une los puntos y ). Entre esos resultados se encuentran los teoremas del valor medio para la función y su primera integral en intervalos de la línea real, y también el teorema que afirma que cada intervalo para contiene al menos ${\displaystyle S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}}$ ${\displaystyle \arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}}$ ${\displaystyle \arg \zeta (s)}$ ${\displaystyle 2,2+it}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+it}$ ${\displaystyle S(t)}$ ${\displaystyle S_{1}(t)=\int _{0}^{t}S(u)du}$ ${\displaystyle (T,T+H]}$ ${\displaystyle H\geq T^{27/82+\varepsilon }}$

${\displaystyle H(\ln T)^{1/3}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

puntos donde la función cambia de signo. Atle Selberg obtuvo resultados similares anteriormente para el caso . ${\displaystyle S(t)}$ ${\displaystyle H\geq T^{1/2+\varepsilon }}$

Los personajes de Dirichlet

Estimaciones de sumas cortas de caracteres en campos finitos

A finales de los años sesenta, Karatsuba, al estimar sumas cortas de caracteres de Dirichlet , desarrolló ^[37] un nuevo método que permite obtener estimaciones no triviales de sumas cortas de caracteres en cuerpos finitos . Sea un entero fijo, un polinomio, irreducible sobre el cuerpo de los números racionales, una raíz de la ecuación , la extensión correspondiente del cuerpo , una base de , , , . Además, sea un primo suficientemente grande, tal que sea irreducible módulo , el cuerpo de Galois con una base , un carácter de Dirichlet no principal del cuerpo . Finalmente, sean algunos enteros no negativos, el conjunto de elementos del cuerpo de Galois , ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle F(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle F(\theta )=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \omega _{1}=1}$ ${\displaystyle \omega _{2}=\theta }$ ${\displaystyle \omega _{3}=\theta ^{2},\ldots ,\omega _{n}=\theta ^{n-1}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$ ${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{n}}$ ${\displaystyle D(X)}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$

${\displaystyle {\bar {x}}=x_{1}\omega _{1}+\ldots +x_{n}\omega _{n}}$,

de modo que para cualquier , , se cumplen las siguientes desigualdades: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle \nu _{i}<x_{i}<\nu _{i}+X}$.

Karatsuba demostró que para cualquier fijo , y arbitrario que satisface la condición ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\geq n+1}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle p^{{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4k}}}\leq X\leq p^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4k}}}}$

La siguiente estimación es válida:

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{{\bar {x}}\in D(X)}\chi ({\bar {x}}){\biggr |}\leq c{\Bigl (}X^{1-{\frac {1}{k}}}p^{{\frac {1}{4k}}+{\frac {1}{4k^{2}}}}{\Bigr )}^{\!\!n}(\ln p)^{\gamma },}$

donde , y la constante depende únicamente de y la base . ${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{k}}(2^{n+1}-1)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$

Estimaciones de sumas lineales de caracteres sobre números primos desplazados

Karatsuba desarrolló una serie de nuevas herramientas que, combinadas con el método de Vinogradov para estimar sumas con números primos, le permitieron obtener en 1970 ^[38] una estimación de la suma de valores de un carácter no principal módulo un primo en una secuencia de números primos desplazados, es decir, una estimación de la forma ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{p\leq N}\chi (p+k){\biggr |}\leq cNq^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{1024}}},}$

donde es un entero que satisface la condición , un número fijo arbitrariamente pequeño, y la constante depende únicamente de. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\not \equiv 0(\mod q)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N\geq q^{1/2+\varepsilon }}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Esta afirmación es considerablemente más fuerte que la estimación de Vinogradov, que no es trivial para . ${\displaystyle N\geq q^{3/4+\varepsilon }}$

En 1971, hablando en la Conferencia internacional sobre teoría de números con motivo del 80 cumpleaños de Ivan Matveyevich Vinogradov , el académico Yuri Linnik señaló lo siguiente:

«De gran importancia son las investigaciones realizadas por Vinogradov en el área de asintóticas del carácter de Dirichlet sobre primos desplazados , que dan una potencia reducida en comparación con , donde es el módulo del carácter. Esta estimación es de importancia crucial, ya que es tan profunda que da más que la hipótesis de Riemann extendida , y, parece, en esa dirección es un hecho más profundo que esa conjetura (si la conjetura es verdadera). Recientemente esta estimación fue mejorada por AAKaratsuba». ${\displaystyle \sum \limits _{p\leq N}\chi (p+k)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N\geq q^{3/4+\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle q}$

