Espacio Banach

Espacio vectorial normado que es completo

En matemáticas , más específicamente en análisis funcional , un espacio de Banach (pronunciado [ˈbanax] ) es un espacio vectorial normado completo . Por lo tanto, un espacio de Banach es un espacio vectorial con una métrica que permite el cálculo de la longitud del vector y la distancia entre vectores y es completo en el sentido de que una secuencia de Cauchy de vectores siempre converge a un límite bien definido que está dentro del espacio.

Los espacios de Banach reciben su nombre del matemático polaco Stefan Banach , quien introdujo este concepto y lo estudió sistemáticamente entre 1920 y 1922 junto con Hans Hahn y Eduard Helly . ^[1] Maurice René Fréchet fue el primero en utilizar el término «espacio de Banach» y Banach, a su vez, acuñó el término « espacio de Fréchet ». ^[2] Los espacios de Banach surgieron originalmente del estudio de los espacios funcionales por parte de Hilbert , Fréchet y Riesz a principios de siglo. Los espacios de Banach desempeñan un papel central en el análisis funcional. En otras áreas de análisis , los espacios en estudio suelen ser espacios de Banach.

Definición

Un espacio de Banach es un espacio normado completo Un espacio normado es un par ^{[nota 1]} que consiste en un espacio vectorial sobre un cuerpo escalar (donde es comúnmente o ) junto con una ^{[nota 2]} norma distinguida Como todas las normas, esta norma induce una función de distancia invariante de traducción ^{[nota 3]} , llamada métrica inducida canónica o ( norma ) , definida para todos los vectores por ^{[nota 4]} Esto se convierte en un espacio métrico Una secuencia se llama Cauchy en o -Cauchy o -Cauchy si para cada real existe algún índice tal que siempre que y son mayores que El espacio normado se llama espacio de Banach y la métrica canónica se llama métrica completa si es un espacio métrico completo , lo que por definición significa que para cada secuencia de Cauchy en existe algún índice tal que donde porque la convergencia de esta secuencia a se puede expresar de manera equivalente como: ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)~.}$ ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \ \mathbb {K} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {C} \ }$ ${\displaystyle \ \|\cdot \|:X\to \mathbb {R} ~.}$ ${\displaystyle \ x,y\in X\ }$ $${\displaystyle \ d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|~.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ (X,d)~.}$ ${\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots \ }$ ${\displaystyle \ (X,d)\ }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \ \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \ r>0\ ,}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \ d\left(x_{n},x_{m}\right)=\left\|x_{n}-x_{m}\right\|<r\ }$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ N~.}$ ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$ ${\displaystyle \ d\ }$ ${\displaystyle \ (X,d)\ }$ ${\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots \ }$ ${\displaystyle \ (X,d)\ ,}$ ${\displaystyle \ x\in X\ }$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x\;{\text{ in }}(X,d)}$$ ${\displaystyle \left\|x_{n}-x\right\|=d\left(x_{n},x\right),}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x\right\|=0\;{\text{ in }}\mathbb {R} ~.}$$

La norma de un espacio normado se llama ${\displaystyle \ \|\cdot \|\ }$ ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$norma completa sies un espacio de Banach. ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$

Producto semi-interno L

Para cualquier espacio normado existe un L-producto semi-interno en tal que para todos en general, puede haber infinitos L-productos semi-internos que satisfagan esta condición. Los L-productos semi-internos son una generalización de los productos internos , que son los que distinguen fundamentalmente los espacios de Hilbert de todos los demás espacios de Banach. Esto demuestra que todos los espacios normados (y, por lo tanto, todos los espacios de Banach) pueden considerarse como generalizaciones de los espacios (pre-)Hilbert. ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ ,}$ ${\displaystyle \ \langle \cdot ,\cdot \rangle \ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\textstyle \ \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\ }$ ${\displaystyle \ x\in X\ ;}$

Caracterización en términos de serie

La estructura del espacio vectorial permite relacionar el comportamiento de las secuencias de Cauchy con el de las series convergentes de vectores . Un espacio normado es un espacio de Banach si y solo si cada serie absolutamente convergente en converge a un valor que se encuentra dentro de ^[3] ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ X\ ,}$ $${\displaystyle \ \sum _{n=1}^{\infty }\|v_{n}\|<\infty \quad {\text{ implies that }}\quad \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\ \ {\text{ converges in }}\ \ X~.}$$

Topología

La métrica canónica de un espacio normado induce la topología métrica usual a la que se denomina topología canónica o inducida por norma . Se supone automáticamente que todo espacio normado lleva esta topología de Hausdorff , a menos que se indique lo contrario. Con esta topología, todo espacio de Banach es un espacio de Baire , aunque existen espacios normados que son de Baire pero no de Banach. ^[4] La norma es siempre una función continua con respecto a la topología que induce. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$ ${\displaystyle \ \tau _{d}\ }$ ${\displaystyle \ X\ ,}$ ${\displaystyle \ \|\,\cdot \,\|:\left(X,\tau _{d}\right)\to \mathbb {R} \ }$

Las bolas abiertas y cerradas de radio centradas en un punto son, respectivamente, los conjuntos Cualquier bola de este tipo es un subconjunto convexo y acotado de pero existe una bola / vecindad compacta si y solo si es un espacio vectorial de dimensión finita . En particular, ningún espacio normado de dimensión infinita puede ser localmente compacto o tener la propiedad de Heine-Borel . Si es un vector y es un escalar entonces Usando muestra que esta topología inducida por norma es invariante en la traslación , lo que significa que para cualquier y el subconjunto es abierto (respectivamente, cerrado ) en si y solo si esto es cierto para su traslación En consecuencia, la topología inducida por norma está completamente determinada por cualquier base de vecindad en el origen. Algunas bases de vecindad comunes en el origen incluyen: donde es una secuencia en de números reales positivos que converge a en (tal como o por ejemplo). Así, por ejemplo, cada subconjunto abierto de se puede escribir como una unión indexada por algún subconjunto donde cada se puede elegir de la secuencia antes mencionada (las bolas abiertas se pueden reemplazar con bolas cerradas, aunque entonces también puede ser necesario reemplazar el conjunto de indexación y los radios ). Además, siempre se puede elegir que sea contable si es un espacio separable , lo que por definición significa que contiene algún subconjunto denso contable . ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \ x\in X\ }$ $${\displaystyle \ B_{r}(x):=\{\ z\in X:\|z-x\|<r\ \}\qquad {\text{ and }}\qquad C_{r}(x):=\{\ z\in X:\|z-x\|\leq r\ \}~.}$$ ${\displaystyle \ X\ ,}$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ x_{0}\ }$ ${\displaystyle \ s\neq 0\ }$ $${\displaystyle \ x_{0}+s\ B_{r}(x)=B_{|s|r}\!\left(\ x_{0}+s\ x\ \right)\qquad {\text{ and }}\qquad x_{0}+s\ C_{r}(x)=C_{|s|r}\!\left(\ x_{0}+s\ x\ \right)~.}$$ ${\displaystyle \ s=1\ }$ ${\displaystyle \ x\in X\ }$ ${\displaystyle \ S\subseteq X\ ,}$ ${\displaystyle \ S\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ x+S:=\{\ x+s:s\in S\ \}~.}$ $${\displaystyle \ \left\{\ B_{r}(0):r>0\ \right\},\qquad \left\{\ C_{r}(0):r>0\ \right\},\qquad \left\{\ B_{r_{n}}(0):n\in \mathbb {N} \ \right\},\qquad {\text{ or }}\qquad \left\{\ C_{r_{n}}(0):n\in \mathbb {N} \ \right\}\ }$$ ${\displaystyle \ r_{1},r_{2},\ldots \ }$ ${\displaystyle \ 0\ }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ r_{n}:={\tfrac {1}{n}}\ }$ ${\displaystyle \ r_{n}:=1/2^{n}\ ,}$ ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ $${\displaystyle \ U=\bigcup _{x\in I}B_{r_{x}}(x)=\bigcup _{x\in I}x+B_{r_{x}}(0)=\bigcup _{x\in I}x+r_{x}\ B_{1}(0)\ }$$ ${\displaystyle \ I\subseteq U\ ,}$ ${\displaystyle \ r_{x}\ }$ ${\displaystyle \ r_{1},r_{2},\ldots \ }$ ${\displaystyle \ I\ }$ ${\displaystyle \ r_{x}\ }$ ${\displaystyle \ I\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$

Clases de homeomorfismo de espacios de Banach separables

Todos los espacios normados de dimensión finita son espacios de Banach separables y dos espacios de Banach cualesquiera de la misma dimensión finita son linealmente homeomorfos. Todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es linealmente isométrico al espacio de secuencia ${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$ de Hilbert separable con su norma habitual. ${\displaystyle \ \|\cdot \|_{2}~.}$

El teorema de Anderson-Kadec establece que todo espacio de Fréchet separable de dimensión infinita es homeomorfo al espacio producto de un número contable de copias de (este homeomorfismo no necesita ser una función lineal ). ^{[5] [6]} Por lo tanto, todos los espacios de Fréchet separables de dimensión infinita son homeomorfos entre sí (o dicho de otra manera, su topología es única hasta un homeomorfismo). Dado que todo espacio de Banach es un espacio de Fréchet, esto también es cierto para todos los espacios de Banach separables de dimensión infinita, incluido De hecho, incluso es homeomorfo a su propia esfera unitaria , lo que contrasta marcadamente con los espacios de dimensión finita (el plano euclidiano no es homeomorfo al círculo unitario , por ejemplo). ${\textstyle \ \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} \ }$ ${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )~.}$ ${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$ ${\displaystyle \ \left\{\ x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ):\|x\|_{2}=1\ \right\}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{2}\ }$

