En matemáticas, la geometría moderna de triángulos , o nueva geometría de triángulos , es el conjunto de conocimientos relativos a las propiedades de un triángulo descubierto y desarrollado aproximadamente desde principios del último cuarto del siglo XIX. Los triángulos y sus propiedades han sido objeto de investigación al menos desde la época de Euclides . De hecho, los Elementos de Euclides contienen la descripción de los cuatro puntos especiales ( barrímetro , incentro , circuncentro y ortocentro ) asociados a un triángulo. Aunque Pascal y Ceva en el siglo XVII, Euler en el siglo XVIII y Feuerbach en el siglo XIX y muchos otros matemáticos habían hecho importantes descubrimientos sobre las propiedades del triángulo, fue la publicación en 1873 de un artículo de Emile Lemoine (1840-1912) con el título "Sobre un punto notable del triángulo" el que se consideró que, según Nathan Altschiller-Court, "sentó las bases... de la geometría moderna del triángulo en su conjunto". [1] [2] La revista American Mathematical Monthly , en la que se publica gran parte del trabajo de Lemoine, declaró que "A ninguno de estos [geómetras] más que a Émile-Michel-Hyacinthe Lemoine se le debe el honor de iniciar este movimiento de geometría triangular moderna". [3] La publicación de este artículo provocó un notable aumento del interés en la investigación de las propiedades del triángulo durante el último cuarto del siglo XIX y los primeros años del siglo XX. Un artículo de cien páginas sobre geometría triangular en la Enciclopedia de Ciencias Matemáticas de Klein publicada en 1914 [4] da testimonio de este aumento del interés en la geometría triangular. [5]
En un principio, la expresión «nueva geometría de triángulos» se refería únicamente al conjunto de objetos interesantes asociados a un triángulo, como el punto de Lemoine , el círculo de Lemoine, el círculo de Brocard y la línea de Lemoine . Más tarde, se desarrolló la teoría de las correspondencias, que era una rama de la teoría de las transformaciones geométricas, para dar coherencia a los diversos resultados aislados. Con su desarrollo, la expresión «nueva geometría de triángulos» indicaba no sólo los numerosos objetos notables asociados a un triángulo, sino también los métodos utilizados para estudiar y clasificar estos objetos. He aquí una definición de geometría de triángulos de 1887: «Dado un punto M en el plano del triángulo, siempre podemos encontrar, de infinitas maneras, un segundo punto M' que corresponde al primero según una ley geométrica imaginada; estos dos puntos tienen entre sí relaciones geométricas cuya simplicidad depende de la elección más o menos afortunada de la ley que los une y cada ley geométrica da lugar a un método de transformación, un modo de conjugación que queda por estudiar». (Véase el artículo de conferencia titulado "La enseñanza de nuevos métodos geométricos con una figura antigua en los siglos XIX y XX: la nueva geometría triangular en los libros de texto de Europa y Estados Unidos (1888-1952)" de Pauline Romera-Lebret presentado en 2009. [6] )
Sin embargo, esta escalada de interés pronto se desplomó y la geometría de triángulos quedó completamente descuidada hasta los últimos años del siglo XX. En su "Development of Mathematics", Eric Temple Bell ofrece su juicio sobre el estado de la geometría de triángulos moderna en 1940 de esta manera: "Los geómetras del siglo XX han retirado piadosamente todos estos tesoros al museo de geometría, donde el polvo de la historia rápidamente atenuó su brillo". (The Development of Mathematics, p. 323) [5] Philip Davis ha sugerido varias razones para la disminución del interés en la geometría de triángulos. [5] Estas incluyen:
Con la llegada de la computadora electrónica moderna se observó un nuevo resurgimiento del interés . La geometría de triángulos se ha convertido nuevamente en un área activa de investigación llevada a cabo por un grupo de geómetras dedicados. Como ejemplo de este resurgimiento, se puede señalar la formulación del concepto de " centro de triángulo " y la compilación por Clark Kimberling de una enciclopedia de centros de triángulos que contiene una lista de casi 50.000 centros de triángulos y sus propiedades, y también la compilación de un catálogo de cúbicas triangulares con descripciones detalladas de varias propiedades de más de 1200 cúbicas triangulares. [7] [8] La revista de acceso abierto Forum Geometricorum fundada por Paul Yiu de la Florida Atlantic University en 2001 también proporcionó un tremendo impulso para promover este nuevo entusiasmo por la geometría de triángulos. Desafortunadamente, desde 2019, la revista no acepta envíos, aunque los números anteriores todavía están disponibles en línea.
