En matemáticas, el espectro de una C*-álgebra o dual de una C*-álgebra A , denotado  , es el conjunto de clases de equivalencia unitaria de *-representaciones irreducibles de A . Una *-representación π de A en un espacio de Hilbert H es irreducible si, y solo si, no existe ningún subespacio cerrado K distinto de H y {0} que sea invariante bajo todos los operadores π( x ) con x ∈ A . Suponemos implícitamente que representación irreducible significa representación irreducible no nula , excluyendo así representaciones triviales (es decir, idénticamente 0) en espacios unidimensionales . Como se explica a continuación, el espectro  también es naturalmente un espacio topológico ; esto es similar a la noción de espectro de un anillo .
Una de las aplicaciones más importantes de este concepto es proporcionar una noción de objeto dual para cualquier grupo localmente compacto . Este objeto dual es adecuado para formular una transformada de Fourier y un teorema de Plancherel para grupos localmente compactos unimodulares separables de tipo I y un teorema de descomposición para representaciones arbitrarias de grupos localmente compactos separables de tipo I. La teoría de dualidad resultante para grupos localmente compactos es, sin embargo, mucho más débil que la teoría de dualidad de Tannaka-Krein para grupos topológicos compactos o la dualidad de Pontryagin para grupos abelianos localmente compactos , ambas invariantes completas. Que el dual no es un invariante completo se ve fácilmente ya que el dual de cualquier álgebra matricial completa de dimensión finita M n ( C ) consiste en un solo punto.
La topología de  se puede definir de varias maneras equivalentes. Primero la definimos en términos del espectro primitivo .
El espectro primitivo de A es el conjunto de ideales primitivos Prim( A ) de A , donde un ideal primitivo es el núcleo de una *-representación irreducible distinta de cero. El conjunto de ideales primitivos es un espacio topológico con la topología de núcleo-envoltura (o topología de Jacobson ). Esta se define de la siguiente manera: Si X es un conjunto de ideales primitivos, su clausura de núcleo-envoltura es
Se demuestra fácilmente que el cierre de la cáscara y el núcleo es una operación idempotente , es decir
y se puede demostrar que satisface los axiomas de clausura de Kuratowski . En consecuencia, se puede demostrar que existe una topología única τ en Prim( A ) tal que la clausura de un conjunto X con respecto a τ es idéntica a la clausura de núcleo-envoltura de X .
Dado que las representaciones unitariamente equivalentes tienen el mismo núcleo, la función π ↦ ker(π) se factoriza a través de una función sobreyectiva
Utilizamos el mapa k para definir la topología en  de la siguiente manera:
Definición . Los conjuntos abiertos de  son imágenes inversas k −1 ( U ) de subconjuntos abiertos U de Prim( A ). Esto es, en efecto, una topología.
La topología casco-núcleo es un análogo para anillos no conmutativos de la topología de Zariski para anillos conmutativos.
La topología inducida a partir de la topología casco-núcleo tiene otras caracterizaciones en términos de estados de A .
El espectro de una C*-álgebra conmutativa A coincide con el dual de Gelfand de A (que no debe confundirse con el dual A' del espacio de Banach A ). En particular, supongamos que X es un espacio de Hausdorff compacto . Entonces hay un homeomorfismo natural
Esta asignación está definida por
I( x ) es un ideal maximal cerrado en C( X ), por lo que de hecho es primitivo. Para obtener detalles de la prueba, consulte la referencia de Dixmier. Para un C*-álgebra conmutativa,
Sea H un espacio de Hilbert de dimensión infinita separable . L ( H ) tiene dos *-ideales cerrados en norma: I 0 = {0} y el ideal K = K ( H ) de operadores compactos. Por lo tanto, como conjunto, Prim( L ( H )) = { I 0 , K }. Ahora
Por lo tanto, Prim( L ( H )) es un espacio no Hausdorff.
