Ley del logaritmo iterado

Teorema matemático

Gráfico de (rojo), su desviación estándar (azul) y su límite dado por LIL (verde). Observe la forma en que cambia aleatoriamente del límite superior al límite inferior. Ambos ejes se transforman de forma no lineal (como se explica en el resumen de la figura) para hacer que este efecto sea más visible. ${\displaystyle S_{n}/n}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2\log \log n/n}}}$

En teoría de probabilidad , la ley del logaritmo iterado describe la magnitud de las fluctuaciones de un paseo aleatorio . La formulación original de la ley del logaritmo iterado se debe a A. Ya. Khinchin (1924). ^[1] Otra formulación fue dada por A. N. Kolmogorov en 1929. ^[2]

Declaración

Sean { Y _n } variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas, con medias cero y varianzas unitarias. Sea S _n = Y ₁ + ... + Y _n . Entonces

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|S_{n}|}{\sqrt {2n\log \log n}}}=1\quad {\text{a.s.}},}$

donde "log" es el logaritmo natural , "lim sup" denota el límite superior y "as" significa " casi seguramente ". ^{[3] [4]}

Otra declaración dada por A. N. Kolmogorov en 1929 ^[5] es la siguiente.

Sean variables aleatorias independientes con medias cero y varianzas finitas. Sean y . Si y existe una secuencia de constantes positivas tales que como y ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ ${\displaystyle S_{n}=Y_{1}+\dots +Y_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}=\operatorname {Var} (Y_{1})+\dots +\operatorname {Var} (Y_{n})}$ ${\displaystyle B_{n}\to \infty }$ ${\displaystyle \{M_{n}\}}$ ${\displaystyle |Y_{n}|\leq M_{n}}$

${\displaystyle M_{n}\;=\;o\left({\sqrt {\frac {B_{n}}{\log \log B_{n}}}}\right),}$

entonces tenemos

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|S_{n}|}{\sqrt {2B_{n}\log \log B_{n}}}}=1\quad {\text{a.s.}}}$

Tenga en cuenta que la primera afirmación cubre el caso de la distribución normal estándar, pero la segunda no.

Discusión

La ley de los logaritmos iterados opera "entre" la ley de los grandes números y el teorema del límite central . Existen dos versiones de la ley de los grandes números —la débil y la fuerte— y ambas establecen que las sumas S _n , escaladas por n ⁻¹ , convergen a cero, respectivamente en probabilidad y casi con seguridad :

${\displaystyle {\frac {S_{n}}{n}}\ {\xrightarrow {p}}\ 0,\qquad {\frac {S_{n}}{n}}\ {\xrightarrow {a.s.}}0,\qquad {\text{as}}\ \ n\to \infty .}$

Por otra parte, el teorema del límite central establece que las sumas S _n escaladas por el factor n ^−1/2 convergen en distribución a una distribución normal estándar. Por la ley cero-uno de Kolmogorov , para cualquier M fijo , la probabilidad de que ocurra el evento es 0 o 1. Entonces ${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\geq M}$

${\displaystyle \Pr \left(\limsup _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\geq M\right)\geqslant \limsup _{n}\Pr \left({\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\geq M\right)=\Pr \left({\mathcal {N}}(0,1)\geq M\right)>0}$

entonces

${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}=\infty \qquad {\text{with probability 1.}}}$

Un argumento idéntico muestra que

${\displaystyle \liminf _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}=-\infty \qquad {\text{with probability 1.}}}$

Esto implica que estas cantidades no pueden converger casi con seguridad. De hecho, ni siquiera pueden converger en probabilidad, lo que se desprende de la igualdad

${\displaystyle {\frac {S_{2n}}{\sqrt {2n}}}-{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {S_{2n}-S_{n}}{\sqrt {n}}}-\left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right){\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}}$

y el hecho de que las variables aleatorias

${\displaystyle {\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {S_{2n}-S_{n}}{\sqrt {n}}}}$

son independientes y ambas convergen en distribución a ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1).}$

La ley del logaritmo iterado proporciona el factor de escala donde los dos límites se vuelven diferentes:

${\displaystyle {\frac {S_{n}}{\sqrt {2n\log \log n}}}\ {\xrightarrow {p}}\ 0,\qquad {\frac {S_{n}}{\sqrt {2n\log \log n}}}\ {\stackrel {a.s.}{\nrightarrow }}\ 0,\qquad {\text{as}}\ \ n\to \infty .}$

Por lo tanto, aunque el valor absoluto de la cantidad es menor que cualquier ε  > 0 predefinido con una probabilidad que se aproxima a uno, sin embargo casi seguramente será mayor que ε infinitamente a menudo; de hecho, la cantidad visitará las proximidades de cualquier punto en el intervalo (-1,1) casi con seguridad. ${\displaystyle S_{n}/{\sqrt {2n\log \log n}}}$

Exposición de Teoremas de Límite y su interrelación

Generalizaciones y variantes

La ley del logaritmo iterado (LIL) para una suma de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid) con media cero e incremento acotado se remonta a Khinchin y Kolmogorov en la década de 1920.