Para un triángulo ABC dado con centroide G, el simediano que pasa por el vértice es la reflexión de la línea AG en la bisectriz del ángulo A. Hay tres simedianos para un triángulo, uno que pasa por cada vértice. Los tres simedianos son concurrentes y el punto de concurrencia, comúnmente denotado por K, se llama punto de Lemoine o punto simediano o punto Grebe del triángulo ABC. Si las longitudes de los lados del triángulo ABC son a , b , c las coordenadas baricéntricas del punto de Lemoine son a 2 : b 2 : c 2 . Se ha descrito como "una de las joyas de la corona de la geometría moderna". [9] Hay varias referencias anteriores a este punto en la literatura matemática, cuyos detalles están disponibles en la historia del punto simediano de John Mackay . [10]
De hecho, la concurrencia de las simedianas es un caso especial de un resultado más general: para cualquier punto P en el plano del triángulo ABC, las isogonales de las rectas AP, BP, CP son concurrentes, siendo la isogonal de AP (respectivamente BP, CP) la reflexión de la recta AP en la bisectriz del ángulo A (respectivamente B, C). El punto de concurrencia se llama conjugado isogonal de P. En esta terminología, el punto de Lemoine es el conjugado isogonal del baricentro.
Los puntos de intersección de las líneas que pasan por el punto de Lemoine de un triángulo ABC y que son paralelas a los lados del triángulo se encuentran en un círculo llamado primer círculo de Lemoine del triángulo ABC. El centro del primer círculo de Lemoine se encuentra a mitad de camino entre el circuncentro y el punto de Lemoine del triángulo.
Los puntos de intersección de las antiparalelas de los lados del triángulo ABC a través del punto de Lemoine de un triángulo ABC se encuentran en un círculo llamado segundo círculo de Lemoine o círculo coseno del triángulo ABC. El nombre "círculo coseno" se debe a la propiedad del segundo círculo de Lemoine de que las longitudes de los segmentos interceptados por el círculo en los lados del triángulo son proporcionales a los cosenos de los ángulos opuestos a los lados. El centro del segundo círculo de Lemoine es el punto de Lemoine.
Cualquier triángulo ABC y su triángulo tangente están en perspectiva y el eje de perspectividad se llama eje de Lemoine del triángulo ABC. Es la polar trilineal del punto simediano del triángulo ABC y también la polar de K con respecto a la circunferencia circunscrita del triángulo ABC. [11] [12]
A continuación se presenta una rápida mirada al mundo de la geometría de triángulos moderna tal como existía durante el pico de interés en la geometría de triángulos posterior a la publicación del artículo de Lemoine. Esta presentación se basa en gran medida en los temas tratados en el libro de William Gallatly [13] publicado en 1910 y el libro de Roger A. Johnsons [14] publicado por primera vez en 1929.
Dos triángulos se llaman triángulos porísticos si tienen el mismo círculo inscrito y circunscrito. Dado un círculo con centro O y radio R y otro círculo con centro I y radio r , hay un número infinito de triángulos ABC con círculo O( R ) como circunscrito e I( r ) como inscrito si y solo si OI 2 = R 2 − 2 Rr . Estos triángulos forman un sistema porístico de triángulos. Los lugares geométricos de ciertos puntos especiales como el centroide como triángulo de referencia trazan los diferentes triángulos porísticos con él que resultan ser a menudo círculos y puntos. [15]
Para cualquier punto P en el círculo circunscrito del triángulo ABC, los pies de las perpendiculares desde P a los lados del triángulo ABC son colineales y la línea de colinealidad es la conocida línea de Simson de P. [16]
Dado un punto P, sean D, E, F los pies de las perpendiculares desde P a los lados del triángulo ABC. El triángulo DEF se llama triángulo pedal de P. [17] El triángulo antipedal de P es el triángulo formado por las rectas que pasan por A, B, C perpendiculares a PA, PB, PC respectivamente. Dos puntos P y Q se llaman contrapuntos si el triángulo pedal de P es homotético al triángulo antipedal de Q y el triángulo pedal de Q es homotético al triángulo antipedal de P. [18] [19]
Dada cualquier línea l , sean P, Q, R los pies de las perpendiculares desde los vértices A, B, C del triángulo ABC hasta l . Las líneas que pasan por P, Q, R y que son perpendiculares respectivamente a los lados BC, CA, AB son concurrentes y el punto de concurrencia es el ortopolo de la línea l con respecto al triángulo ABC. En la geometría de triángulos moderna, existe una gran cantidad de literatura que trata sobre las propiedades de los ortopolos. [20] [21]
Sean círculos descritos sobre los lados BC, CA, AB del triángulo ABC cuyos segmentos externos contienen las dos tríadas de ángulos C, A, B y B, C, A respectivamente. Cada tríada de círculos determinada por una tríada de ángulos se corta en un punto común, dando lugar así a dos de esos puntos. Estos puntos se denominan puntos de Brocard del triángulo ABC y se denotan habitualmente por . Si P es el primer punto de Brocard (que es el punto de Brocard determinado por la primera tríada de círculos), entonces los ángulos PBC, PCA y PAB son iguales entre sí y el ángulo común se denomina ángulo de Brocard del triángulo ABC y se denota habitualmente por El ángulo de Brocard se da por
Los puntos de Brocard y los ángulos de Brocard tienen varias propiedades interesantes. [22] [23]
Una de las ideas más significativas que ha surgido durante el resurgimiento del interés por la geometría de triángulos durante los últimos años del siglo XX es la noción de centro del triángulo . Este concepto introducido por Clark Kimberling en 1994 unificó en una sola noción los numerosos puntos especiales y notables asociados con un triángulo. [24] Desde la introducción de esta idea, casi ninguna discusión sobre cualquier resultado asociado con un triángulo está completa sin una discusión sobre cómo el resultado se conecta con los centros del triángulo.
