La geometría (del griego antiguo : γεωμετρία ; geo- "tierra", -metron "medición") surgió como el campo del conocimiento que se ocupa de las relaciones espaciales. La geometría fue uno de los dos campos de las matemáticas premodernas , siendo el otro el estudio de los números ( aritmética ).
La geometría clásica se centró en las construcciones con compás y regla . La geometría fue revolucionada por Euclides , quien introdujo el rigor matemático y el método axiomático todavía en uso en la actualidad. Su libro, Los Elementos , es considerado el libro de texto más influyente de todos los tiempos y fue conocido por todas las personas educadas de Occidente hasta mediados del siglo XX. [1]
En los tiempos modernos, los conceptos geométricos se han generalizado a un alto nivel de abstracción y complejidad, y han sido sometidos a los métodos del cálculo y el álgebra abstracta, de modo que muchas ramas modernas del campo son apenas reconocibles como descendientes de la geometría temprana. (Ver Áreas de matemáticas y geometría algebraica .)
Los inicios más antiguos registrados de la geometría se remontan a los pueblos primitivos, como el antiguo valle del Indo (ver Matemáticas de Harappa ) y la antigua Babilonia (ver Matemáticas babilónicas ) de alrededor del 3000 a.C. La geometría temprana era una colección de principios descubiertos empíricamente sobre longitudes, ángulos, áreas y volúmenes, que se desarrollaron para satisfacer algunas necesidades prácticas en topografía , construcción , astronomía y diversos oficios. Entre ellos había algunos principios sorprendentemente sofisticados, y un matemático moderno podría tener dificultades para derivar algunos de ellos sin el uso del cálculo y el álgebra. Por ejemplo, tanto los egipcios como los babilonios conocían versiones del teorema de Pitágoras unos 1500 años antes de que Pitágoras y los Sulba Sutras indios, alrededor del 800 a. C., contuvieran los primeros enunciados del teorema; Los egipcios tenían una fórmula correcta para el volumen del tronco de una pirámide cuadrada.
Los antiguos egipcios sabían que podían aproximar el área de un círculo de la siguiente manera: [2]
El problema 50 del papiro de Ahmes utiliza estos métodos para calcular el área de un círculo, según la regla de que el área es igual al cuadrado de 8/9 del diámetro del círculo. Esto supone que π es 4×(8/9) 2 (o 3,160493...), con un error de poco más del 0,63 por ciento. Este valor era ligeramente menos preciso que los cálculos de los babilonios (25/8 = 3,125, dentro del 0,53 por ciento), pero no fue superado hasta la aproximación de Arquímedes de 211875/67441 = 3,14163, que tenía un error de poco más de 1 en 10.000. .
Ahmes conocía el moderno 22/7 como una aproximación de π y lo usó para dividir un hekat, hekat x 22/xx 7/22 = hekat; [ cita necesaria ] sin embargo, Ahmes continuó usando el valor tradicional 256/81 para π para calcular el volumen de hekat que se encuentra en un cilindro.
El problema 48 implicó usar un cuadrado con lados de 9 unidades. Este cuadrado fue cortado en una cuadrícula de 3x3. La diagonal de los cuadrados de las esquinas se usó para hacer un octágono irregular con un área de 63 unidades. Esto dio un segundo valor para π de 3,111...
Los dos problemas juntos indican un rango de valores para π entre 3,11 y 3,16.
El problema 14 del Papiro Matemático de Moscú ofrece el único ejemplo antiguo de cómo encontrar el volumen de un tronco de pirámide y describe la fórmula correcta:
donde a y b son las longitudes de la base y los lados superiores de la pirámide truncada y h es la altura.
Es posible que los babilonios conocieran las reglas generales para medir áreas y volúmenes. Midieron la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro y el área como un doceavo del cuadrado de la circunferencia, lo que sería correcto si π se estimara como 3. El volumen de un cilindro se tomó como el producto de la base y la altura, sin embargo, el volumen del tronco de un cono o de una pirámide cuadrada se tomó incorrectamente como el producto de la altura por la mitad de la suma de las bases. Los babilonios también conocían el teorema de Pitágoras . Además, hubo un descubrimiento reciente en el que una tableta usaba π como 3 y 1/8. Los babilonios también son conocidos por la milla babilónica, que era una medida de distancia equivalente a unas siete millas en la actualidad. Esta medida de distancias finalmente se convirtió en una milla de tiempo utilizada para medir el viaje del Sol y, por lo tanto, representa el tiempo. [3] Ha habido descubrimientos recientes que muestran que los antiguos babilonios pueden haber descubierto la geometría astronómica casi 1400 años antes que los europeos. [4]
El período védico indio tenía una tradición geométrica, expresada principalmente en la construcción de elaborados altares. Los primeros textos indios (primer milenio a. C.) sobre este tema incluyen el Satapatha Brahmana y los Śulba Sūtras . [5] [6] [7]
Según (Hayashi 2005, p. 363), los Śulba Sūtras contienen "la expresión verbal más antigua existente del Teorema de Pitágoras en el mundo, aunque ya era conocida por los antiguos babilonios".