Karatsuba extendió este resultado al caso cuando se recorre los números primos en una progresión aritmética, cuyo incremento crece con el módulo . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Estimaciones de sumas de caracteres en polinomios con argumento primo

Karatsuba encontró ^{[37] [39]} una serie de estimaciones de sumas de caracteres de Dirichlet en polinomios de grado dos para el caso en que el argumento del polinomio recorre una secuencia corta de primos subsiguientes. Sea, por ejemplo, un primo suficientemente alto, , donde y son números enteros, que satisfacen la condición , y sea denotado el símbolo de Legendre , entonces para cualquier fijo con la condición y para la suma , ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle f(x)=(x-a)(x-b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab(a-b)\not \equiv 0(\mod q)}$ ${\displaystyle \left({\frac {n}{q}}\right)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle N>q^{3/4+\varepsilon }}$ ${\displaystyle S_{N}}$

${\displaystyle S_{N}=\sum \limits _{p\leq N}{\biggl (}{\frac {f(p)}{q}}{\biggr )},}$

La siguiente estimación es válida:

${\displaystyle |S_{N}|\leq c\pi (N)q^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{100}}}}$

(aquí pasa por los primos subsiguientes, es el número de primos que no excede , y es una constante, que depende solo de). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \pi (N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Karatsuba obtuvo una estimación similar también para el caso en el que se recorre una secuencia de primos en una progresión aritmética, cuyo incremento puede crecer junto con el módulo . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Karatsuba conjeturó que la estimación no trivial de la suma de , que son "pequeñas" en comparación con , sigue siendo cierta en el caso en que se reemplaza por un polinomio arbitrario de grado , que no es un cuadrado módulo . Esta conjetura aún está abierta. ${\displaystyle S_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$

Límites inferiores para sumas de caracteres en polinomios

Karatsuba construyó ^[40] una secuencia infinita de primos y una secuencia de polinomios de grado con coeficientes enteros, tal que no es un cuadrado completo módulo , ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {4(p-1)}{\ln p}}\leq n\leq {\frac {8(p-1)}{\ln p}},}$

y tal que

${\displaystyle \sum \limits _{x=1}^{p}\left({\frac {f(x)}{p}}\right)=p.}$

En otras palabras, para cualquier valor resulta ser un residuo cuadrático módulo . Este resultado muestra que la estimación de André Weil ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{x=1}^{p}\left({\frac {f(x)}{p}}\right){\biggr |}\leq (n-1){\sqrt {p}}}$

no se puede mejorar esencialmente y el lado derecho de la última desigualdad no se puede reemplazar, digamos, por el valor , donde es una constante absoluta. ${\displaystyle C{\sqrt {n}}{\sqrt {p}}}$ ${\displaystyle C}$

Sumas de caracteres en secuencias aditivas

Karatsuba encontró un nuevo método, ^[41] que permite obtener estimaciones bastante precisas de sumas de valores de caracteres de Dirichlet no principales en secuencias aditivas, es decir, en secuencias que consisten en números de la forma , donde las variables y recorren algunos conjuntos e independientemente unas de otras. El ejemplo más característico de ese tipo es la siguiente afirmación que se aplica en la solución de una amplia clase de problemas, relacionados con la suma de valores de caracteres de Dirichlet. Sea un número fijo arbitrariamente pequeño, , un primo suficientemente grande, un carácter no principal módulo . Además, sean y subconjuntos arbitrarios del sistema completo de clases de congruencia módulo , que satisfacen solo las condiciones , . Entonces se cumple la siguiente estimación: ${\displaystyle x+y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \|A\|>q^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \|B\|>q^{1/2+\varepsilon }}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{x\in A}\sum \limits _{y\in B}\chi (x+y){\biggr |}\leq c\|A\|\cdot \|B\|q^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{20}}},\quad c=c(\varepsilon )>0.}$

El método de Karatsuba permite obtener estimaciones no triviales de ese tipo en ciertos otros casos cuando las condiciones para los conjuntos y , formuladas anteriormente, se reemplazan por otras diferentes, por ejemplo: , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \|A\|>q^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle {\sqrt {\|A\|}}\cdot \|B\|>q^{1/2+\varepsilon }.}$