Este patrón en las clases de homeomorfismo se extiende a generalizaciones de variedades topológicas metrizables ( localmente euclidianas ) conocidas como variedades de Banach métricas , que son espacios métricos que están alrededor de cada punto, localmente homeomorfos a algún subconjunto abierto de un espacio de Banach dado ( las variedades de Hilbert métricas y las variedades de Fréchet métricas se definen de manera similar). ^[6] Por ejemplo, cada subconjunto abierto de un espacio de Banach es canónicamente una variedad de Banach métrica modelada en ya que la función de inclusión es un homeomorfismo local abierto . Usando microfibrados del espacio de Hilbert , David Henderson mostró ^{[7] en 1969 que cada variedad métrica modelada en un espacio de Banach (o} de Fréchet ) separable de dimensión infinita puede ser topológicamente incrustada como un subconjunto abierto de y, en consecuencia, también admite una estructura suave única que la convierte en una variedad de Hilbert . ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ U\to X\ }$ ${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$ ${\displaystyle \ C^{\infty }\ }$

Subconjuntos compactos y convexos

Hay un subconjunto compacto cuya envoltura convexa no es cerrada y, por lo tanto, tampoco compacta (véase esta nota al pie [ ^{nota 5]} para un ejemplo). ^[8] Sin embargo, como en todos los espacios de Banach, la envoltura convexa cerrada de este (y cualquier otro) subconjunto compacto será compacta. ^[9] Pero si un espacio normado no es completo, entonces en general no se garantiza que sea compacto siempre que lo sea; un ejemplo ^{[nota 5]} puede encontrarse incluso en un subespacio vectorial pre-Hilbert (no completo) de ${\displaystyle \ S\ }$ ${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$ ${\displaystyle \ \operatorname {co} (S)\ }$ ${\displaystyle \ {\overline {\operatorname {co} }}S\ }$ ${\displaystyle \ {\overline {\operatorname {co} }}S\ }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N} ).}$

Como espacio vectorial topológico

Esta topología inducida por normas también se convierte en lo que se conoce como un espacio vectorial topológico (TVS), que por definición es un espacio vectorial dotado de una topología que hace que las operaciones de adición y multiplicación escalar sean continuas. Se enfatiza que el TVS es solo un espacio vectorial junto con un cierto tipo de topología; es decir, cuando se lo considera como un TVS, no está asociado con ninguna norma o métrica en particular (ambas " olvidadas "). Este TVS de Hausdorff es incluso localmente convexo porque el conjunto de todas las bolas abiertas centradas en el origen forma una base de vecindad en el origen que consiste en conjuntos abiertos equilibrados convexos . Este TVS también es normable , lo que por definición se refiere a cualquier TVS cuya topología esté inducida por alguna norma (posiblemente desconocida) . Los TVS normables se caracterizan por ser de Hausdorff y tener una vecindad convexa acotada del origen. Todos los espacios de Banach son espacios con barriles , lo que significa que cada barril es un vecindario del origen (todas las bolas cerradas centradas en el origen son barriles, por ejemplo) y garantiza que se cumple el teorema de Banach-Steinhaus . ${\displaystyle \ \left(X,\tau _{d}\right)\ }$ ${\displaystyle \ \left(X,\tau _{d}\right)\ }$ ${\displaystyle \left(X,\tau _{d}\right)}$

Comparación de topologías vectoriales metrizables completas

El teorema de aplicación abierta implica que si y son topologías que hacen que tanto y como sean TVS metrizables completos (por ejemplo, espacios de Banach o Fréchet ) y si una topología es más fina o más gruesa que la otra, entonces deben ser iguales (es decir, si o entonces ). ^[10] Así, por ejemplo, si y son espacios de Banach con topologías y y si uno de estos espacios tiene alguna bola abierta que también es un subconjunto abierto del otro espacio (o equivalentemente, si uno de o es continuo), entonces sus topologías son idénticas y sus normas son equivalentes . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \ \tau _{2}\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ (X,\tau )\ }$ ${\displaystyle \ (X,\tau _{2})\ }$ ${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}}$ ${\displaystyle \ \tau _{2}\subseteq \tau \ }$ ${\displaystyle \ \tau =\tau _{2}\ }$ ${\displaystyle \ (X,p)\ }$ ${\displaystyle \ (X,q)\ }$ ${\displaystyle \tau _{p}}$ ${\displaystyle \ \tau _{q}\ }$ ${\displaystyle \ p:\left(X,\tau _{q}\right)\to \mathbb {R} \ }$ ${\displaystyle \ q:\left(X,\tau _{p}\right)\to \mathbb {R} \ }$

Lo completo

Normas completas y normas equivalentes

Se dice que dos normas, y en un espacio vectorial son equivalentes si inducen la misma topología; ^[11] esto sucede si y solo si existen números reales positivos tales que para todo Si y son dos normas equivalentes en un espacio vectorial, entonces es un espacio de Banach si y solo si es un espacio de Banach. Véase esta nota al pie para un ejemplo de una norma continua en un espacio de Banach que no es equivalente a la norma dada de ese espacio de Banach. ^{[nota 6] [11]} Todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes y todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach. ^[12] ${\displaystyle \ p\ }$ ${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ c,\ C>0\ }$ ${\textstyle \ c\ q(x)\leq p(x)\leq C\ q(x)\ }$ ${\displaystyle \ x\in X~.}$ ${\displaystyle \ p\ }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ (X,p)\ }$ ${\displaystyle \ (X,q)\ }$

Normas completas vs métricas completas

Una métrica en un espacio vectorial es inducida por una norma en si y solo si es invariante en la traslación ^{[nota 3]} y absolutamente homogénea , lo que significa que para todos los escalares y todos en cuyo caso la función define una norma en y la métrica canónica inducida por es igual a ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D(sx,sy)=|s|D(x,y)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\displaystyle \|x\|:=D(x,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle D.}$

Supóngase que es un espacio normado y que es la topología norma inducida en Supóngase que es cualquier métrica en tal que la topología que induce en es igual a Si es invariante en la traslación ^{[nota 3]} entonces es un espacio de Banach si y solo si es un espacio métrico completo. ^[13] Si no es invariante en la traslación, entonces puede ser posible que sea un espacio de Banach pero que no sea un espacio métrico completo ^[14] (véase esta nota al pie ^{[nota 7]} para un ejemplo). Por el contrario, un teorema de Klee, ^{[15] [16] [nota 8]} que también se aplica a todos los espacios vectoriales topológicos metrizables , implica que si existe alguna ^{[nota 9]} métrica completa en que induce la topología norma en entonces es un espacio de Banach. ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle (X,D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle (X,D)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$

Un espacio de Fréchet es un espacio vectorial topológico localmente convexo cuya topología es inducida por alguna métrica completa invariante a la traslación. Todo espacio de Banach es un espacio de Fréchet pero no a la inversa; de hecho, incluso existen espacios de Fréchet en los que ninguna norma es una función continua (como el espacio de sucesiones reales con la topología de producto ). Sin embargo, la topología de todo espacio de Fréchet es inducida por alguna familia numerable de funciones de valor real (necesariamente continuas) llamadas seminormas , que son generalizaciones de normas . Incluso es posible que un espacio de Fréchet tenga una topología inducida por una familia numerable de normas (tales normas serían necesariamente continuas) ^{[nota 10] [17]} pero que no sea un espacio de Banach/normable porque su topología no puede definirse por ninguna norma individual . Un ejemplo de dicho espacio es el espacio de Fréchet cuya definición se puede encontrar en el artículo sobre espacios de funciones de prueba y distribuciones . ${\textstyle \ \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} \ }$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$

Normas completas vs espacios vectoriales topológicos completos

Existe otra noción de completitud además de la completitud métrica y es la noción de un espacio vectorial topológico completo (TVS) o TVS-completitud, que utiliza la teoría de espacios uniformes . Específicamente, la noción de TVS-completitud utiliza una uniformidad única invariante a la traducción , llamada uniformidad canónica , que depende solo de la resta vectorial y de la topología con la que está dotado el espacio vectorial, y por lo tanto, en particular, esta noción de completitud TVS es independiente de cualquier norma inducida por la topología (e incluso se aplica a TVS que ni siquiera son metrizables). Todo espacio de Banach es un TVS completo. Además, un espacio normado es un espacio de Banach (es decir, su métrica inducida por la norma es completa) si y solo si es completo como espacio vectorial topológico. Si es un espacio vectorial topológico metrizable (como cualquier topología inducida por normas, por ejemplo), entonces es un TVS completo si y solo si es un TVS secuencialmente completo, lo que significa que es suficiente comprobar que cada secuencia de Cauchy en converge en a algún punto de (es decir, no hay necesidad de considerar la noción más general de redes de Cauchy arbitrarias ). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$

Si es un espacio vectorial topológico cuya topología es inducida por alguna norma (posiblemente desconocida) (tales espacios se denominan normables ), entonces es un espacio vectorial topológico completo si y solo si se le puede asignar una norma que induce sobre la topología y también convierte en un espacio de Banach. Un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff es normable si y solo si su espacio dual fuerte es normable, ^[18] en cuyo caso es un espacio de Banach ( denota el espacio dual fuerte de cuya topología es una generalización de la topología dual inducida por norma sobre el espacio dual continuo ; véase esta nota al pie ^{[nota 11]} para más detalles). Si es un TVS localmente convexo metrizable , entonces es normable si y solo si es un espacio de Fréchet–Urysohn . ^[19] Esto muestra que en la categoría de TVS localmente convexos , los espacios de Banach son exactamente aquellos espacios completos que son metrizables y tienen espacios duales fuertes metrizables . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$

Terminaciones

Todo espacio normado puede ser incrustado isométricamente en un subespacio vectorial denso de algún espacio de Banach, donde este espacio de Banach se denomina compleción del espacio normado. Esta compleción de Hausdorff es única salvo el isomorfismo isométrico .