La cuerda diagonal ( akṣṇayā-rajju ) de un oblongo (rectángulo) produce ambas, las cuales el flanco ( pārśvamāni ) y las horizontales ( tiryaṇmānī ) <cuerdas> producen por separado." [8]
Contienen listas de ternas pitagóricas , [9] que son casos particulares de ecuaciones diofánticas . [10] También contienen declaraciones (que en retrospectiva sabemos que son aproximadas) sobre la cuadratura del círculo y "dar vueltas alrededor del cuadrado". [11]
El Baudhayana Sulba Sutra , el más conocido y más antiguo de los Sulba Sutras (que data del siglo VIII o VII a. C.) contiene ejemplos de ternas pitagóricas simples, como: , , , y [12] , así como una declaración del Teorema de Pitágoras para los lados de un cuadrado: "La cuerda que se estira a lo largo de la diagonal de un cuadrado produce un área que duplica el tamaño del cuadrado original". [12] También contiene el enunciado general del teorema de Pitágoras (para los lados de un rectángulo): "La cuerda estirada a lo largo de la diagonal de un rectángulo forma un área que los lados verticales y horizontales forman juntos". [12]
Según el matemático SG Dani, la tablilla cuneiforme babilónica Plimpton 322 escrita c. 1850 a. C. [13] "contiene quince ternas pitagóricas con entradas bastante grandes, incluida (13500, 12709, 18541), que es una terna primitiva, [14] lo que indica, en particular, que había una comprensión sofisticada sobre el tema" en Mesopotamia en 1850 ANTES DE CRISTO. "Dado que estas tablillas son anteriores al período Sulbasutras por varios siglos, teniendo en cuenta la apariencia contextual de algunos de los triples, es razonable esperar que una comprensión similar hubiera existido en la India". [15] Dani continúa diciendo:
"Como el principal objetivo de los Sulvasutras era describir las construcciones de los altares y los principios geométricos involucrados en ellos, el tema de los triples pitagóricos, incluso si hubiera sido bien comprendido, puede que todavía no haya aparecido en los Sulvasutras . La aparición de los triples en los Sulvasutras es comparable a las matemáticas que se pueden encontrar en un libro introductorio sobre arquitectura u otro campo aplicado similar, y no se correspondería directamente con el conocimiento general sobre el tema en ese momento, ya que, lamentablemente, no se han encontrado otras fuentes contemporáneas. Quizás nunca sea posible resolver esta cuestión satisfactoriamente." [15]
En total, se compusieron tres Sulba Sutras . Los dos restantes, el Manava Sulba Sutra compuesto por Manava ( fl. 750-650 a. C.) y el Apastamba Sulba Sutra , compuesto por Apastamba (c. 600 a. C.), contenían resultados similares al Baudhayana Sulba Sutra .
Para los antiguos matemáticos griegos , la geometría era la joya de la corona de sus ciencias, alcanzando una plenitud y perfección metodológica que ninguna otra rama de su conocimiento había alcanzado. Ampliaron el alcance de la geometría a muchos tipos nuevos de figuras, curvas, superficies y sólidos; cambiaron su metodología del ensayo y error a la deducción lógica; reconocieron que la geometría estudia "formas eternas" , o abstracciones, de las cuales los objetos físicos son sólo aproximaciones; y desarrollaron la idea del "método axiomático" , todavía en uso en la actualidad.
Tales (635-543 a. C.) de Mileto (ahora en el suroeste de Turquía), fue el primero a quien se le atribuye la deducción en matemáticas. Hay cinco proposiciones geométricas para las que escribió pruebas deductivas, aunque sus pruebas no han sobrevivido. Pitágoras (582-496 a. C.) de Jonia y más tarde de Italia, entonces colonizada por los griegos, pudo haber sido alumno de Tales y haber viajado a Babilonia y Egipto . El teorema que lleva su nombre puede que no haya sido su descubrimiento, pero probablemente fue uno de los primeros en dar una demostración deductiva del mismo. Reunió a un grupo de estudiantes a su alrededor para estudiar matemáticas, música y filosofía, y juntos descubrieron la mayor parte de lo que los estudiantes de secundaria aprenden hoy en sus cursos de geometría. Además, hicieron el profundo descubrimiento de las longitudes inconmensurables y de los números irracionales .
