Teorema de Anderson-Kadec

Todos los espacios de Banach separables y de dimensión infinita son homeomorfos.

En matemáticas , en las áreas de topología y análisis funcional , el teorema de Anderson-Kadec establece ^[1] que dos espacios de Banach separables de dimensión infinita o, más generalmente, espacios de Fréchet , son homeomorfos como espacios topológicos. El teorema fue demostrado por Mikhail Kadec (1966) y Richard Davis Anderson .

Declaración

Todo espacio de Fréchet separable de dimensión infinita es homeomorfo al producto cartesiano de un número contable de copias de la línea real. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Preliminares

Norma Kadec: Una norma en un espacio lineal normado se llama ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\displaystyle X}$Norma Kadec con respecto a un subconjunto total ${\displaystyle A\subseteq X^{*}}$ del espacio dualsi para cada secuenciase cumple la siguiente condición: ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle x_{n}\in X}$

• Si para y entonces ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x^{*}\left(x_{n}\right)=x^{*}(x_{0})}$ ${\displaystyle x^{*}\in A}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}\right\|=\left\|x_{0}\right\|,}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x_{0}\right\|=0.}$

Teorema de Eidelheit : Un espacio de Fréchetes isomorfo a un espacio de Banach o tiene un espacio cociente isomorfo a ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$

Teorema de renormalización de Kadec: Todo espacio de Banach separable admite una norma de Kadec con respecto a un subconjunto total contable de La nueva norma es equivalente a la norma original de El conjunto puede tomarse como cualquier subconjunto contable denso en estrella débil de la bola unitaria de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}.}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Bosquejo de la prueba

En el argumento a continuación se denota un espacio de Fréchet separable de dimensión infinita y la relación de equivalencia topológica (existencia de homeomorfismo). ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \simeq }$

Un punto de partida de la prueba del teorema de Anderson-Kadec es la prueba de Kadec de que cualquier espacio de Banach separable de dimensión infinita es homeomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$

Del teorema de Eidelheit, basta considerar espacios de Fréchet que no sean isomorfos a un espacio de Banach. En ese caso, tienen un cociente que es isomorfo a Un resultado de Bartle-Graves-Michael demuestra que entonces para algún espacio de Fréchet ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$ $${\displaystyle E\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$$ ${\displaystyle Y.}$

Por otra parte, es un subespacio cerrado de un producto infinito numerable de espacios de Banach separables de espacios de Banach separables. El mismo resultado de Bartle-Graves-Michael aplicado a da un homeomorfismo para algún espacio de Fréchet . Del resultado de Kadec, el producto numerable de espacios de Banach separables de dimensión infinita es homeomorfo a ${\displaystyle E}$ ${\textstyle X=\prod _{n=1}^{\infty }X_{i}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X\simeq E\times Z}$$ ${\displaystyle Z.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }.}$

La prueba del teorema de Anderson-Kadec consiste en la secuencia de equivalencias $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }&\simeq (E\times Z)^{\mathbb {N} }\\&\simeq E^{\mathbb {N} }\times Z^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\times E^{\mathbb {N} }\times Z^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq Y\times \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\\&\simeq E\end{aligned}}}$$

Véase también

• Espacio vectorial topológico metrizable  : un espacio vectorial topológico cuya topología se puede definir mediante una métrica

Notas

1. Bessaga y Pełczyński 1975, pag. 189

Referencias

• Bessaga, C.; Pełczyński, A. (1975), Temas seleccionados en topología de dimensión infinita, Monografie Matematyczne, Warszawa: Panstwowe wyd. naukowé.
• Torunczyk, H. (1981), Caracterización de la topología del espacio de Hilbert , Fundamenta Mathematicae, págs. 247–262.