Más precisamente, para cada espacio normado existe un espacio de Banach y una aplicación tal que es una aplicación isométrica y es densa en Si es otro espacio de Banach tal que hay un isomorfismo isométrico de sobre un subconjunto denso de entonces es isométricamente isomorfo a Este espacio de Banach es la completitud de Hausdorff del espacio normado El espacio métrico subyacente para es el mismo que la completitud métrica de con las operaciones del espacio vectorial extendidas de a La completitud de a veces se denota por ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(X)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\widehat {X}}.}$

Teoría general

Operadores lineales, isomorfismos

Si y son espacios normados sobre el mismo cuerpo fundamental, el conjunto de todas las aplicaciones lineales continuas se denota por En espacios de dimensión infinita, no todas las aplicaciones lineales son continuas. Una aplicación lineal de un espacio normado a otro espacio normado es continua si y solo si está acotada en la bola unitaria cerrada de Por lo tanto, al espacio vectorial se le puede dar la norma del operador ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle B(X,Y).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ $${\displaystyle \|T\|=\sup \left\{\|Tx\|_{Y}\mid x\in X,\ \|x\|_{X}\leq 1\right\}.}$$

En el caso de un espacio de Banach, el espacio es un espacio de Banach con respecto a esta norma. En contextos categóricos, a veces es conveniente restringir el espacio de funciones entre dos espacios de Banach únicamente a las funciones cortas ; en ese caso, el espacio reaparece como un bifuntor natural . ^[20] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

Si es un espacio de Banach, el espacio forma un álgebra de Banach unital ; la operación de multiplicación está dada por la composición de aplicaciones lineales. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B(X)=B(X,X)}$

Si y son espacios normados, son espacios normados isomorfos si existe una biyección lineal tal que y su inversa son continuas. Si uno de los dos espacios o es completo (o reflexivo , separable , etc.), entonces también lo es el otro espacio. Dos espacios normados y son isométricamente isomorfos si además, es una isometría , es decir, para cada en La distancia de Banach-Mazur entre dos espacios isomorfos pero no isométricos y da una medida de cuánto difieren los dos espacios y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{-1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \|T(x)\|=\|x\|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle d(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Funciones lineales continuas y acotadas y seminormas

Todo operador lineal continuo es un operador lineal acotado y, si se trata solo de espacios normados, entonces también es cierto lo inverso. Es decir, un operador lineal entre dos espacios normados está acotado si y solo si es una función continua . Entonces, en particular, debido a que el cuerpo escalar (que es o ) es un espacio normado, una función lineal en un espacio normado es una función lineal acotada si y solo si es una función lineal continua . Esto permite que los resultados relacionados con la continuidad (como los que se muestran a continuación) se apliquen a los espacios de Banach. Aunque la acotación es lo mismo que la continuidad para los mapas lineales entre espacios normados, el término "acotado" se usa más comúnmente cuando se trata principalmente con espacios de Banach. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Si es una función subaditiva (como una norma, una función sublineal o un funcional lineal real), entonces ^[21] es continua en el origen si y solo si es uniformemente continua en todos los ; y si además entonces es continua si y solo si su valor absoluto es continuo, lo que sucede si y solo si es un subconjunto abierto de ^{[21] [nota 12]} Y muy importante para aplicar el teorema de Hahn-Banach , un funcional lineal es continuo si y solo si esto es cierto para su parte real y además, y la parte real determina completamente , razón por la cual el teorema de Hahn-Banach a menudo se enuncia solo para funcionales lineales reales. Además, un funcional lineal en es continuo si y solo si la seminorma es continua, lo que sucede si y solo si existe una seminorma continua tal que ; esta última afirmación que involucra al funcional lineal y la seminorma se encuentra en muchas versiones del teorema de Hahn-Banach. ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle \{x\in X:|f(x)|<1\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle \|\operatorname {Re} f\|=\|f\|}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |f|\leq p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

Nociones básicas

El producto cartesiano de dos espacios normados no está canónicamente equipado con una norma. Sin embargo, se utilizan comúnmente varias normas equivalentes, ^[22] como las que corresponden (respectivamente) al coproducto y al producto en la categoría de espacios de Banach y aplicaciones cortas (discutidas anteriormente). ^[20] Para los (co)productos finitos, estas normas dan lugar a espacios normados isomorfos, y el producto (o la suma directa ) es completo si y solo si los dos factores son completos. ${\displaystyle X\times Y}$ $${\displaystyle \|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)}$$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X\oplus Y}$

Si es un subespacio lineal cerrado de un espacio normado existe una norma natural en el espacio cociente ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X/M,}$ $${\displaystyle \|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|.}$$

El cociente es un espacio de Banach cuando es completo. ^[23] La función cociente de sobre que envía a su clase es lineal, sobre y tiene norma excepto cuando en cuyo caso el cociente es el espacio nulo. ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x+M,}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle M=X,}$

Se dice que el subespacio lineal cerrado de es un subespacio complementado de si es el rango de una proyección lineal acotada sobreyectiva . En este caso, el espacio es isomorfo a la suma directa de y al núcleo de la proyección. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P:X\to M.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ker P,}$ ${\displaystyle P.}$

Supóngase que y son espacios de Banach y que Existe una factorización canónica de como ^[23] donde la primera función es la función del cociente, y la segunda función envía cada clase en el cociente a la imagen en Esto está bien definido porque todos los elementos en la misma clase tienen la misma imagen. La función es una biyección lineal de sobre el rango cuya inversa no necesita estar acotada. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y).}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle T=T_{1}\circ \pi ,\ \ \ T:X\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}\ X/\ker(T)\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }}\ Y}$$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle x+\ker T}$ ${\displaystyle T(x)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle X/\ker T}$ ${\displaystyle T(X),}$

Espacios clásicos

Ejemplos básicos ^[24] de espacios de Banach incluyen: los espacios Lp y sus casos especiales, los espacios de secuencias que consisten en secuencias escalares indexadas por números naturales ; entre ellos, el espacio de secuencias absolutamente sumables y el espacio de secuencias cuadradas sumables; el espacio de secuencias que tienden a cero y el espacio de secuencias acotadas; el espacio de funciones escalares continuas en un espacio de Hausdorff compacto equipado con la norma máxima, ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K,}$ $${\displaystyle \|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|:x\in K\},\quad f\in C(K).}$$

Según el teorema de Banach-Mazur , todo espacio de Banach es isométricamente isomorfo a un subespacio de algún ^[25] Para cada espacio de Banach separable existe un subespacio cerrado de tal que ^[26] ${\displaystyle C(K).}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle X:=\ell ^{1}/M.}$

Cualquier espacio de Hilbert sirve como ejemplo de un espacio de Banach. Un espacio de Hilbert en es completo para una norma de la forma donde es el producto interno , lineal en su primer argumento que satisface lo siguiente: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ $${\displaystyle \|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }},}$$ $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbb {K} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\quad {\text{ for all }}x,y\in H\\\langle x,x\rangle &\geq 0,\quad {\text{ for all }}x\in H\\\langle x,x\rangle =0{\text{ if and only if }}x&=0.\end{aligned}}}$$

Por ejemplo, el espacio es un espacio de Hilbert. ${\displaystyle L^{2}}$

Los espacios de Hardy y los espacios de Sobolev son ejemplos de espacios de Banach que están relacionados con los espacios y tienen una estructura adicional. Son importantes en diferentes ramas del análisis, análisis armónico y ecuaciones diferenciales parciales, entre otras. ${\displaystyle L^{p}}$

Álgebras de Banach

Un álgebra de Banach es un espacio de Banach sobre o junto con una estructura de álgebra sobre , tal que la función del producto es continua. Se puede encontrar una norma equivalente sobre de modo que para todo ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A\times A\ni (a,b)\mapsto ab\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|ab\|\leq \|a\|\|b\|}$ ${\displaystyle a,b\in A.}$

Ejemplos

• El espacio de Banach con el producto puntual es un álgebra de Banach. ${\displaystyle C(K)}$
• El álgebra de discos consiste en funciones holomorfas en el disco unitario abierto y continuas en su cierre : Equipada con la norma máxima en el álgebra de discos es una subálgebra cerrada de ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$ ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }}.}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {D} }},}$ ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$ ${\displaystyle C\left({\overline {\mathbf {D} }}\right).}$
• El álgebra de Wiener es el álgebra de funciones sobre el círculo unitario con series de Fourier absolutamente convergentes. Mediante la función que asocia una función a la sucesión de sus coeficientes de Fourier, esta álgebra es isomorfa al álgebra de Banach, donde el producto es la convolución de sucesiones. ${\displaystyle A(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \ell ^{1}(Z),}$
• Para cada espacio de Banach, el espacio de operadores lineales acotados con la composición de mapas como producto, es un álgebra de Banach. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B(X)}$ ${\displaystyle X,}$
• Una C*-álgebra es un álgebra de Banach compleja con una involución antilineal tal que El espacio de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert es un ejemplo fundamental de C*-álgebra. El teorema de Gelfand-Naimark establece que toda C*-álgebra es isométricamente isomorfa a una C*-subálgebra de algún El espacio de funciones continuas complejas en un espacio de Hausdorff compacto es un ejemplo de C*-álgebra conmutativa, donde la involución asocia a cada función su conjugado complejo ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\mapsto a^{*}}$ ${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\|a\|^{2}.}$ ${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle B(H).}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {f}}.}$

Espacio dual

Si es un espacio normado y el cuerpo subyacente (ya sea los números reales o los complejos ), el espacio dual continuo es el espacio de aplicaciones lineales continuas de en o funcionales lineales continuos . La notación para el dual continuo se encuentra en este artículo. ^[27] Dado que es un espacio de Banach (usando el valor absoluto como norma), el dual es un espacio de Banach, para cada espacio normado El teorema de Dixmier-Ng caracteriza los espacios duales de los espacios de Banach. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle X^{\prime }=B(X,\mathbb {K} )}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$

La principal herramienta para demostrar la existencia de funcionales lineales continuos es el teorema de Hahn-Banach .