Platón (427-347 a.C.) fue un filósofo, muy estimado por los griegos. Hay una historia que había escrito encima de la entrada de su famosa escuela: "Que nadie que ignore la geometría entre aquí". Sin embargo, la historia se considera falsa. [16] Aunque él mismo no era matemático, sus puntos de vista sobre las matemáticas tuvieron una gran influencia. Los matemáticos aceptaron así su creencia de que la geometría no debería utilizar más herramientas que un compás y una regla, nunca instrumentos de medición como una regla marcada o un transportador , porque eran herramientas de trabajo, no dignas de un erudito. Esta máxima llevó a un estudio profundo de posibles construcciones con compás y regla , y a tres problemas de construcción clásicos: cómo usar estas herramientas para trisecar un ángulo , construir un cubo con el doble del volumen de un cubo dado y construir un cuadrado de igual área. a un círculo dado. Las pruebas de la imposibilidad de estas construcciones, finalmente logradas en el siglo XIX, llevaron a principios importantes sobre la estructura profunda del sistema de números reales. Aristóteles (384-322 a. C.), el mejor alumno de Platón, escribió un tratado sobre los métodos de razonamiento utilizados en las pruebas deductivas (ver Lógica ) que no mejoró sustancialmente hasta el siglo XIX.
Euclides (c. 325-265 a. C.), de Alejandría , probablemente estudiante de la Academia fundada por Platón, escribió un tratado en 13 libros (capítulos), titulado Los elementos de la geometría , en el que presentaba la geometría en una forma axiomática ideal , que llegó a conocerse como geometría euclidiana . El tratado no es un compendio de todo lo que los matemáticos helenísticos sabían en aquella época sobre geometría; El propio Euclides escribió ocho libros más avanzados sobre geometría. Sabemos por otras referencias que el de Euclides no fue el primer libro de texto de geometría elemental, pero fue tan superior que los demás cayeron en desuso y se perdieron. Ptolomeo I , rey de Egipto, lo llevó a la universidad de Alejandría .
Los Elementos comenzaron con definiciones de términos, principios geométricos fundamentales (llamados axiomas o postulados ) y principios cuantitativos generales (llamados nociones comunes ) de los cuales se podía deducir lógicamente todo el resto de la geometría. A continuación se presentan sus cinco axiomas, algo parafraseados para facilitar la lectura en inglés.
Los conceptos, que hoy se entienden como álgebra , fueron expresados geométricamente por Euclides, método denominado álgebra geométrica griega .
Arquímedes (287-212 a. C.), de Siracusa , Sicilia , cuando era una ciudad-estado griega , a menudo se considera el más grande de los matemáticos griegos y, en ocasiones, incluso se lo nombra como uno de los tres más grandes de todos los tiempos (junto con Isaac Newton y Carl Friedrich Gauss ) [ cita requerida ] . Si no hubiera sido matemático, todavía sería recordado como un gran físico, ingeniero e inventor. En sus matemáticas, desarrolló métodos muy similares a los sistemas de coordenadas de la geometría analítica y al proceso limitante del cálculo integral. El único elemento que faltaba para la creación de estos campos era una notación algebraica eficiente para expresar sus conceptos [ cita requerida ] .
Después de Arquímedes, las matemáticas helenísticas comenzaron a decaer. Aún quedaban algunas estrellas menores por llegar, pero la edad de oro de la geometría había terminado. Proclo (410-485), autor del Comentario al primer libro de Euclides , fue uno de los últimos actores importantes de la geometría helenística. Era un geómetra competente, pero lo más importante es que fue un magnífico comentarista de las obras que le precedieron. Gran parte de ese trabajo no sobrevivió hasta los tiempos modernos y sólo lo conocemos a través de sus comentarios. La República y el Imperio Romanos que sucedieron y absorbieron a las ciudades-estado griegas produjeron excelentes ingenieros, pero ningún matemático destacado.
Posteriormente , la gran Biblioteca de Alejandría fue quemada. Existe un consenso cada vez mayor entre los historiadores de que la Biblioteca de Alejandría probablemente sufrió varios eventos destructivos, pero que la destrucción de los templos paganos de Alejandría a finales del siglo IV fue probablemente el más severo y definitivo. La evidencia de esa destrucción es la más definitiva y segura. La invasión de César bien pudo haber provocado la pérdida de entre 40.000 y 70.000 rollos en un almacén adyacente al puerto (como sostiene Luciano Canfora , probablemente eran copias producidas por la Biblioteca destinadas a la exportación), pero es poco probable que haya afectado a la Biblioteca. o Museo, dado que hay amplia evidencia de que ambos existieron posteriormente. [17]
Las guerras civiles, la disminución de las inversiones en mantenimiento y adquisición de nuevos pergaminos y el interés generalmente decreciente en actividades no religiosas probablemente contribuyeron a una reducción en el material disponible en la Biblioteca, especialmente en el siglo IV. Sin duda, el Serapeum fue destruido por Teófilo en 391, y es posible que el Museo y la Biblioteca hayan sido víctimas de la misma campaña.
