Conjetura de Mertens

En matemáticas , la conjetura de Mertens es la afirmación de que la función Mertens está limitada por . Aunque ahora se ha refutado, se había demostrado que implicaba la hipótesis de Riemann . Fue conjeturada por Thomas Joannes Stieltjes , en una carta de 1885 a Charles Hermite (reimpresa en Stieltjes (1905)), y nuevamente impresa por Franz Mertens (1897), y refutada por Andrew Odlyzko y Herman te Riele (1985). Es un ejemplo sorprendente de una conjetura matemática que se demostró falsa a pesar de una gran cantidad de evidencia computacional a su favor. ${\estilo de visualización M(n)}$ $\pm {\sqrt {n}}$

Definición

En teoría de números , la función de Mertens se define como

M(n)=\sum _{1\leq k\leq n}\mu (k),

donde μ(k) es la función de Möbius ; la conjetura de Mertens es que para todo n > 1,

|M(n)|<{\sqrt {n}}.

Refutación de la conjetura

Stieltjes afirmó en 1885 haber demostrado un resultado más débil, es decir, que estaba acotado , pero no publicó una prueba. ^[1] (En términos de , la conjetura de Mertens es que ). $m(n):=M(n)/{\sqrt {n}}$ ${\estilo de visualización m(n)}$ $-1<m(n)<1$

En 1985, Andrew Odlyzko y Herman te Riele demostraron que la conjetura de Mertens era falsa utilizando el algoritmo de reducción de base reticular de Lenstra–Lenstra–Lovász : ^[2]^[3]

\liminf m(n)<-1.009

\limsup m(n)>1.06.

Más tarde se demostró que el primer contraejemplo aparece debajo de ^[4] pero por encima de 10 ¹⁶ . ^[5] Desde entonces, el límite superior se redujo a ^[6] o aproximadamente y luego nuevamente a . ^[7] En 2024, Seungki Kim y Phong Nguyen redujeron el límite a , ^[8] pero no se conoce ningún contraejemplo explícito . $e^{3,21\times 10^{64}}\aproximadamente 10^{1,39\times 10^{64}}$ $e^{1,59\times 10^{40}}$ $10^{6,91\times 10^{39}},$ $e^{1.017\times 10^{29}}\aproximadamente 10^{4.416\times 10^{28}}$ $e^{1,96\times 10^{19}}\aproximadamente 10^{8,512\times 10^{18}}$

La ley del logaritmo iterado establece que si $μ$ se reemplaza por una secuencia aleatoria de +1s y −1s entonces el orden de crecimiento de la suma parcial de los primeros $n$ términos es (con probabilidad 1) aproximadamente $\sqrt n log log n$ , lo que sugiere que el orden de crecimiento de $m (n)$ podría estar en algún lugar alrededor de $\sqrt log log n$ . El orden de crecimiento real puede ser algo menor; a principios de la década de 1990, Steve Gonek conjeturó ^[9] que el orden de crecimiento de $m (n)$ era lo que fue afirmado por Ng (2004), basado en un argumento heurístico, que asumió la hipótesis de Riemann y ciertas conjeturas sobre el comportamiento promedio de los ceros de la función zeta de Riemann. ^[9] $(\log \log \log n)^{5/4},$

En 1979, Cohen y Dress ^[10] encontraron el mayor valor conocido de para $M$ $(7766842813) = 50286,$ y en 2011, Kuznetsov encontró el mayor valor negativo conocido (en el sentido de valor absoluto ) para $M$ $(11609864264058592345) = -1995900927.$ ^[11] En 2016, Hurst calculó $M$ $($ $n$ $)$ para cada $n$ $\leq 10$ $16$ pero no encontró valores mayores de $m$ $($ $n$ $)$ . ^[5] $m(n)\aproximadamente 0,570591$ $m(n)\aprox -0,585768$

En 2006, Kotnik y te Riele mejoraron el límite superior y demostraron que hay infinitos valores de $n$ para los cuales $m (n) > 1,2184$ , pero sin dar ningún valor específico para tal $n$ . ^[12] En 2016, Hurst realizó mejoras adicionales al demostrar

\liminf m(n)<-1.837625

\limsup m(n)>1.826054.

Conexión con la hipótesis de Riemann

La conexión con la hipótesis de Riemann se basa en la serie de Dirichlet para el recíproco de la función zeta de Riemann ,

{\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},

Válido en la región . Podemos reescribir esto como una integral de Stieltjes. ${\mathcal {Re}}(s)>1$

{\frac {1}{\zeta (s)}}=\int _{0}^{\infty }x^{-s}dM(x)

y después de integrar por partes, obtener el recíproco de la función zeta como una transformada de Mellin

{\frac {1}{s\zeta (s)}}=\left\{{\mathcal {M}}M\right\}(-s)=\int _{0}^{\infty }x^{-s}M(x)\,{\frac {dx}{x}}.