Desde entonces, se ha trabajado muchísimo en el LIL para diversos tipos de estructuras dependientes y para procesos estocásticos. A continuación, se presenta una pequeña muestra de los avances más destacados.

Hartman - Wintner (1940) generalizó el LIL a recorridos aleatorios con incrementos de media cero y varianza finita. De Acosta (1983) presentó una prueba simple de la versión Hartman-Wintner del LIL. ^[6]

Chung (1948) demostró otra versión de la ley del logaritmo iterado para el valor absoluto de un movimiento browniano. ^[7]

Strassen (1964) estudió la LIL desde el punto de vista de los principios de invariancia. ^[8]

Stout (1970) generalizó el LIL a martingalas ergódicas estacionarias. ^[9]

Wittmann (1985) generalizó la versión Hartman-Wintner de LIL a recorridos aleatorios que satisfacen condiciones más suaves. ^[10]

Vovk (1987) derivó una versión de LIL válida para una única secuencia caótica (secuencia aleatoria de Kolmogorov). ^[11] Esto es notable, ya que está fuera del ámbito de la teoría de probabilidad clásica.

Yongge Wang (1996) demostró que la ley del logaritmo iterado también se aplica a secuencias pseudoaleatorias de tiempo polinomial. ^{[12] [13]} La herramienta de prueba de software basada en Java prueba si un generador pseudoaleatorio genera secuencias que satisfacen el LIL.

Balsubramani (2014) demostró un LIL no asintótico que se mantiene en trayectorias de muestra de martingala de tiempo finito. ^[14] Esto incluye el LIL de martingala, ya que proporciona límites de concentración y anticoncentración coincidentes para muestras finitas, y permite pruebas secuenciales ^[15] y otras aplicaciones. ^[16]

Véase también

• Logaritmo iterado
• Movimiento browniano

Notas

1. A. Khinchine . "Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung", Fundamenta Mathematicae 6 (1924): págs. 9-20 (el nombre del autor se muestra aquí en una transliteración alternativa).
2. A. Kolmogoroff . "Über das Gesetz des iterierten Logarithmus". Mathematische Annalen , 101: 126–135, 1929. (En el sitio web de Göttinger DigitalisierungsZentrum)
3. Leo Breiman . Probabilidad . Edición original publicada por Addison-Wesley, 1968; reimpresa por Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. (Véase las secciones 3.9, 12.9 y 12.10; específicamente el teorema 3.52).
4. R. Durrett. Probabilidad: teoría y ejemplos . Cuarta edición publicada por Cambridge University Press en 2010. (Véase el teorema 8.8.3.)
5. A. Kolmogoroff . "Über das Gesetz des iterierten Logarithmus". Mathematische Annalen , 101: 126–135, 1929. (En el sitio web de Göttinger DigitalisierungsZentrum)
6. A. de Acosta: "Una nueva prueba de la ley de Hartman-Wintner del logaritmo iterado". Ann. Probab., 1983.
7. Chung, Kai-lai (1948). "Sobre las sumas parciales máximas de secuencias de variables aleatorias independientes". Trans. Am. Math. Soc . 61 : 205–233.
8. V. Strassen: "Un principio de invariancia para la ley del logaritmo iterado". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 1964.
9. WF Stout: "La ley de Hartman-Wintner del logaritmo iterado para martingalas". Ann. Math. Statist., 1970.
10. R. Wittmann: "Una ley general del logaritmo iterado". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 1985.
11. V. Vovk: "La ley del logaritmo iterado para secuencias aleatorias de Kolmogorov o caóticas". Theory Probab. Appl., 1987.
12. Y. Wang: "La ley del logaritmo iterado para secuencias p-aleatorias". En: Proc. 11th IEEE Conference on Computational Complexity (CCC), páginas 180–189. IEEE Computer Society Press, 1996.
13. Y. Wang: Aleatoriedad y complejidad. Tesis doctoral, 1996.
14. A. Balsubramani: "Concentración martingala iterada de logaritmo de tiempo finito nítida". arXiv:1405.2639.
15. A. Balsubramani y A. Ramdas: "Pruebas no paramétricas secuenciales con la ley del logaritmo iterado". 32ª Conferencia sobre Incertidumbre en Inteligencia Artificial (UAI).
16. C. Daskalakis e Y. Kawase: "Reglas de parada óptimas para pruebas de hipótesis secuenciales". En el 25º Simposio Europeo Anual sobre Algoritmos (ESA 2017). Schloss Dagstuhl-Leibniz-Zentrum fuer Informatik.