Una función de valor real f de tres variables reales a , b , c puede tener las siguientes propiedades:
Si un valor f distinto de cero tiene ambas propiedades, se denomina función de centro de un triángulo . Si f es una función de centro de un triángulo y a , b , c son las longitudes de los lados de un triángulo de referencia, entonces el punto cuyas coordenadas trilineales son f ( a , b , c ): f ( b , c , a ): f ( c , a , b ) se denomina centro de un triángulo .
Clark Kimberling mantiene un sitio web dedicado a un compendio de centros de triángulos. El sitio web, llamado Encyclopedia of Triangle Centers, contiene definiciones y descripciones de casi 50.000 centros de triángulos.
Otra noción unificadora de la geometría triangular moderna contemporánea es la de línea central . Este concepto unifica las diversas líneas rectas especiales asociadas con un triángulo. La noción de línea central también está relacionada con la noción de centro de triángulo.
Sea ABC un triángulo plano y sean ( x : y : z ) las coordenadas trilineales de un punto arbitrario en el plano del triángulo ABC .
Una recta en el plano del triángulo ABC cuya ecuación en coordenadas trilineales tiene la forma
donde el punto con coordenadas trilineales ( f ( a , b , c ) : g ( a , b , c ) : h ( a , b , c ) ) es un centro de un triángulo, es una línea central en el plano del triángulo ABC relativo al triángulo ABC . [25] [26]
Sea X cualquier centro del triángulo ABC .
Una cónica triangular es una cónica en el plano del triángulo de referencia y asociada con él de alguna manera. Por ejemplo, el circuncírculo y el incírculo del triángulo de referencia son cónicas triangulares. Otros ejemplos son la elipse de Steiner , que es una elipse que pasa por los vértices y tiene su centro en el baricentro del triángulo de referencia, la hipérbola de Kiepert , que es una cónica que pasa por los vértices, el baricentro y el ortocentro del triángulo de referencia, y las parábolas de Artzt, que son parábolas que tocan dos líneas laterales del triángulo de referencia en los vértices del triángulo. Algunas cónicas triangulares estudiadas recientemente incluyen las elipses de Hofstadter y las cónicas yff . Sin embargo, no existe una definición formal de la terminología de cónica triangular en la literatura; es decir, las relaciones que una cónica debe tener con el triángulo de referencia para calificarla como cónica triangular no se han formulado con precisión. WolframMathWorld tiene una página titulada "Cónicas triangulares" que proporciona una lista de 42 elementos (no todos ellos son cónicas) sin dar una definición de cónica triangular. [27]
Las curvas cúbicas surgen de manera natural en el estudio de los triángulos. Por ejemplo, el lugar geométrico de un punto P en el plano del triángulo de referencia ABC tal que, si las reflexiones de P en las líneas laterales del triángulo ABC son P a , P b , P c , entonces las líneas AP a , BP b y CP c son concurrentes es una curva cúbica llamada cúbica de Neuberg . Es la primera cúbica que aparece en el Catálogo de cúbicas de triángulos de Bernard Gibert . Este catálogo enumera más de 1200 cúbicas de triángulos con información sobre cada curva, como la ecuación baricéntrica de la curva, los centros de los triángulos que se encuentran en la curva, las propiedades del lugar geométrico de la curva y referencias a la literatura sobre la curva.
La aparición de las computadoras tuvo una influencia decisiva en el desarrollo del interés por la geometría de triángulos que se observó durante los últimos años del siglo XX y los primeros años del siglo actual. Philip Davis ha delineado algunas de las formas en que las computadoras han influido en este desarrollo. [5] Las computadoras se han utilizado para generar nuevos resultados en geometría de triángulos. [28] Un artículo de investigación publicado en 2015 da cuenta de algunos de los nuevos resultados importantes descubiertos por el programa informático "Discoverer". [29] La siguiente muestra de teoremas da una idea de los nuevos resultados descubiertos por Discoverer.
Sava Grozdev, Hiroshi Okumura y Deko Dekov mantienen un portal web dedicado a una enciclopedia de geometría euclidiana descubierta por computadora. [30]
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