En el manuscrito de Bakhshali , hay un puñado de problemas geométricos (incluidos problemas sobre volúmenes de sólidos irregulares). El manuscrito de Bakhshali también "emplea un sistema de valor posicional decimal con un punto para el cero". [18] Aryabhatiya (499) de Aryabhata incluye el cálculo de áreas y volúmenes.
Brahmagupta escribió su obra astronómica Brāhma Sphuṭa Siddhānta en 628. El capítulo 12, que contiene 66 versos sánscritos , se dividió en dos secciones: "operaciones básicas" (incluidas raíces cúbicas, fracciones, razones y proporciones, y trueque) y "matemáticas prácticas" (incluidas mezcla, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y amontonamiento de grano). [19] En la última sección, expuso su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico : [19]
Teorema de Brahmagupta: si un cuadrilátero cíclico tiene diagonales perpendiculares entre sí, entonces la línea perpendicular trazada desde el punto de intersección de las diagonales hasta cualquier lado del cuadrilátero siempre biseca el lado opuesto.
El capítulo 12 también incluyó una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Heron ), así como una descripción completa de los triángulos racionales ( es decir, triángulos con lados racionales y áreas racionales).
Fórmula de Brahmagupta: El área, A , de un cuadrilátero cíclico con lados de longitudes a , b , c , d , respectivamente, está dada por
donde s , el semiperímetro , dado por:
Teorema de Brahmagupta sobre triángulos racionales: Un triángulo con lados racionales y área racional tiene la forma:
para algunos números racionales y . [20]
Parameshvara Nambudiri fue el primer matemático en dar una fórmula para calcular el radio del círculo que circunscribe un cuadrilátero cíclico. [21] La expresión se atribuye a veces a Lhuilier [1782], 350 años después. Siendo los lados del cuadrilátero cíclico a, b, c y d , el radio R del círculo circunscrito es:
La primera obra definitiva (o al menos la más antigua que existe) sobre geometría en China fue el Mo Jing , el canon mohista del primer filósofo Mozi (470-390 a. C.). Fue recopilado años después de su muerte por sus seguidores alrededor del año 330 a.C. [22] Aunque el Mo Jing es el libro sobre geometría más antiguo que existe en China, existe la posibilidad de que existiera material escrito aún más antiguo. Sin embargo, debido a la infame Quema de Libros en una maniobra política del gobernante de la dinastía Qin , Qin Shihuang (r. 221-210 a. C.), multitudes de literatura escrita creada antes de su tiempo fueron purgadas. Además, el Mo Jing presenta conceptos geométricos en matemáticas que quizás sean demasiado avanzados como para no haber tenido una base geométrica previa o una formación matemática sobre la que trabajar.
El Mo Jing describió varios aspectos de muchos campos asociados con las ciencias físicas y también proporcionó una pequeña cantidad de información sobre matemáticas. Proporcionó una definición "atómica" del punto geométrico, afirmando que una línea está separada en partes, y la parte que no tiene partes restantes (es decir, no puede dividirse en partes más pequeñas) y por lo tanto forma el extremo de una línea es un punto. . [22] Al igual que la primera y tercera definición de Euclides y el 'comienzo de una línea' de Platón , el Mo Jing afirmó que "un punto puede estar al final (de una línea) o al principio como una presentación de cabeza". en el parto. (En cuanto a su invisibilidad) no hay nada parecido." [23] Al igual que los atomistas de Demócrito , Mo Jing afirmó que un punto es la unidad más pequeña y no se puede cortar por la mitad, ya que "nada" no se puede dividir por la mitad. [23] Declaró que dos líneas de igual longitud siempre terminarán en el mismo lugar, [23] al tiempo que proporciona definiciones para la comparación de longitudes y paralelos , [24] junto con principios de espacio y espacio acotado. [25] También describió el hecho de que los aviones sin la cualidad de espesor no se pueden apilar ya que no pueden tocarse entre sí. [26] El libro proporciona definiciones de circunferencia, diámetro y radio, junto con la definición de volumen. [27]
El período de la dinastía Han (202 a. C.-220 d. C.) de China fue testigo de un nuevo florecimiento de las matemáticas. Uno de los textos matemáticos chinos más antiguos que presenta progresiones geométricas fue el Suàn shù shū del 186 a. C., durante la era Han occidental. El matemático, inventor y astrónomo Zhang Heng (78-139 d. C.) utilizó fórmulas geométricas para resolver problemas matemáticos. Aunque en Zhou Li (compilado en el siglo II a. C.) se dieron estimaciones aproximadas de pi ( π ), [28] fue Zhang Heng quien fue el primero en hacer un esfuerzo concertado para crear una fórmula más precisa para pi. Zhang Heng aproximó pi a 730/232 (o aproximadamente 3,1466), aunque usó otra fórmula de pi para encontrar un volumen esférico, usando la raíz cuadrada de 10 (o aproximadamente 3,162) en su lugar. Zu Chongzhi (429-500 d.C.) mejoró la precisión de la aproximación de pi a entre 3,1415926 y 3,1415927, siendo 355 ⁄ 113 (密率, Milü, aproximación detallada) y 22 ⁄ 7 (约率, Yuelü, aproximación aproximada). otra aproximación notable. [29] En comparación con trabajos posteriores, la fórmula para pi dada por el matemático francés Franciscus Vieta (1540-1603) quedó a medio camino entre las aproximaciones de Zu.
Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático , cuyo título apareció por primera vez en el año 179 d.C. en una inscripción de bronce, fueron editados y comentados por el matemático del siglo III Liu Hui del Reino de Cao Wei . Este libro incluía muchos problemas donde se aplicaba la geometría, como encontrar áreas de superficie para cuadrados y círculos, los volúmenes de sólidos en varias formas tridimensionales e incluía el uso del teorema de Pitágoras . El libro proporcionaba una prueba ilustrada del teorema de Pitágoras, [30] contenía un diálogo escrito entre el anterior duque de Zhou y Shang Gao sobre las propiedades del triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras, al tiempo que hacía referencia al gnomon astronómico , el círculo. y cuadrado, así como medidas de alturas y distancias. [31] El editor Liu Hui enumeró pi como 3,141014 utilizando un polígono de 192 lados , y luego calculó pi como 3,14159 utilizando un polígono de 3072 lados. Esto era más preciso que el contemporáneo de Liu Hui, Wang Fan , un matemático y astrónomo del este de Wu , que representaría pi como 3,1555 utilizando 142 ⁄ 45 . [32] Liu Hui también escribió sobre topografía matemática para calcular medidas de distancia de profundidad, altura, ancho y área de superficie. En términos de geometría sólida, descubrió que una cuña con base rectangular y ambos lados inclinados se podía dividir en una pirámide y unacuña tetraédrica . [33] También descubrió que se podía hacer una cuña con base trapezoidal y ambos lados inclinados para obtener dos cuñas tetraédricas separadas por una pirámide. [33] Además, Liu Hui describió el principio de Cavalieri sobre el volumen, así como la eliminación gaussiana . De los Nueve Capítulos , enumera las siguientes fórmulas geométricas que se conocían en la época de la antigua dinastía Han (202 a. C.-9 d. C.).
Áreas para el [34]
Volúmenes para el [33]
Continuando con el legado geométrico de la antigua China, hubo muchas figuras posteriores, incluido el famoso astrónomo y matemático Shen Kuo (1031-1095 d.C.), Yang Hui (1238-1298), quien descubrió el Triángulo de Pascal , Xu Guangqi (1562-1633) , y muchos otros.
A principios del siglo IX, floreció la " Edad de Oro islámica ", y el establecimiento de la Casa de la Sabiduría en Bagdad marcó una tradición científica separada en el mundo islámico medieval , basada no sólo en fuentes helenísticas sino también indias .
Aunque los matemáticos islámicos son más famosos por su trabajo en álgebra , teoría de números y sistemas numéricos , también hicieron contribuciones considerables a la geometría, la trigonometría y la astronomía matemática , y fueron responsables del desarrollo de la geometría algebraica .
Al-Mahani (nacido en 820) concibió la idea de reducir problemas geométricos como la duplicación del cubo a problemas de álgebra. Al-Karaji (nacido en 953) liberó completamente el álgebra de las operaciones geométricas y las reemplazó con el tipo de operaciones aritméticas que son el núcleo del álgebra actual.