Teorema de Hahn-Banach  :  Sea un espacio vectorial sobre el campo Sea además ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} .}$

• ${\displaystyle Y\subseteq X}$sea ​​un subespacio lineal ,
• ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$sea ​​una función sublineal y
• ${\displaystyle f:Y\to \mathbb {K} }$sea ​​una función lineal de modo que para todos ${\displaystyle \operatorname {Re} (f(y))\leq p(y)}$ ${\displaystyle y\in Y.}$

Entonces, existe una función lineal tal que ${\displaystyle F:X\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle F{\big \vert }_{Y}=f,\quad {\text{ and }}\quad {\text{ for all }}x\in X,\ \ \operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).}$$

En particular, cada funcional lineal continuo en un subespacio de un espacio normado puede extenderse continuamente a todo el espacio, sin aumentar la norma del funcional. ^[28] Un caso especial importante es el siguiente: para cada vector en un espacio normado existe un funcional lineal continuo en tal que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X^{\prime }}\leq 1.}$$

Cuando no es igual al vector, el funcional debe tener norma uno, y se llama funcional normalizador . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

El teorema de separación de Hahn-Banach establece que dos conjuntos convexos no vacíos y disjuntos en un espacio de Banach real, uno de ellos abierto, pueden estar separados por un hiperplano afín cerrado . El conjunto convexo abierto se encuentra estrictamente en un lado del hiperplano, el segundo conjunto convexo se encuentra en el otro lado pero puede tocar el hiperplano. ^[29]

Un subconjunto en un espacio de Banach es total si el espacio lineal de es denso en El subconjunto es total en si y solo si el único funcional lineal continuo que se desvanece en es el funcional: esta equivalencia se sigue del teorema de Hahn-Banach. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Si es la suma directa de dos subespacios lineales cerrados y entonces el dual de es isomorfo a la suma directa de los duales de y ^[30] Si es un subespacio lineal cerrado en uno se puede asociar el ortogonal de en el dual, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle M^{\bot }=\left\{x^{\prime }\in X:x^{\prime }(m)=0,\ {\text{ for all }}m\in M\right\}.}$$

El ortogonal es un subespacio lineal cerrado del dual. El dual de es isométricamente isomorfo a El dual de es isométricamente isomorfo a ^[31] ${\displaystyle M^{\bot }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X'/M^{\bot }.}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M^{\bot }.}$

El dual de un espacio de Banach separable no necesita ser separable, pero:

Teorema ^[32]  —  Sea un espacio normado. Si es separable , entonces es separable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$

Cuando es separable, el criterio anterior para la totalidad se puede utilizar para demostrar la existencia de un subconjunto total contable en ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X.}$

Topologías débiles

La topología débil en un espacio de Banach es la topología más burda en la que todos los elementos en el espacio dual continuo son continuos. Por lo tanto, la topología normativa es más fina que la topología débil. Del teorema de separación de Hahn-Banach se deduce que la topología débil es Hausdorff y que un subconjunto convexo de un espacio de Banach cerrado en norma también es débilmente cerrado. ^[33] Una función lineal continua en norma entre dos espacios de Banach y también es débilmente continua , es decir, continua desde la topología débil de hasta la de ^[34] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Si es de dimensión infinita, existen aplicaciones lineales que no son continuas. El espacio de todas las aplicaciones lineales de al cuerpo subyacente (este espacio se llama espacio dual algebraico , para distinguirlo de también induce una topología en la que es más fina que la topología débil, y mucho menos utilizada en el análisis funcional. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

En un espacio dual hay una topología más débil que la topología débil de llamada topología débil* . Es la topología más burda en la que todos los mapas de evaluación donde los rangos sobre son continuos. Su importancia proviene del teorema de Banach-Alaoglu . ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }\mapsto x^{\prime }(x),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$

Teorema de Banach-Alaoglu  :  Seaun espacio vectorial normado . Entonces, la esfera unitaria cerrada del espacio dual es compacta en la topología débil*. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B=\left\{x\in X:\|x\|\leq 1\right\}}$

El teorema de Banach-Alaoglu se puede demostrar utilizando el teorema de Tichonoff sobre productos infinitos de espacios de Hausdorff compactos. Cuando es separable, la bola unidad del dual es un compacto metrizable en la topología débil*. ^[35] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B^{\prime }}$

Ejemplos de espacios duales

El dual de es isométricamente isomorfo a : para cada funcional lineal acotado en hay un elemento único tal que ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c_{0},}$ ${\displaystyle y=\left\{y_{n}\right\}\in \ell ^{1}}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}\in c_{0},\ \ {\text{and}}\ \ \|f\|_{(c_{0})'}=\|y\|_{\ell _{1}}.}$$

El dual de es isométricamente isomorfo a . El dual del espacio de Lebesgue es isométricamente isomorfo a cuando y ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{q}([0,1])}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$

Para cada vector en un espacio de Hilbert la aplicación ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H,}$ $${\displaystyle x\in H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle }$$

define una función lineal continua en El teorema de representación de Riesz establece que toda función lineal continua en es de la forma para un vector definido de forma única en La aplicación es una biyección isométrica antilineal de sobre su dual Cuando los escalares son reales, esta aplicación es un isomorfismo isométrico. ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle y\in H\to f_{y}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H'.}$

Cuando es un espacio topológico de Hausdorff compacto, el dual de es el espacio de medidas de Radon en el sentido de Bourbaki. ^[36] El subconjunto de que consiste en medidas no negativas de masa 1 ( medidas de probabilidad ) es un subconjunto w*-cerrado convexo de la bola unitaria de Los puntos extremos de son las medidas de Dirac en El conjunto de medidas de Dirac en equipado con la topología w*, es homeomorfo a ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M(K)}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle P(K)}$ ${\displaystyle M(K)}$ ${\displaystyle M(K).}$ ${\displaystyle P(K)}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K.}$

Teorema de Banach-Stone  :  Siyson espacios de Hausdorff compactos y siyson isométricamente isomorfos, entonces los espacios topológicosyson homeomorfos . ^{[37] [38]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle C(L)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

^{Amir [39]} y Cambern ^[40] extendieron el resultado al caso en que la distancia multiplicativa de Banach-Mazur entre y es El teorema ya no es verdadero cuando la distancia es ^[41] ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle C(L)}$ ${\displaystyle <2.}$ ${\displaystyle =2.}$

En el álgebra conmutativa de Banach los ideales máximos son precisamente núcleos de medidas de Dirac en ${\displaystyle C(K),}$ ${\displaystyle K,}$ $${\displaystyle I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K):f(x)=0\},\quad x\in K.}$$

De manera más general, por el teorema de Gelfand-Mazur , los ideales máximos de un álgebra de Banach conmutativa unitaria pueden identificarse con sus caracteres —no simplemente como conjuntos sino como espacios topológicos: los primeros con la topología hull-kernel y los segundos con la topología w*. En esta identificación, el espacio ideal máximo puede verse como un subconjunto w*-compacto de la bola unitaria en el dual ${\displaystyle A'.}$

Teorema  —  Si es un espacio de Hausdorff compacto, entonces el espacio ideal máximo del álgebra de Banach es homeomorfo a ^[37] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Xi }$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K.}$

No todas las álgebras de Banach conmutativas unitarias son de la forma para algún espacio compacto de Hausdorff . Sin embargo, esta afirmación es válida si se la coloca en la categoría más pequeña de las C*-álgebras conmutativas . El teorema de representación de Gelfand para las C*-álgebras conmutativas establece que toda C *-álgebra unitaria conmutativa es isométricamente isomorfa a un espacio. ^[42] El espacio compacto de Hausdorff aquí es nuevamente el espacio ideal maximal, también llamado espectro de en el contexto de las C*-álgebras. ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$

Bidual

Si es un espacio normado, el dual (continuo) del dual se llama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X'}$bidual , osegundo dual de Para cada espacio normadoexiste una función natural, ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle {\begin{cases}F_{X}\colon X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}}$$