El espectro de L ( H ), por otra parte, es mucho más grande. Existen muchas representaciones irreducibles no equivalentes con núcleo K ( H ) o con núcleo {0}.
Supongamos que A es una C*-álgebra de dimensión finita. Se sabe que A es isomorfa a una suma directa finita de álgebras matriciales completas:
donde min( A ) son las proyecciones centrales mínimas de A . El espectro de A es canónicamente isomorfo a min( A ) con la topología discreta . Para las C*-álgebras de dimensión finita, también tenemos el isomorfismo
La topología hull-kernel es fácil de describir de forma abstracta, pero en la práctica, para las C*-álgebras asociadas a grupos topológicos localmente compactos , son deseables otras caracterizaciones de la topología en el espectro en términos de funciones definidas positivas.
De hecho, la topología de  está íntimamente relacionada con el concepto de contención débil de representaciones como lo demuestra lo siguiente:
La segunda condición significa exactamente que π está débilmente contenido en S.
La construcción GNS es una receta para asociar estados de una C*-álgebra A a representaciones de A . Por uno de los teoremas básicos asociados a la construcción GNS, un estado f es puro si y solo si la representación asociada π f es irreducible. Además, la función κ : PureState( A ) → Â definida por f ↦ π f es una función sobreyectiva.
Del teorema anterior se puede demostrar fácilmente lo siguiente:
Existe otra caracterización de la topología en  que surge al considerar el espacio de representaciones como un espacio topológico con una topología de convergencia puntual apropiada. Más precisamente, sea n un número cardinal y sea H n el espacio de Hilbert canónico de dimensión n .
Irr n ( A ) es el espacio de *-representaciones irreducibles de A en H n con la topología débil puntual. En términos de convergencia de redes, esta topología se define por π i → π; si y solo si
Resulta que esta topología en Irr n ( A ) es la misma que la topología puntual fuerte, es decir, π i → π si y solo si
Observación . La unión de los distintos elementos puede ser bastante complicada.
 es un espacio topológico y, por lo tanto, también puede considerarse un espacio de Borel . Una famosa conjetura de G. Mackey propuso que un grupo localmente compacto separable es de tipo I si y solo si el espacio de Borel es estándar, es decir, es isomorfo (en la categoría de espacios de Borel) al espacio de Borel subyacente de un espacio métrico separable completo . Mackey llamó suaves a los espacios de Borel con esta propiedad . Esta conjetura fue demostrada por James Glimm para las C*-álgebras separables en el artículo de 1961 que se incluye en las referencias siguientes.
Definición . Una *-representación no degenerada π de un C*-álgebra A separable es una representación factorial si y solo si el centro del álgebra de von Neumann generada por π( A ) es unidimensional. El AC*-álgebra A es de tipo I si y solo si cualquier representación factorial separable de A es un múltiplo finito o contable de uno irreducible.
Ejemplos de grupos localmente compactos separables G tales que C*( G ) es de tipo I son los grupos de Lie nilpotentes (reales) conexos y los grupos de Lie semisimples reales conexos . Por lo tanto, los grupos de Heisenberg son todos de tipo I. Los grupos compactos y abelianos también son de tipo I.
El resultado implica una generalización de largo alcance de la estructura de las representaciones de las álgebras IC* separables de tipo y, correspondientemente, de los grupos localmente compactos separables de tipo I.
Como una C*-álgebra A es un anillo , también podemos considerar el conjunto de ideales primitivos de A , donde A se considera algebraicamente. Para un anillo, un ideal es primitivo si y solo si es el aniquilador de un módulo simple . Resulta que para una C*-álgebra A , un ideal es algebraicamente primitivo si y solo si es primitivo en el sentido definido anteriormente.
Éste es el corolario del teorema 2.9.5 de la referencia de Dixmier.
Si G es un grupo localmente compacto, la topología en el espacio dual del grupo C*-álgebra C*( G ) de G se llama topología de Fell , llamada así en honor a J. M. G. Fell .