Thābit ibn Qurra (conocido como Thebit en latín ) (nacido en 836) contribuyó a una serie de áreas de las matemáticas, donde jugó un papel importante al preparar el camino para descubrimientos matemáticos tan importantes como la extensión del concepto de número a ( positivo ). números reales , cálculo integral , teoremas de trigonometría esférica , geometría analítica y geometría no euclidiana . En astronomía, Thabit fue uno de los primeros reformadores del sistema ptolemaico , y en mecánica fue uno de los fundadores de la estática . Un aspecto geométrico importante del trabajo de Thabit fue su libro sobre la composición de proporciones. En este libro, Thabit trata de operaciones aritméticas aplicadas a proporciones de cantidades geométricas. Los griegos habían trabajado con cantidades geométricas, pero no las consideraban del mismo modo que números a los que se podían aplicar las reglas habituales de la aritmética. Al introducir operaciones aritméticas sobre cantidades previamente consideradas geométricas y no numéricas, Thabit inició una tendencia que condujo finalmente a la generalización del concepto de número.
En algunos aspectos, Thabit critica las ideas de Platón y Aristóteles, particularmente en lo que respecta al movimiento. Parecería que aquí sus ideas se basan en la aceptación del uso de argumentos relacionados con el movimiento en sus argumentos geométricos. Otra contribución importante que hizo Thabit a la geometría fue su generalización del teorema de Pitágoras , que extendió desde triángulos rectángulos especiales a todos los triángulos en general, junto con una demostración general . [35]
Ibrahim ibn Sinan ibn Thabit (nacido en 908), que introdujo un método de integración más general que el de Arquímedes , y al-Quhi (nacido en 940) fueron figuras destacadas del resurgimiento y la continuación de la geometría superior griega en el mundo islámico. Estos matemáticos, y en particular Ibn al-Haytham , estudiaron la óptica e investigaron las propiedades ópticas de los espejos fabricados a partir de secciones cónicas .
La astronomía, la medición del tiempo y la geografía proporcionaron otras motivaciones para la investigación geométrica y trigonométrica. Por ejemplo, Ibrahim ibn Sinan y su abuelo Thabit ibn Qurra estudiaron las curvas necesarias en la construcción de relojes de sol. Abu'l-Wafa y Abu Nasr Mansur aplicaron la geometría esférica a la astronomía.
Un artículo de 2007 en la revista Science sugirió que los mosaicos girih poseían propiedades consistentes con mosaicos fractales cuasicristalinos autosimilares , como los mosaicos de Penrose . [36] [37]
La transmisión de los clásicos griegos a la Europa medieval a través de la literatura árabe de los siglos IX y X, la " Edad de Oro Islámica ", comenzó en el siglo X y culminó con las traducciones latinas del siglo XII . Enrique Aristipo (muerto en 1162) trajo a Sicilia una copia del Almagesto de Ptolomeo como regalo del emperador al rey Guillermo I (r. 1154-1166). Un estudiante anónimo de Salerno viajó a Sicilia y tradujo del griego al latín el Almagesto y varias obras de Euclides. [38] Aunque los sicilianos generalmente traducían directamente del griego, cuando los textos griegos no estaban disponibles, traducían del árabe. Eugenio de Palermo (m. 1202) tradujo la Óptica de Ptolomeo al latín, aprovechando su conocimiento de los tres idiomas para la tarea. [39] Se reaprendieron los rigurosos métodos deductivos de geometría que se encuentran en los Elementos de geometría de Euclides y continuó el desarrollo de la geometría en los estilos de Euclides ( geometría euclidiana ) y Khayyam ( geometría algebraica ), lo que dio como resultado una gran cantidad de nuevos teoremas y conceptos. , muchos de ellos muy profundos y elegantes.
En el arte renacentista de los siglos XIV y XV se produjeron avances en el tratamiento de la perspectiva que fueron más allá de lo que se había logrado en la antigüedad. En la arquitectura renacentista del Quattrocento se exploraron conceptos de orden arquitectónico y se formularon reglas. Un excelente ejemplo es la Basílica de San Lorenzo en Florencia de Filippo Brunelleschi (1377-1446). [40]
Cª. 1413 Filippo Brunelleschi demostró el método geométrico de la perspectiva, utilizado hoy por los artistas, pintando los contornos de varios edificios florentinos en un espejo. Poco después, casi todos los artistas de Florencia e Italia utilizaron la perspectiva geométrica en sus pinturas, [41] en particular Masolino da Panicale y Donatello . Melozzo da Forlì utilizó por primera vez la técnica del escorzo hacia arriba (en Roma, Loreto , Forlì y otros), y fue famoso por ello. La perspectiva no sólo era una forma de mostrar profundidad, sino también un nuevo método de componer una pintura. Las pinturas comenzaron a mostrar una escena única y unificada, en lugar de una combinación de varias.