Esto se define como una función lineal continua en es decir, un elemento de La función es una función lineal de a Como consecuencia de la existencia de una función normalizadora para cada esta función es isométrica, por lo tanto inyectiva . ${\displaystyle F_{X}(x)}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle F_{X}\colon x\to F_{X}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle F_{X}}$

Por ejemplo, el dual de se identifica con y el dual de se identifica con el espacio de secuencias escalares acotadas. Bajo estas identificaciones, es la función de inclusión de a Es isométrica, pero no sobre. ${\displaystyle X=c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$ ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$

Si es sobreyectiva , entonces el espacio normado se llama reflexivo (ver más abajo). Al ser el dual de un espacio normado, el bidual es completo, por lo tanto, todo espacio normado reflexivo es un espacio de Banach. ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$

Utilizando la incrustación isométrica , se acostumbra considerar un espacio normado como un subconjunto de su bidual. Cuando es un espacio de Banach, se lo considera como un subespacio lineal cerrado de Si no es reflexivo, la bola unitaria de es un subconjunto propio de la bola unitaria de El teorema de Goldstine establece que la bola unitaria de un espacio normado es débilmente*-densa en la bola unitaria del bidual. En otras palabras, para cada en el bidual, existe una red en tal que ${\displaystyle F_{X},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle x''}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \sup _{i\in I}\left\|x_{i}\right\|\leq \|x''\|,\ \ x''(f)=\lim _{i}f\left(x_{i}\right),\quad f\in X'.}$$

La red puede ser reemplazada por una secuencia débilmente convergente cuando el dual es separable. Por otra parte, los elementos del bidual de que no están en no pueden ser débiles*-límites de secuencias en ya que son débilmente secuencialmente completos. ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

Teoremas de Banach

A continuación se presentan los principales resultados generales sobre los espacios de Banach que se remontan a la época del libro de Banach (Banach (1932)) y están relacionados con el teorema de categorías de Baire . Según este teorema, un espacio métrico completo (como un espacio de Banach, un espacio de Fréchet o un F-espacio ) no puede ser igual a una unión de un número numerable de subconjuntos cerrados con interiores vacíos . Por lo tanto, un espacio de Banach no puede ser la unión de un número numerable de subespacios cerrados, a menos que ya sea igual a uno de ellos; un espacio de Banach con una base de Hamel numerable es de dimensión finita.

Teorema de Banach-Steinhaus  :  Seaun espacio de Banach yun espacio vectorial normado . Supongamos quees una colección de operadores lineales continuos deaEl principio de acotación uniforme establece que si para todoentenemosentonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}$ ${\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{Y}<\infty .}$

El teorema de Banach-Steinhaus no se limita a los espacios de Banach. Puede extenderse, por ejemplo, al caso en el que es un espacio de Fréchet , siempre que la conclusión se modifique de la siguiente manera: bajo la misma hipótesis, existe un entorno de en tal que todos los en están uniformemente acotados en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U,}$ $${\displaystyle \sup _{T\in F}\sup _{x\in U}\;\|T(x)\|_{Y}<\infty .}$$

Teorema de aplicación abierta  :  Seayespacios de Banach yun operador lineal continuo sobreyectivo, entonceses una aplicación abierta. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$

Corolario  :  Todo operador lineal acotado uno a uno de un espacio de Banach a un espacio de Banach es un isomorfismo.

El primer teorema de isomorfismo para espacios de Banach  —  Supóngase que y son espacios de Banach y que Supóngase además que el rango de es cerrado en Entonces es isomorfo a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle T\in B(X,Y).}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X/\ker T}$ ${\displaystyle T(X).}$

Este resultado es una consecuencia directa del teorema de isomorfismo de Banach anterior y de la factorización canónica de aplicaciones lineales acotadas.

Corolario  :  Si un espacio de Banach es la suma directa interna de subespacios cerrados , entonces es isomorfo a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}.}$

Esta es otra consecuencia del teorema de isomorfismo de Banach, aplicado a la biyección continua de sobre a la suma . ${\displaystyle M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m_{1},\cdots ,m_{n}}$ ${\displaystyle m_{1}+\cdots +m_{n}.}$

Teorema del grafo cerrado  :  Seauna función lineal entre espacios de Banach. El grafo dees cerrado ensi y solo sies continuo. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle T}$

Reflexividad

El espacio normado se denomina reflexivo cuando la función natural es sobreyectiva. Los espacios normados reflexivos son espacios de Banach. ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{cases}F_{X}:X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}}$$

Teorema  —  Si es un espacio de Banach reflexivo, todo subespacio cerrado de y todo espacio cociente de son reflexivos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Esto es una consecuencia del teorema de Hahn-Banach. Además, según el teorema de aplicación abierta, si hay un operador lineal acotado del espacio de Banach al espacio de Banach, entonces es reflexivo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$

Teorema  —  Si es un espacio de Banach, entonces es reflexivo si y sólo si es reflexivo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Corolario  :  Sea un espacio de Banach reflexivo. Entonces es separable si y solo si es separable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

En efecto, si el dual de un espacio de Banach es separable, entonces es separable. Si es reflexivo y separable, entonces el dual de es separable, por lo tanto es separable. ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Teorema  —  Supóngase que son espacios normados y que Entonces es reflexivo si y sólo si cada uno es reflexivo. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X=X_{1}\oplus \cdots \oplus X_{n}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{j}}$

Los espacios de Hilbert son reflexivos. Los espacios son reflexivos cuando De manera más general, los espacios uniformemente convexos son reflexivos, por el teorema de Milman-Pettis . Los espacios no son reflexivos. En estos ejemplos de espacios no reflexivos , el bidual es "mucho más grande" que Es decir, bajo la incrustación isométrica natural de en dada por el teorema de Hahn-Banach, el cociente es de dimensión infinita, e incluso no separable. Sin embargo, Robert C. James ha construido un ejemplo ^[43] de un espacio no reflexivo, usualmente llamado " el espacio de James " y denotado por ^[44] tal que el cociente es unidimensional. Además, este espacio es isométricamente isomorfo a su bidual. ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle c_{0},\ell ^{1},L^{1}([0,1]),C([0,1])}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }/X}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle J^{\prime \prime }/J}$ ${\displaystyle J}$

Teorema  —  Un espacio de Banach es reflexivo si y sólo si su bola unitaria es compacta en la topología débil . ${\displaystyle X}$

Cuando es reflexiva, se sigue que todos los subconjuntos convexos cerrados y acotados de son débilmente compactos. En un espacio de Hilbert, la compacidad débil de la bola unitaria se utiliza muy a menudo de la siguiente manera: cada secuencia acotada en tiene subsecuencias débilmente convergentes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$

La compacidad débil de la bola unitaria proporciona una herramienta para encontrar soluciones en espacios reflexivos a ciertos problemas de optimización . Por ejemplo, cada función continua convexa en la bola unitaria de un espacio reflexivo alcanza su mínimo en algún punto ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B.}$

Como caso especial del resultado anterior, cuando un espacio reflexivo sobre cada funcional lineal continuo alcanza su máximo en la bola unitaria de El siguiente teorema de Robert C. James proporciona un enunciado inverso. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \|f\|}$ ${\displaystyle X.}$

Teorema de James  :  Para un espacio de Banach las dos propiedades siguientes son equivalentes:

• ${\displaystyle X}$Es reflexivo.
• porque todo lo que hay allí existe con tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \|x\|\leq 1,}$ ${\displaystyle f(x)=\|f\|.}$

El teorema puede extenderse para dar una caracterización de conjuntos convexos débilmente compactos.

En cada espacio de Banach no reflexivo existen funcionales lineales continuos que no alcanzan la norma . Sin embargo, el teorema de Bishop - Phelps ^[45] establece que los funcionales que alcanzan la norma son densos en la norma en el dual de ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$

Convergencias débiles de secuencias

Una secuencia en un espacio de Banach es débilmente convergente a un vector si converge a para cada funcional lineal continuo en el dual. La secuencia es una secuencia de Cauchy débil si converge a un límite escalar para cada en. Una secuencia en el dual es débilmente* convergente a un funcional si converge a para cada en. Las secuencias de Cauchy débil, las secuencias débilmente convergentes y las secuencias débilmente convergentes* están limitadas por una norma, como consecuencia del teorema de Banach-Steinhaus . ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}}$ ${\displaystyle L(f),,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle \left\{f_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle f\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X.}$

Cuando la secuencia en es una secuencia débilmente Cauchy, el límite anterior define un funcional lineal acotado en el dual , es decir, un elemento del bidual de y es el límite de en la topología débil* del bidual. El espacio de Banach es débilmente secuencialmente completo si cada secuencia débilmente Cauchy es débilmente convergente en De la discusión anterior se deduce que los espacios reflexivos son débilmente secuencialmente completos. ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Teorema ^[46]  —  Para cada medida el espacio es débilmente secuencialmente completo. ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$

Una secuencia ortonormal en un espacio de Hilbert es un ejemplo simple de una secuencia débilmente convergente, con límite igual al vector. La base del vector unitario de para o de es otro ejemplo de una secuencia débilmente nula , es decir, una secuencia que converge débilmente a Para cada secuencia débilmente nula en un espacio de Banach, existe una secuencia de combinaciones convexas de vectores de la secuencia dada que converge en la norma a ^[47] ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ ${\displaystyle c_{0},}$ ${\displaystyle \mathbf {0} .}$ ${\displaystyle \mathbf {0} .}$

La base del vector unitario de no es Cauchy débil. Las sucesiones de Cauchy débil en son convergentes débilmente, ya que los espacios - son secuencialmente completos débilmente. En realidad, las sucesiones de convergencia débil en son convergentes en norma. ^[48] Esto significa que satisface la propiedad de Schur . ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$

Resultados que involucran la ${\displaystyle \ell ^{1}}$base

Las secuencias de Cauchy débiles y la base son los casos opuestos de la dicotomía establecida en el siguiente resultado profundo de H. P. Rosenthal. ^[49] ${\displaystyle \ell ^{1}}$

Teorema ^[50]  —  Sea una sucesión acotada en un espacio de Banach. O bien tiene una subsucesión débilmente Cauchy, o bien admite una subsucesión equivalente a la base del vector unitario estándar de ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$

Un complemento a este resultado se debe a Odell y Rosenthal (1975).