En el caso en que y son los conjuntos de primos en intervalos , respectivamente, donde , , una estimación de la forma ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (1,X]}$ ${\displaystyle (1,Y]}$ ${\displaystyle X\geq q^{1/4+\varepsilon }}$ ${\displaystyle Y\geq q^{1/4+\varepsilon }}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{p\leq X}\sum \limits _{p'\leq Y}\chi (p+p'){\biggr |}\leq c\pi (X)\pi (Y)q^{-c_{1}\varepsilon ^{2}},}$

se cumple, donde es el número de primos, que no excede , , y es una constante absoluta. ${\displaystyle \pi (Z)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$ ${\displaystyle c_{1}}$

Distribución de clases de congruencia de potencias y raíces primitivas en secuencias dispersas

Karatsuba obtuvo ^[42] (2000) estimaciones no triviales de sumas de valores de caracteres de Dirichlet "con pesos", es decir, sumas de componentes de la forma , donde es una función del argumento natural. Estimaciones de ese tipo se aplican en la solución de una amplia clase de problemas de teoría de números, relacionados con la distribución de clases de congruencia de potencias, también raíces primitivas en ciertas secuencias. ${\displaystyle \chi (n)f(n)}$ ${\displaystyle f(n)}$

Sea un número entero, un primo suficientemente grande, , , , donde , y establezca, finalmente, ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (a,q)=1}$ ${\displaystyle |a|\leq {\sqrt {q}}}$ ${\displaystyle N\geq q^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2(k+1)}}+\varepsilon }}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <\min {\{0.01,{\tfrac {2}{3(k+1)}}\}}}$

${\displaystyle D_{k}(x)=\sum \limits _{x_{1}*\ldots *x_{k}\leq x}1=\sum \limits _{n\leq x}\tau _{k}(n)}$

(para una expresión asintótica para , véase más arriba, en la sección sobre el problema multidimensional de los divisores de Dirichlet). Para las sumas y de los valores , extendidas sobre los valores , para los cuales los números son residuos cuadráticos (respectivamente, no residuos) módulo , Karatsuba obtuvo fórmulas asintóticas de la forma ${\displaystyle D_{k}(x)}$ ${\displaystyle V_{1}(x)}$ ${\displaystyle V_{2}(x)}$ ${\displaystyle \tau _{k}(n)}$ ${\displaystyle n\leq x}$ ${\displaystyle (n+a)}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle V_{1}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{k}(x)+O{\bigl (}xq^{-0.01\varepsilon ^{2}}{\bigr )},\quad V_{2}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{k}(x)+O{\bigl (}xq^{-0.01\varepsilon ^{2}}{\bigr )}}$.

De manera similar, para la suma de valores , tomada sobre todos , para la cual es una raíz primitiva módulo , se obtiene una expresión asintótica de la forma ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle \tau _{k}(n)}$ ${\displaystyle n\leq x}$ ${\displaystyle (n+a)}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle V(x)=\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {1}{p_{s}}}\right)D_{k}(x)+O{\bigl (}xq^{-0.01\varepsilon ^{2}}{\bigr )}}$,

¿Dónde están todos los divisores primos del número ? ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{s}}$ ${\displaystyle q-1}$

Karatsuba aplicó su método también a los problemas de distribución de residuos de potencia (no residuos) en las secuencias de primos desplazados , de los números enteros del tipo y algunos otros. ${\displaystyle p+a}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+a}$

Trabajo atrasado

En sus últimos años, además de su investigación en teoría de números (véase el fenómeno de Karatsuba , ^[43] Karatsuba estudió ciertos problemas de física teórica , en particular en el área de la teoría cuántica de campos . Aplicando su teorema ATS y algunos otros enfoques de teoría de números, obtuvo nuevos resultados ^[44] en el modelo de Jaynes-Cummings en óptica cuántica .

Premios y titulos

• 1981 : Premio PLTchebyshev de la Academia Soviética de Ciencias
• 1999 : Científico distinguido de Rusia
• 2001 : Premio IMVinogradov de la Academia Rusa de Ciencias

En Crimea

Véase también

• Teorema ATS
• Algoritmo Karatsuba
• Máquina de Moore

Referencias

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Enlaces externos

• Anatoly Karatsuba en el Proyecto de Genealogía Matemática
• «Karatsuba Anatolii Alexeevitch (página personal)». Archivado desde el original el 6 de octubre de 2008. Consultado el 17 de noviembre de 2008 .
• Lista de trabajos de investigación del Instituto de Matemáticas Steklov