Como lo demuestra la rápida proliferación de pinturas en perspectiva precisas en Florencia, Brunelleschi probablemente entendió (con la ayuda de su amigo el matemático Toscanelli ), [42] pero no publicó, las matemáticas detrás de la perspectiva. Décadas más tarde, su amigo Leon Battista Alberti escribió De pictura (1435/1436), un tratado sobre métodos adecuados para mostrar la distancia en la pintura basado en la geometría euclidiana. Alberti también se formó en la ciencia de la óptica a través de la escuela de Padua y bajo la influencia de Biagio Pelacani da Parma , quien estudió Óptica de Alhazen .
Piero della Francesca profundizó en Della Pittura en su De Prospectiva Pingendi en la década de 1470. Alberti se había limitado a figuras en el plano del terreno y a dar una base global para la perspectiva. Della Francesca lo desarrolló, cubriendo explícitamente sólidos en cualquier área del plano pictórico. Della Francesca también inició la práctica ahora común de utilizar figuras ilustradas para explicar los conceptos matemáticos, lo que hizo que su tratado fuera más fácil de entender que el de Alberti. Della Francesca también fue el primero en dibujar con precisión los sólidos platónicos tal como aparecerían en perspectiva.
La perspectiva siguió siendo, durante un tiempo, dominio de Florencia. Jan van Eyck , entre otros, no pudo crear una estructura coherente para las líneas convergentes en pinturas, como en El retrato de Arnolfini de Londres , porque no era consciente del avance teórico que se estaba produciendo en Italia. Sin embargo, logró efectos muy sutiles mediante manipulaciones de escala en sus interiores. Gradualmente, y en parte a través del movimiento de academias de artes, las técnicas italianas pasaron a formar parte de la formación de artistas en toda Europa y, más tarde, en otras partes del mundo. La culminación de estas tradiciones renacentistas encuentra su síntesis última en las investigaciones del arquitecto, geómetra y óptico Girard Desargues sobre la perspectiva, la óptica y la geometría proyectiva.
El Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci (c. 1490) [43] representa a un hombre en dos posiciones superpuestas con los brazos y las piernas separados e inscrito en un círculo y un cuadrado. El dibujo se basa en las correlaciones de las proporciones humanas ideales con la geometría descrita por el antiguo arquitecto romano Vitruvio en el Libro III de su tratado De Architectura .
A principios del siglo XVII, hubo dos avances importantes en geometría. La primera y más importante fue la creación de la geometría analítica , o geometría con coordenadas y ecuaciones , por parte de René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665). Este fue un precursor necesario para el desarrollo del cálculo y de una ciencia cuantitativa precisa de la física . El segundo desarrollo geométrico de este período fue el estudio sistemático de la geometría proyectiva realizado por Girard Desargues (1591-1661). La geometría proyectiva es el estudio de la geometría sin medición, solo el estudio de cómo se alinean los puntos entre sí. Hubo algunos trabajos tempranos en esta área por parte de geómetras helenísticos, en particular Pappus (c. 340). El mayor florecimiento del campo se produjo con Jean-Victor Poncelet (1788-1867).
A finales del siglo XVII, el cálculo fue desarrollado de forma independiente y casi simultánea por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Este fue el comienzo de un nuevo campo de las matemáticas que ahora se llama análisis . Aunque no es en sí una rama de la geometría, es aplicable a la geometría y resolvió dos familias de problemas que durante mucho tiempo habían sido casi intratables: encontrar líneas tangentes a curvas impares y encontrar áreas encerradas por esas curvas. Los métodos de cálculo redujeron estos problemas principalmente a cuestiones sencillas de cálculo.
Nunca se había olvidado el viejo problema de demostrar el Quinto Postulado de Euclides, el " Postulado Paralelo ", a partir de sus primeros cuatro postulados. Poco después de Euclides, se hicieron muchos intentos de demostración, pero más tarde se descubrió que todos eran defectuosos, al permitir en el razonamiento algún principio que no había sido probado a partir de los primeros cuatro postulados. Aunque Omar Khayyám tampoco logró demostrar el postulado de las paralelas, sus críticas a las teorías de los paralelos de Euclides y su prueba de las propiedades de las figuras en geometrías no euclidianas contribuyeron al eventual desarrollo de la geometría no euclidiana . Hacia 1700 se había descubierto mucho sobre lo que se podía demostrar a partir de los cuatro primeros y cuáles eran los obstáculos al intentar probar el quinto. Saccheri , Lambert y Legendre hicieron un trabajo excelente sobre el problema en el siglo XVIII, pero aún así no tuvieron éxito. A principios del siglo XIX, Gauss , Johann Bolyai y Lobachevsky , cada uno de forma independiente, adoptaron un enfoque diferente. Comenzando a sospechar que era imposible probar el Postulado Paralelo, se propusieron desarrollar una geometría autoconsistente en la que ese postulado era falso. En esto tuvieron éxito y crearon así la primera geometría no euclidiana. En 1854, Bernhard Riemann , un estudiante de Gauss, había aplicado métodos de cálculo en un estudio innovador de la geometría intrínseca (autónoma) de todas las superficies lisas y, de ese modo, encontró una geometría no euclidiana diferente. Este trabajo de Riemann se convirtió posteriormente en fundamental para la teoría de la relatividad de Einstein .