Teorema ^[51]  —  Sea un espacio de Banach separable. Los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$

• El espacio no contiene un subespacio cerrado isomorfo a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$
• Cada elemento del bidual es el límite débil* de una secuencia en ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X.}$

Por el teorema de Goldstine, cada elemento de la bola unitaria de es un límite débil* de una red en la bola unitaria de Cuando no contiene cada elemento de es un límite débil* de una secuencia en la bola unitaria de ^[52] ${\displaystyle B^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{1},}$ ${\displaystyle B^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X.}$

Cuando el espacio de Banach es separable, la bola unidad del dual equipada con la topología débil*, es un espacio compacto metrizable ^[35] y cada elemento en el bidual define una función acotada en : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle x^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle x'\in K\mapsto x''(x'),\quad \left|x''(x')\right|\leq \left\|x''\right\|.}$$

Esta función es continua para la topología compacta de si y solo si se considera realmente como subconjunto de Supongamos además que para el resto del párrafo que no contiene Por el resultado anterior de Odell y Rosenthal, la función es el límite puntual de una secuencia de funciones continuas en por lo tanto es una función de primera clase de Baire en La bola unitaria del bidual es un subconjunto compacto puntual de la primera clase de Baire en ^[53] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$ ${\displaystyle x^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}\subseteq X}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K.}$

Secuencias, compacidad débil y débil*

Cuando es separable, la bola unitaria del dual es débilmente*-compacta según el teorema de Banach–Alaoglu y metrizable para la topología débil*, ^[35] por lo tanto, cada secuencia acotada en el dual tiene subsecuencias débilmente* convergentes. Esto se aplica a los espacios reflexivos separables, pero en este caso es más cierto, como se indica a continuación. ${\displaystyle X}$

La topología débil de un espacio de Banach es metrizable si y solo si es de dimensión finita. ^[54] Si el dual es separable, la topología débil de la bola unitaria de es metrizable. Esto se aplica en particular a los espacios de Banach reflexivos separables. Aunque la topología débil de la bola unitaria no es metrizable en general, se puede caracterizar la compacidad débil utilizando sucesiones. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$

Teorema de Eberlein-Šmulian ^[55]  —  Un conjuntoen un espacio de Banach es relativamente débilmente compacto si y solo si cada secuenciaentiene una subsecuencia débilmente convergente. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$ ${\displaystyle A}$

Un espacio de Banach es reflexivo si y sólo si cada secuencia acotada tiene una subsecuencia débilmente convergente. ^[56] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un subconjunto débilmente compacto en es norma-compacto. De hecho, cada secuencia en tiene subsecuencias débilmente convergentes por Eberlein–Šmulian, que son norma-convergentes por la propiedad de Schur de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ell ^{1}.}$

Tipo y cotipo

Una forma de clasificar los espacios de Banach es a través de la noción probabilística de tipo y cotipo , estos dos miden qué tan lejos está un espacio de Banach de un espacio de Hilbert.

Bases de Schauder

Una base de Schauder en un espacio de Banach es una secuencia de vectores con la propiedad de que para cada vector existen escalares definidos de manera única que dependen de tal manera que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{e_{n}\right\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle x,}$ $${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}e_{n},\quad {\textit {i.e.,}}\quad x=\lim _{n}P_{n}(x),\ P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}x_{k}e_{k}.}$$

Los espacios de Banach con una base de Schauder son necesariamente separables , porque el conjunto contable de combinaciones lineales finitas con coeficientes racionales (por ejemplo) es denso.

Del teorema de Banach-Steinhaus se deduce que las aplicaciones lineales están uniformemente acotadas por alguna constante. Denotemos los funcionales de coordenadas que asignan a cada en la coordenada de en el desarrollo anterior. Se denominan funcionales biortogonales . Cuando los vectores base tienen norma, los funcionales de coordenadas tienen norma en el dual de ${\displaystyle \left\{P_{n}\right\}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \left\{e_{n}^{*}\right\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle \left\{e_{n}^{*}\right\}}$ ${\displaystyle \,\leq 2C}$ ${\displaystyle X.}$

La mayoría de los espacios separables clásicos tienen bases explícitas. El sistema de Haar es una base para El sistema trigonométrico es una base en cuando El sistema de Schauder es una base en el espacio ^[57] La ​​cuestión de si el álgebra de discos tiene una base ^[58] permaneció abierta durante más de cuarenta años, hasta que Bočkarev demostró en 1974 que admite una base construida a partir del sistema de Franklin . ^[59] ${\displaystyle \left\{h_{n}\right\}}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1]),1\leq p<\infty .}$ ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle 1<p<\infty .}$ ${\displaystyle C([0,1]).}$ ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$ ${\displaystyle A(\mathbf {D} )}$

Puesto que cada vector en un espacio de Banach con una base es el límite de un vector de rango finito y uniformemente acotado, el espacio satisface la propiedad de aproximación acotada . El primer ejemplo de Enflo de un espacio que no cumple la propiedad de aproximación fue al mismo tiempo el primer ejemplo de un espacio de Banach separable sin una base de Schauder. ^[60] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{n}(x),}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle X}$

Robert C. James caracterizó la reflexividad en los espacios de Banach con una base: el espacio con una base de Schauder es reflexivo si y sólo si la base es a la vez encogible y acotadamente completa . ^[61] En este caso, los funcionales biortogonales forman una base del dual de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Producto tensorial

Sean y dos espacios vectoriales. El producto tensorial de y es un espacio vectorial con una función bilineal que tiene la siguiente propiedad universal : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle T:X\times Y\to Z}$

Si hay una aplicación bilineal en un espacio vectorial entonces existe una única aplicación lineal tal que ${\displaystyle T_{1}:X\times Y\to Z_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle Z_{1},}$ ${\displaystyle f:Z\to Z_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}=f\circ T.}$

La imagen de un par en se denota por y se llama tensor simple . Cada elemento en es una suma finita de tales tensores simples. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle x\otimes y,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$

Existen varias normas que se pueden aplicar al producto tensorial de los espacios vectoriales subyacentes, entre otras la norma cruzada proyectiva y la norma cruzada inyectiva introducidas por A. Grothendieck en 1955. ^[62]

En general, el producto tensorial de espacios completos no es completo nuevamente. Cuando se trabaja con espacios de Banach, se acostumbra decir que el producto tensorial proyectivo ^[63] de dos espacios de Banach y es la completitud del producto tensorial algebraico dotado de la norma tensorial proyectiva, y de manera similar para el producto tensorial inyectivo ^[64] Grothendieck demostró en particular que ^[65] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$ ${\displaystyle X\otimes Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C(K){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y&\simeq C(K,Y),\\L^{1}([0,1]){\widehat {\otimes }}_{\pi }Y&\simeq L^{1}([0,1],Y),\end{aligned}}}$$donde es un espacio de Hausdorff compacto, el espacio de Banach de funciones continuas de a y el espacio de funciones integrables y medibles por Bochner de a y donde los isomorfismos son isométricos. Los dos isomorfismos anteriores son las extensiones respectivas de la función que envía el tensor a la función de valor vectorial. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C(K,Y)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L^{1}([0,1],Y)}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f\otimes y}$ ${\displaystyle s\in K\to f(s)y\in Y.}$

Productos tensoriales y propiedad de aproximación

Sea un espacio de Banach. El producto tensorial se identifica isométricamente con la clausura en del conjunto de operadores de rango finito. Cuando tiene la propiedad de aproximación , esta clausura coincide con el espacio de operadores compactos en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle B(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Para cada espacio de Banach existe una función lineal de norma natural obtenida extendiendo la función identidad del producto tensorial algebraico. Grothendieck relacionó el problema de aproximación con la cuestión de si esta función es biunívoca cuando es el dual de Precisamente, para cada espacio de Banach la función es biunívoca si y solo si tiene la propiedad de aproximación. ^[66] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle 1}$ $${\displaystyle Y{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to Y{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\ \longrightarrow X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$$ ${\displaystyle X}$

Grothendieck conjeturó que y deben ser diferentes siempre que y sean espacios de Banach de dimensión infinita. Esto fue refutado por Gilles Pisier en 1983. ^[67] Pisier construyó un espacio de Banach de dimensión infinita tal que y sean iguales. Además, tal como en el ejemplo de Enflo , este espacio es un espacio "hecho a mano" que no tiene la propiedad de aproximación. Por otro lado, Szankowski demostró que el espacio clásico no tiene la propiedad de aproximación. ^[68] ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\pi }X}$ ${\displaystyle X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\left(\ell ^{2}\right)}$

Algunos resultados de clasificación

Caracterizaciones del espacio de Hilbert entre los espacios de Banach

Una condición necesaria y suficiente para que la norma de un espacio de Banach esté asociada a un producto interno es la identidad del paralelogramo : ${\displaystyle X}$