Usando el teorema de inversión de Mellin ahora podemos expresar $M$ en términos de 1 ⁄ $ζ$ como

M(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\infty }^{\sigma +i\infty }{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds

que es válida para $1 < σ < 2$ , y válida para $1$ $⁄$ $2$ $< σ < 2$ en la hipótesis de Riemann. A partir de esto, la integral de la transformada de Mellin debe ser convergente y, por lo tanto, $M$ $($ $x$ $)$ debe ser $O$ $($ $x$ $e$ $)$ para cada exponente e mayor que ⁠1/2⁠ . De esto se sigue que

M(x)=O{\Big (}x^{{\tfrac {1}{2}}+\epsilon }{\Big )}

para todo $ε$ positivo es equivalente a la hipótesis de Riemann, que por lo tanto se habría deducido de la hipótesis más fuerte de Mertens, y se deduce de la hipótesis de Stieltjes de que

M(x)=O{\Big (}x^{\tfrac {1}{2}}{\Big )}.

Referencias

^ Borwein, Peter ; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, eds. (2007). La hipótesis de Riemann. Un recurso tanto para aficionados como para virtuosos . CMS Books in Mathematics. Nueva York, NY: Springer-Verlag . p. 69. ISBN. 978-0-387-72125-5.Zbl 1132.11047 .
^ Odlyzko, soy ; te Riele, HJJ (1985), "Refutación de la conjetura de Mertens" (PDF) , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1985 (357): 138–160, doi :10.1515/crll.1985.357.138, ISSN 0075-4102 , SEÑOR 0783538, S2CID 13016831, Zbl 0544.10047
^ Sandor y otros (2006) págs. 188-189.
^ Pintz, J. (1987). "Una refutación eficaz de la conjetura de Mertens" (PDF) . Astérisque . 147–148: 325–333. Zbl 0623.10031.
^ ab Hurst, Greg (2016). "Cálculos de la función de Mertens y límites mejorados para la conjetura de Mertens". arXiv : 1610.08551 [math.NT].
^ Kotnik y Te Riele (2006).
^ Rozmarynowycz, John; Kim, Seungki (2023). "Un nuevo límite superior para el contraejemplo más pequeño de la conjetura de Mertens".
^ Seungki, Kim; Phong, Nguyen (2024). "Sobre los contraejemplos de la conjetura de Mertens" (PDF) .
^ ab Ng, Nathan (2004). «La distribución de la función sumatoria de la función de Möbius» (PDF) .
^ Cohen, H. y Dress, F. 1979. “Calcul numérique de Mx)” 11–13. [Cohen et Dress 1979], Rapport, de I'ATP A12311 ≪ Informatique 1975 ≫
^ Kuznetsov, Eugene (2011). "Cálculo de la función Mertens en una GPU". arXiv : 1108.0135 [math.NT].
^ Kotnik y te Riele (2006).

Lectura adicional

Kotnik, Tadej; te Riele, Herman (2006). "Revisitando la conjetura de Mertens". En Hess, Florian (ed.). Teoría algorítmica de números. 7.º simposio internacional, ANTS-VII, Berlín, Alemania, 23-28 de julio de 2006. Actas . Lecture Notes in Computer Science. Vol. 4076. Berlín: Springer-Verlag . pp. 156-167. doi :10.1007/11792086_12. ISBN . 3-540-36075-1.Zbl 1143.11345 .
Kotnik, T.; van de Lune, J. (2004). "Sobre el orden de la función de Mertens" (PDF) . Experimental Mathematics . 13 (4): 473–481. doi :10.1080/10586458.2004.10504556. S2CID 2093469. Archivado desde el original (PDF) el 2007-04-03.
Mertens, F. (1897). "Über eine zahlentheoretische Funktion". Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a . 106 : 761–830.
Odlyzko, AM ; te Riele, HJJ (1985), "Refutación de la conjetura de Mertens" (PDF) , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1985 (357): 138–160, doi :10.1515/crll.1985.357.138, ISSN 0075-4102 , SEÑOR 0783538, S2CID 13016831, Zbl 0544.10047
Pintz, J. (1987). "Una refutación eficaz de la conjetura de Mertens" (PDF) . Astérisque . 147–148: 325–333. Zbl 0623.10031.
Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006), Manual de teoría de números I , Dordrecht: Springer-Verlag , págs. 187-189, ISBN 1-4020-4215-9, Zbl1151.11300
Stieltjes, TJ (1905), "Lettre a Hermite de 11 juillet 1885, Lettre #79", en Baillaud, B.; Bourget, H. (eds.), Correspondance d'Hermite et Stieltjes , París: Gauthier—Villars, págs. 160-164

Weisstein, Eric W. "Conjetura de Mertens". MundoMatemático .

Enlaces externos

"Una sorpresa primordial (conjetura de Mertens)". Numberphile . 23 de enero de 2020. Archivado desde el original el 2021-12-21 – vía YouTube .