Quedaba por demostrar matemáticamente que la geometría no euclidiana era tan autoconsistente como la geometría euclidiana, y esto lo logró por primera vez Beltrami en 1868. Con esto, la geometría no euclidiana se estableció en igualdad de condiciones matemáticas con la geometría euclidiana.
Si bien ahora se sabía que diferentes teorías geométricas eran matemáticamente posibles, la pregunta seguía siendo: "¿Cuál de estas teorías es correcta para nuestro espacio físico?" El trabajo matemático reveló que esta pregunta debe responderse mediante experimentación física, no mediante razonamiento matemático, y descubrió la razón por la cual la experimentación debe implicar distancias inmensas (interestelares, no terrestres). Con el desarrollo de la teoría de la relatividad en física, esta cuestión se volvió mucho más complicada.
Todo el trabajo relacionado con el Postulado Paralelo reveló que era bastante difícil para un geómetra separar su razonamiento lógico de su comprensión intuitiva del espacio físico y, además, reveló la importancia crítica de hacerlo. Un examen cuidadoso había descubierto algunas insuficiencias lógicas en el razonamiento de Euclides y algunos principios geométricos tácitos a los que Euclides a veces apelaba. Esta crítica fue paralela a la crisis que se produjo en el cálculo y el análisis con respecto al significado de procesos infinitos como la convergencia y la continuidad. En geometría, había una clara necesidad de un nuevo conjunto de axiomas, que fuera completo y que no dependiera en modo alguno de imágenes que dibujáramos o de nuestra intuición del espacio. Estos axiomas, ahora conocidos como axiomas de Hilbert , fueron propuestos por David Hilbert en 1894 en su disertación Grundlagen der Geometrie ( Fundamentos de la geometría ). Unos años antes se habían dado algunos otros conjuntos completos de axiomas, pero no coincidían con los de Hilbert en economía, elegancia y similitud con los axiomas de Euclides [ cita necesaria ] .
A mediados del siglo XVIII, se hizo evidente que ciertas progresiones del razonamiento matemático se repetían cuando se estudiaban ideas similares en la recta numérica, en dos dimensiones y en tres dimensiones. Así, se creó el concepto general de espacio métrico para que el razonamiento pudiera realizarse de manera más general y luego aplicarse a casos especiales. Este método de estudiar conceptos relacionados con el cálculo y el análisis llegó a conocerse como análisis situs y, más tarde, como topología . Los temas importantes en este campo fueron las propiedades de figuras más generales, como la conexión y los límites, en lugar de propiedades como la rectitud, y la igualdad precisa de las medidas de longitud y ángulo, que habían sido el foco de la geometría euclidiana y no euclidiana. La topología pronto se convirtió en un campo separado de gran importancia, en lugar de un subcampo de la geometría o el análisis.
El siglo XIX vio el desarrollo del concepto general de espacio euclidiano por parte de Ludwig Schläfli , quien extendió la geometría euclidiana más allá de las tres dimensiones. Descubrió todos los análogos de dimensiones superiores de los sólidos platónicos y descubrió que hay exactamente seis politopos convexos regulares en la cuarta dimensión , y tres en todas las dimensiones superiores.
En 1878 William Kingdon Clifford introdujo lo que hoy se denomina álgebra geométrica , unificando los cuaterniones de William Rowan Hamilton con el álgebra de Hermann Grassmann y revelando la naturaleza geométrica de estos sistemas, especialmente en cuatro dimensiones. Las operaciones del álgebra geométrica tienen el efecto de reflejar, rotar, trasladar y mapear los objetos geométricos que se están modelando en nuevas posiciones.
Los avances en geometría algebraica incluyeron el estudio de curvas y superficies sobre campos finitos , como lo demuestran los trabajos de, entre otros, André Weil , Alexander Grothendieck y Jean-Pierre Serre , así como sobre números reales o complejos. La geometría finita en sí, el estudio de espacios con un número finito de puntos, encontró aplicaciones en la teoría de la codificación y la criptografía . Con la llegada de la computadora, nuevas disciplinas como la geometría computacional o la geometría digital se ocupan de algoritmos geométricos, representaciones discretas de datos geométricos, etc.