Identidad del paralelogramo  —  para todos ${\displaystyle x,y\in X:\qquad \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\right).}$

De ello se deduce, por ejemplo, que el espacio de Lebesgue es un espacio de Hilbert sólo cuando Si se cumple esta identidad, el producto interno asociado viene dado por la identidad de polarización . En el caso de escalares reales, esto da: ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle p=2.}$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

Para escalares complejos, definir el producto interno de modo que sea -lineal en antilineal en la identidad de polarización da: ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y,}$ $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right)\right).}$$

Para ver que la ley del paralelogramo es suficiente, se observa en el caso real que es simétrico, y en el caso complejo, que satisface la propiedad de simetría hermítica y La ley del paralelogramo implica que es aditivo en Se deduce que es lineal sobre los racionales, por tanto lineal por continuidad. ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \langle ix,y\rangle =i\langle x,y\rangle .}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle x.}$

Existen varias caracterizaciones de espacios isomorfos (en lugar de isométricos) a los espacios de Hilbert. La ley del paralelogramo se puede extender a más de dos vectores y debilitar mediante la introducción de una desigualdad bilateral con una constante : Kwapień demostró que si para cada entero y todas las familias de vectores entonces el espacio de Banach es isomorfo a un espacio de Hilbert. ^[69] Aquí, denota el promedio sobre las posibles elecciones de signos En el mismo artículo, Kwapień demostró que la validez de un teorema de Parseval con valor de Banach para la transformada de Fourier caracteriza a los espacios de Banach isomorfos a los espacios de Hilbert. ${\displaystyle c\geq 1}$ $${\displaystyle c^{-2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}\leq \operatorname {Ave} _{\pm }\left\|\sum _{k=1}^{n}\pm x_{k}\right\|^{2}\leq c^{2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\subseteq X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Ave} _{\pm }}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \pm 1.}$

Lindenstrauss y Tzafriri demostraron que un espacio de Banach en el que cada subespacio lineal cerrado se complementa (es decir, es el rango de una proyección lineal acotada) es isomorfo a un espacio de Hilbert. ^[70] La prueba se basa en el teorema de Dvoretzky sobre secciones euclidianas de cuerpos convexos simétricos centralmente de alta dimensión. En otras palabras, el teorema de Dvoretzky establece que para cada entero, cualquier espacio normado de dimensión finita, con dimensión suficientemente grande en comparación con contiene subespacios casi isométricos al espacio euclidiano de dimensión -dimensional. ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$

El siguiente resultado da la solución del llamado problema del espacio homogéneo . Se dice que un espacio de Banach de dimensión infinita es homogéneo si es isomorfo a todos sus subespacios cerrados de dimensión infinita. Un espacio de Banach isomorfo a es homogéneo, y Banach preguntó por la inversa. ^[71] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Teorema ^[72]  —  Un espacio de Banach isomorfo a todos sus subespacios cerrados de dimensión infinita es isomorfo a un espacio de Hilbert separable.

Un espacio de Banach de dimensión infinita es hereditariamente indecomponible cuando ningún subespacio del mismo puede ser isomorfo a la suma directa de dos espacios de Banach de dimensión infinita. El teorema de dicotomía de Gowers ^[72] afirma que todo espacio de Banach de dimensión infinita contiene, o bien un subespacio con base incondicional , o bien un subespacio hereditariamente indecomponible y en particular, no es isomorfo a sus hiperplanos cerrados. ^[73] Si es homogéneo, debe tener por tanto una base incondicional. Se sigue entonces de la solución parcial obtenida por Komorowski y Tomczak–Jaegermann , para espacios con una base incondicional, ^[74] que es isomorfo a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ell ^{2}.}$

Clasificación métrica

Si es una isometría del espacio de Banach sobre el espacio de Banach (donde tanto y son espacios vectoriales sobre ), entonces el teorema de Mazur-Ulam establece que debe ser una transformación afín. En particular, si esta es mapea el cero de al cero de entonces debe ser lineal. Este resultado implica que la métrica en los espacios de Banach, y más generalmente en los espacios normados, captura completamente su estructura lineal. ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T(0_{X})=0_{Y},}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle T}$

Clasificación topológica

Los espacios de Banach de dimensión finita son homeomorfos como espacios topológicos, si y sólo si tienen la misma dimensión que los espacios vectoriales reales.

El teorema de Anderson-Kadec (1965-66) demuestra ^[75] que dos espacios de Banach separables de dimensión infinita son homeomorfos como espacios topológicos. El teorema de Kadec fue ampliado por Torunczyk, quien demostró ^[76] que dos espacios de Banach son homeomorfos si y solo si tienen el mismo carácter de densidad , la cardinalidad mínima de un subconjunto denso.

Espacios de funciones continuas

Cuando dos espacios de Hausdorff compactos y son homeomorfos , los espacios de Banach y son isométricos. Por el contrario, cuando no es homeomorfo a la distancia de Banach-Mazur (multiplicativa) entre y debe ser mayor o igual que véase más arriba los resultados de Amir y Cambern. Aunque innumerables espacios métricos compactos pueden tener diferentes tipos de homeomorfía, se tiene el siguiente resultado debido a Milutin: ^[77] ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2}}$ ${\displaystyle C\left(K_{1}\right)}$ ${\displaystyle C\left(K_{2}\right)}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle K_{2},}$ ${\displaystyle C\left(K_{1}\right)}$ ${\displaystyle C\left(K_{2}\right)}$ ${\displaystyle 2,}$

Teorema ^[78]  —  Sea un espacio métrico compacto incontable. Entonces es isomorfo a ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle C([0,1]).}$

La situación es diferente para los espacios de Hausdorff compactos numerablemente infinitos . Todo compacto numerablemente infinito es homeomorfo a algún intervalo cerrado de números ordinales equipados con la topología de orden , donde es un ordinal numerablemente infinito. ^[79] El espacio de Banach es entonces isométrico a C (⟨1, α ⟩) . Cuando son dos ordinales numerablemente infinitos, y suponiendo que los espacios C (⟨1, α ⟩) y C (⟨1, β ⟩) son isomorfos si y solo si β < α ^ω . ^[80] Por ejemplo, los espacios de Banach son mutuamente no isomorfos. ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle \langle 1,\alpha \rangle =\{\gamma \ :\ 1\leq \gamma \leq \alpha \}}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \alpha \leq \beta ,}$ $${\displaystyle C(\langle 1,\omega \rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega }\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{2}}\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{3}}\rangle ),\cdots ,C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{\omega }}\rangle ),\cdots }$$

Ejemplos

Glosario de símbolos para la tabla siguiente:

• ${\displaystyle \mathbb {F} }$denota el campo de números reales o números complejos ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
• ${\displaystyle K}$es un espacio de Hausdorff compacto .
• ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} }$son números reales con que son conjugados de Hölder , lo que significa que satisfacen y por lo tanto también ${\displaystyle 1<p,q<\infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}=1}$ ${\displaystyle q={\frac {p}{p-1}}.}$
• ${\displaystyle \Sigma }$es un -álgebra de conjuntos. ${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle \Xi }$es un álgebra de conjuntos (para espacios que sólo requieren aditividad finita, como el espacio ba ).
• ${\displaystyle \mu }$es una medida con variación Una medida positiva es una función de conjunto positiva de valor real definida en un -álgebra que es contablemente aditiva. ${\displaystyle |\mu |.}$ ${\displaystyle \sigma }$

Derivados

Se pueden definir varios conceptos de derivada en un espacio de Banach. Para más detalles, véanse los artículos sobre la derivada de Fréchet y la derivada de Gateaux . La derivada de Fréchet permite una extensión del concepto de derivada total a espacios de Banach. La derivada de Gateaux permite una extensión de una derivada direccional a espacios vectoriales topológicos localmente convexos . La diferenciabilidad de Fréchet es una condición más fuerte que la diferenciabilidad de Gateaux. La cuasiderivada es otra generalización de la derivada direccional que implica una condición más fuerte que la diferenciabilidad de Gateaux, pero una condición más débil que la diferenciabilidad de Fréchet.

Generalizaciones

Varios espacios importantes en el análisis funcional, por ejemplo, el espacio de todas las funciones infinitamente a menudo diferenciables o el espacio de todas las distribuciones en son completos pero no son espacios vectoriales normados y, por lo tanto, no son espacios de Banach. En los espacios de Fréchet, todavía tenemos una métrica completa , mientras que los espacios LF son espacios vectoriales uniformes completos que surgen como límites de los espacios de Fréchet. ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Véase también

• Espacio (matemáticas)  : conjunto matemático con cierta estructura añadida
  • Espacio de Fréchet  : un espacio vectorial topológico localmente convexo que también es un espacio métrico completo
  • Espacio Hardy  : concepto dentro del análisis complejo
  • Espacio de Hilbert  : tipo de espacio vectorial topológico
  • L-semiproducto interno  – Generalización de productos internos que se aplica a todos los espacios normados
  • ${\displaystyle L^{p}}$espacio  – Espacios funcionales que generalizan espacios normativos p de dimensión finita
  • Espacio de Sobolev  – Espacio vectorial de funciones en matemáticas
  • Red de Banach  : espacio de Banach con una estructura compatible de red
• Disco de Banach
• Variedad de Banach  : Variedad modelada en espacios de Banach
  • Fibrado de Banach  : fibrado vectorial cuyas fibras forman espacios de BanachPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Problema de distorsión
• Espacio de interpolación
• Espacio vectorial topológico localmente convexo  : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Módulo y característica de convexidad
• Espacio de Smith  : espacio localmente convexo, compacto y completo, que tiene un conjunto compacto universalPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio vectorial topológico  – Espacio vectorial con noción de proximidad
• Espacio de Tsirelson

Notas

1. Es común leer " es un espacio normado" ${\displaystyle \ X\ }$ en lugar de la más correcta técnicamente pero (usualmente) pedante " es un espacio normado", ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)}$ especialmente si la norma es bien conocida (por ejemplo, como con los espacios ) o cuando no hay una necesidad particular de elegir ninguna norma (equivalente) sobre cualquier otra (especialmente en la teoría más abstracta de los espacios vectoriales topológicos ), en cuyo caso a menudo se asume automáticamente que esta norma (si es necesaria) se denota por Sin embargo, en situaciones donde se pone énfasis en la norma, es común ver escrito en lugar de La definición técnicamente correcta de los espacios normados como pares también puede volverse importante en el contexto de la teoría de categorías donde la distinción entre las categorías de espacios normados, espacios normables , espacios métricos , TVS , espacios topológicos , etc. suele ser importante. ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}^{p}\ }$ ${\displaystyle \ \|\cdot \|~.}$ ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$ ${\displaystyle \ X~.}$ ${\displaystyle \ (X,\|\cdot \|)\ }$
2. Esto significa que si la norma se reemplaza por una norma diferente en entonces no es el mismo espacio normado que ni siquiera si las normas son equivalentes. Sin embargo, la equivalencia de normas en un espacio vectorial dado sí forma una relación de equivalencia . ${\displaystyle \ \|\cdot \|\ }$ ${\displaystyle \ \|\ \cdot \ \|^{\prime }\ }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \left(X,\|\cdot \|^{\prime }\right),}$
3. una métrica en un espacio vectorial es invariante en la traducción si para todos los vectores Esto sucede si y solo si para todos los vectores Una métrica que es inducida por una norma siempre es invariante en la traducción. ${\displaystyle \ D\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ D(x,y)=D(x+z,y+z)\ }$ ${\displaystyle \ x,y,z\in X~.}$ ${\displaystyle \ D(x,y)=D(x-y,0)\ }$ ${\displaystyle \ x,y\in X~.}$
4. Porque para todos siempre es cierto que para todos Entonces el orden de y en esta definición no importa. ${\displaystyle \ \|-z\|=\|z\|\ }$ ${\displaystyle \ z\in X\ ,}$ ${\displaystyle \ d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|\ }$ ${\displaystyle \ x,y\in X~.}$ ${\displaystyle \ x\ }$ ${\displaystyle y}$
5. Sea el espacio de Hilbert separable de sucesiones sumables al cuadrado con la norma usual y sea la base ortonormal estándar (que está en la coordenada ). El conjunto cerrado es compacto (porque es secuencialmente compacto ) pero su envoltura convexa no es un conjunto cerrado porque pertenece a la clausura de en pero (ya que cada sucesión es una combinación convexa finita de elementos de y así para todas las coordenadas excepto un número finito, lo que no es cierto para ). Sin embargo, como en todos los espacios localmente convexos de Hausdorff completos , la envoltura convexa cerrada de este subconjunto compacto es compacta. El subespacio vectorial es un espacio pre-Hilbert cuando está dotado de la subestructura que el espacio de Hilbert induce en él pero no es completo y (ya que ). La envoltura convexa cerrada de en (aquí, "cerrado" significa con respecto a y no a como antes) es igual a que no es compacto (porque no es un subconjunto completo). Esto demuestra que en un espacio localmente convexo de Hausdorff que no es completo, la envoltura convexa cerrada del subconjunto compacto podría no ser compacta (aunque será precompacta/totalmente acotada ). ${\displaystyle \ H\ }$ ${\displaystyle \ \ell ^{2}(\mathbb {N} )\ }$ ${\displaystyle \ \|\cdot \|_{2}\ }$ ${\displaystyle \ e_{n}=(\ 0,\ldots ,0,1,0,\ldots \ )\ }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle \ S=\{\ 0\ \}\cup \left\{\ {\tfrac {1}{n}}e_{n}:n=1,2,\ldots \ \right\}\ }$ ${\displaystyle \ \operatorname {co} S\ }$ ${\displaystyle \ h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}\ }$ ${\displaystyle \operatorname {co} S\ }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h\not \in \operatorname {co} S}$ ${\displaystyle \ \left(z_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in \operatorname {co} S\ }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ z_{n}=0\ }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \ K:={\overline {\operatorname {co} }}S\ }$ ${\displaystyle \ X:=\operatorname {span} S=\operatorname {span} \left\{\ e_{1},e_{2},\ldots \ \right\}\ }$ ${\displaystyle \ H\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle h\not \in C:=K\cap X}$ ${\displaystyle \ h\not \in X\ }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ X\ ,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K\cap X,}$
6. Sea el espacio de Banach de funciones continuas con norma suprema y sea la topología en inducida por El espacio vectorial puede identificarse (mediante la función de inclusión ) como un subespacio vectorial denso propio del espacio que satisface para todo Sea la restricción de la L 1 -norma a la cual hace que esta función sea una norma en (en general, la restricción de cualquier norma a cualquier subespacio vectorial será necesariamente de nuevo una norma). El espacio normado no es un espacio de Banach puesto que su completitud es el superconjunto propio Porque se cumple en la función es continua. A pesar de ello, la norma no es equivalente a la norma (porque es completa pero no lo es). ${\displaystyle \ \left(C([0,1]),\|\cdot \|_{\infty }\right)\ }$ ${\displaystyle \ \tau _{\infty }\ }$ ${\displaystyle \ C([0,1])\ }$ ${\displaystyle \ \|\cdot \|_{\infty }~.}$ ${\displaystyle \ C([0,1])\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ L^{1}\ }$ ${\displaystyle \ \left(L^{1}([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right)\ ,}$ ${\displaystyle \ \|f\|_{1}\leq \|f\|_{\infty }\ }$ ${\displaystyle \ f\in X~.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \ p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle \left(L^{1}([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right).}$ ${\displaystyle p\leq \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p:\left(X,\tau _{\infty }\right)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ ${\displaystyle \left(X,\|\cdot \|_{\infty }\right)}$ ${\displaystyle (X,p)}$
7. El espacio normado es un espacio de Banach donde el valor absoluto es una norma en la línea real que induce la topología euclidiana usual en Definir una métrica en por para todos Al igual que la métrica inducida  de , la métrica también induce la topología euclidiana usual en Sin embargo, no es una métrica completa porque la secuencia definida por es una secuencia de -Cauchy pero no converge a ningún punto de Como consecuencia de no converger, esta secuencia de -Cauchy no puede ser una secuencia de Cauchy en (es decir, no es una secuencia de Cauchy con respecto a la norma ) porque si fuera -Cauchy, entonces el hecho de que sea un espacio de Banach implicaría que converge (una contradicción). Narici & Beckenstein 2011, pp. 47–51 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x_{i}:=i}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$
8. El enunciado del teorema es: Sea cualquier métrica en un espacio vectorial tal que la topología inducida por en la convierte en un espacio vectorial topológico. Si es un espacio métrico completo entonces es un espacio vectorial topológico completo . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$
9. No se supone que esta métrica sea invariante en cuanto a la traducción, por lo que, en particular, ni siquiera tiene que ser inducida por una norma. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$
10. Una norma (o seminorma ) en un espacio vectorial topológico es continua si y solo si la topología que induce en es más burda que (es decir, ), lo que sucede si y solo si existe alguna bola abierta en (como tal vez por ejemplo) que está abierta en ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{p}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle \ \{\ x\in X:p(x)<1\ \}\ }$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$
11. denota el espacio dual continuo de Cuando está dotado de la topología de espacio dual fuerte , también llamada topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de entonces esto se indica escribiendo (a veces, se usa el subíndice en lugar de ). Cuando es un espacio normado con norma entonces esta topología es igual a la topología en inducida por la norma dual . De esta manera, la topología fuerte es una generalización de la topología inducida por norma dual habitual en ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
12. El hecho de que sea abierto implica que es continuo simplifica la prueba de continuidad porque esto significa que basta con mostrar que es abierto para y en (donde ) en lugar de mostrar esto para todos los reales y todos ${\displaystyle \{x\in X:|f(x)|<1\}}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{x\in X:\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<r\}}$ ${\displaystyle r:=1}$ ${\displaystyle x_{0}:=0}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x_{0}\in X.}$

Referencias

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23. ver págs. 17-19 en Carothers (2005).
24. Véase Banach (1932), págs. 11-12.
25. ver Banach (1932), Th. 9 pág. 185.
26. Véase el teorema 6.1, pág. 55 en Carothers (2005)
27. Varios libros sobre análisis funcional utilizan la notación del dual continuo, por ejemplo Carothers (2005), Lindenstrauss y Tzafriri (1977), Megginson (1998), Ryan (2002), Wojtaszczyk (1991). ${\displaystyle X^{*}}$
28. Teorema 1.9.6, pág. 75 en Megginson (1998)
29. Véase también el Teorema 2.2.26, pág. 179 en Megginson (1998)
30. ver p. 19 en Carothers (2005).
31. Teoremas 1.10.16, 1.10.17 págs. 94-95 en Megginson (1998)
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